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肇庆市2013-2014学年高二上学期期末考试(数学文)


肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题 高二数学(文科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填 写在答题卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的

钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:球的体积 V ?

4 3 1 ?R ,球的表面积 S ? 4?R 2 . 锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 3 3

S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体可以是 A.圆柱 C.棱柱 2.下列命题中假命题 是 ... A.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; B.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平 面相互平行. B.圆台 D.棱台

3.直线 l 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? A. ?

4 3

B.

3 4

3 ,则直线 l 的斜率是 5 3 3 C. 或 ? 4 4

D.

4 4 或? 3 3

4. 如 果 命 题 “ ?( p ? q) ”是 真 命 题 , 则 A. 命 题 p、 q均 为 假 命 题 C. 命 题 p、 q中 至 少 有 一 个 是 真 命 题
1

B. 命 题 p、 q均 为 真 命 题 D. 命 题 p、 q中 至 多 有 一 个 是 真 命 题

5.“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A.-2 B.2 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
C.-4 D.4

7.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α 8.已知双曲线 C: A. y ? ? B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β

x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 2 a b
B. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

x2 y2 9. 设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, P 是 C 上的点,PF2 ? F1 F2 , a b

?PF1 F2 ? 30? ,则 C 的离心率为
A.

3 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 3

B.

D 11
3

C1 B1

C.

10. 如右图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为对角线 BD1 的三等分点,则 P 到各顶点距离的不同取值有 A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个

A1 D A

1 2

D.

3 6

P B

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.命题“ ? x0 ? R, e
2
x0

? 0 .”的否定是 ▲ .

12.抛物线 y ? 12x 上与其焦点的距离等于 9 的点的坐标是 ▲ . 13. 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的正视图的面积 S 的取值范围是 ▲ . 14.如右图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC
B O C

已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3,
A D

2

则圆心 O 到 AC 的距离为 ▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知半径为 3 的球内有一个内接正方体(即正方体的顶点都在球面上). (1)求此球的体积; (2)求此球的内接正方体的体积; (3)求此球的表面积与其内接正方体的全面积之比. 16. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 经过 A(1,1) 、B(2, ? 2 )两点,且圆心 C 在直线 l: x ? y ? 1 ? 0 上, 求圆 C 的标准方程.

17.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5, AA 1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中 点. (1)求证: AC1 ∥ 平面 CDB1 ; (2)求证:AC⊥BC1. 18. (本小题满分 14 分)
A A1 C D C1 B1

B

已 知 平 行 四 边 形 的 两 条 边 所 在 直 线 的 方 程 分 别 是 l1 : x ? y ? 1 ? 0 ,

l 2 : 3x ? y ? 4 ? 0 , 且它的对角线的交点是 M(3,3) ,求这个平行四边形其它两边所在
直线的方程.

19. (本小题满分 14 分) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,且 AB=4,
3

P

点 D 为线段 AB 上一点,且 AD ?

1 DB ,点 C 为 3

圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC .点 P 在圆 O 所在 平面上的正投影为点 D,PD=DB. (1)求证: CD ? 平面 PAB ; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离.

20. (本小题满分 14 分)

设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A(? 2 ,0) 、 B( 2 ,0) ,离心率 a 2 b2

e?

2 .过该椭圆上任一点 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q,点 C 在 QP 的延长线上,且 2

| PC |? ( 2 ? 1) | PQ | .
(1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 MN 过椭圆的右焦点与椭圆相交于 M、N 两点,且 MN ? 线 MN 的方程.

8 2 ,求直 7

2013—2014 学年第一学期统一检测题 高二数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 D 7 C 8 C 9 A 10 B

二、填空题 11. ? x ? R, e x ? 0 12. (6,?6 2 ) (只答一个得 3 分)
4

13. [1, 2 ] 三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)球的体积 V ?

14.

5

4 3 4 ?R ? ? ? ( 3 ) 3 ? 4 3? 3 3

(4 分) (5 分)

(2)设正方体的棱长为 a,所以对角线长为 3a .

因为球的半径为 3 ,且正方体内接于球,所以正方体的对角线就是球的直径, 故 3a = 2 3 ,解得 a ? 2 . 因此正方体的体积 V ? 2 ? 8 .
3

(7 分) (8 分) (9 分) (10 分)

(3)由(2)得 a ? 2 ,所以正方体的全面积为 S正方体 ? 6a 2 ? 24, 球的表面积 S球 ? 4?R 2 ? 12? , 所以

S球 S正方体

?

12? ? ? . 24 2

(12 分)

16. (本小题满分 12 分) 解:方法 1:

?(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? R 2 ? 设圆心 C 为(a,b) ,半径为 R,依题意得 ?(2 ? a) 2 ? (?2 ? b) 2 ? R 2 , (6 分) ?a ? b ? 1 ? 0 ?
? a ? ?3 ? 解得 ?b ? ?2 , ?R ? 5 ?
所以圆 C 的标准方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 . 方法 2: 因为 A(1,1) ,B(2,-2) ,所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 ( ,? ) , (2 分) 直线 AB 的斜率 k AB ? (9 分)

(12 分)

3 2

1 2

? 2 ?1 ? ?3 , 2 ?1

(4 分) (6 分) (9 分)

因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 . 圆心 C 的坐标满足方程组 ?

