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2-1 离散型随机变量及其分布律


§2.1

随机变量的定义

一、随机变量的定义
在上一章中,我们研究了随机事件与概率。 为了更深入地揭示随机现象的统计规律性,我 们引进随机变量的概念。其基本想法是把随机 试验的结果数量化,即用一个变量X 来描述试 验的结果。先看下面的例子。

例1 投掷一枚硬币,观察出现正反面的 情形。试验有两个可能结果:
e1 — 出现正面

e2 — 出现反面

我们引入一个变量如下: ?1, e ? e1 X ? X (e) ? ? ?0, e ? e2 这个变量可以看作是定义在样本空间

? ? ?e1 , e2 ?

上的函数,称其为随机变量。实际上此变量 是依试验结果的不同而随机地取值1或0。 例2 掷一枚骰子观察出现的点数。

? ? ? , 2, 3, 4, 5, 6? 1
这个试验结果本身就是一个数. 我们引入一个变量 X

当e

? k 时,X ? k

X ? X (e) ? k , e ? ?
,这里 X 是随机变量,

它是依试验结果的不同而随机地取值1,2, 3,4,5,6。 有些试验,试验结果本身不是数量,但 可用数量来描述,如例1; 有些试验,试验 结果本身就是数量,如例2. 即试验结果可数 量化,

定义

设随机试验为 E ,其样本空间为

? ? ?e? ,如果对于每个 e ? ? ,都有一个实数 X (e)和它对应,就得到一个定义在 ? 上的 实值函数 X (e) ,称 X (e) 为随机变量。

e
?

X (e)
R

随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示

而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.

例3 用X 表示 “连续射击, 直至命中时的射击 次数”, 则 X为随机变量,它的可能值是:

1, 2, 3, ?.
例4 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,

现该射手射了30次, 用X 表示“击中目标的次数”
,则X为随机变量, 它 的所有可能取值为:

0, 1, 2, 3, ?, 30.

例5 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅
客在任意时间到达车站, X表示该旅客的候车 时间,则X为随机变量, X ∈ [0, 10]

说明
(1)随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验结果的不同而取不同的值, 由于试验结果的出现具有一定的概率, 因此随机 变量的取值也有一定的概率规律.

二、随机变量与随机事件的关系 引入随机变量后,随机事件可用随机变量 来描述,反之,给出随机变量满足某关系式, 它就表达某个随机事件。 比如:例1中,

?X ? 1? ?X ? 0?

表示 “正面朝上”事件。 表示 “反面朝上”事件。

例2中,事件{点数不少于3}可表示为 ?X ? 3?.

三、随机变量的分类 通常分为两类: 随 机 变 量 离散型随机变量
所有可能取值是有 限个或可列个

连续型随机变量

所有可能取值可 以充满一个区间.

随机变量概念的产生是概率论发展史上的
重大事件。引入随机变量后,对随机现象统计

规律的研究,就由对事件及事件概率的研究扩
大为对随机变量及其取值规律的研究。 这两种类型的随机变量,有很多相同或相 似之处,但因其取值方式不同,又有其各自的

特点。


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