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ,解之得 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ? y ? ?2
5

所以圆心 C 的坐标是(-3,-2) 半径 r ? AC ?

(10 分)

?1 ? 3?2 ? ?1 ? 2?2
2

?5
2

(11 分) (12 分)
C1 B1

所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 3? ? ? y ? 2? ? 25. 17 . (本小题满分 14 分) 证明: (1)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, 因为 E 为正方形 CBB1C1 对角线的交点, 所以 E 为 C1B 的中点. 又 D 是 AB 的中点, 所以 DE 为?ABC1 的中位线, 故 DE//AC1. (4 分) (5 分)
A A1 C

E

(2 分)

B D

因为 AC1?平面 CDB1,DE?平面 CDB1,所以 AC1//平面 CDB1. (2)在?ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5, 所以 AB2=AC2+BC2,故 AC⊥BC. 因为 C1C⊥平面 ABC,AC?平面 ABC,所以 AC⊥C1C. 又 C1C?平面 BB1C1C,BC?平面 BB1C1C,且 C1C∩BC=C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C. 又 BC1?平面 BB1C1C,所以 AC⊥BC1. 18. (本小题满分 14 分) 解:联立两条直线的方程,得 ?

(7 分)

(9 分) (11 分)

(13 分) (14 分)
D

?x ? y ? 1 ? 0 , (2 分) ?3x ? y ? 4 ? 0

y C

3 ? x?? ? ? 4 解得 ? . 7 ?y ? ? 4 ?

(4 分)

A O

M x

3 7 如图平行四边形 ABCD 的一个顶点是 A( ? , ) , 4 4
设顶点 C( x0 , y0 ) ,由题意,点 M(3,3)是线段 AC 的中点, (5 分)

B

3 ? x ? 0 ? 27 ? 4 ?3 x0 ? ? ? ? ? 2 4 所以 ? , 解得 ? ? y ? 17 ?y ? 7 0 0 ? ? 4 ? 4 ?3 ? ? 2
6

(7 分)

由已知,直线 AD 的斜率 k AD ? 3 ,因为直线 BC // AD , 所以 BC 的方程为 y ?

(8 分) (10 分) (11 分) (13 分)

17 27 ? ? ? 3? x ? ? ,即 3x ? y ? 16 ? 0 . 4 4 ? ?

由已知,直线 AB 的斜率 k AB ? ?1,因为直线 CD // AB , 所以 CD 的方程为 y ?

17 27 ? ? ? ?? x ? ? ,即 x ? y ? 11 ? 0 . 4 4 ? ?

故其余两边所在直线的方程是 3x ? y ? 16 ? 0 , x ? y ? 11 ? 0 . 19. (本小题满分 14 分) (1)证明:方法 1:连接 CO. 由 3AD=DB 知,点 D 为 AO 的中点.

(14 分)

(1 分)

AC ? CB , 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴
由 3 AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,

?ACO 为等边三角形. ∴
故 CD ? AO .

(2 分) (3 分)

PD ? 平面 ABC , (4 分) ∵ 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ,∴

PD ? CD , 又 CD ? 平面 ABC ,∴
由 PD?平面 PAB,AO?平面 PAB,且 PD 得 CD ? 平面 PAB .

(5 分)

AO ? D ,
(6 分) (1 分)

AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 方法 2:∵

在 Rt?ABC 中,由 AB=4, 3 AD ? DB , 3 AC ? BC 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 ,



BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO . ∴
PD ? 平面 ABC , ∵ 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ,∴

PD ? CD , 又 CD ? 平面 ABC ,∴
由 PD?平面 PAB,AO?平面 PAB,且 PD 得 CD ? 平面 PAB .

AO ? D ,
(6 分) (1 分)

AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 方法 3:∵
在 Rt?ABC 中由 3 AC ? BC 得, ?ABC ? 30 , 由 AB=4, 3 AD ? DB ,得 DB ? 3 , BC ? 2 3 ,
7

由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

CD2 ? DB2 ? BC 2 ,即 CD ? AO . ∴
PD ? 平面 ABC , ∵ 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ,∴

PD ? CD , 又 CD ? 平面 ABC ,∴
由 PD?平面 PAB,AO?平面 PAB,且 PD 得 CD ? 平面 PAB . (2)方法 1:由(1)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , ∴ VP ? BDC ? 又 PB ?

AO ? D ,
(6 分) (7 分)

1 1 1 1 1 3 3 . (9 分) S?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 2 3 2 2

PD2 ? DB2 ? 3 2 ,PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 3 ,BC ? DB2 ? DC 2 ? 2 3 ,
1 9 3 15 . ? 3 2 ? 12 ? ? 2 2 2
(12 分)

?PBC 为等腰三角形,则 S?PBC ? ∴
设点 D 到平面 PBC 的距离为 d ,

由 VP? BDC ? VD? PBC 得, S?PBC ? d ? 方法 2:

1 3

3 3 3 5 ,解得 d ? . 2 5
P

(14 分)

由(1)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , (7 分) 过点 D 作 DE ? CB ,垂足为 E ,连接 PE , 再过点 D 作 DF ? PE ,垂足为 F . (8 分) A D F O C (9 分) E B

PD ? 平面 ABC ,又 CB ? 平面 ABC , ∵

PD ? CB ,又 PD ∴
CB ? 平面 PDE , ∴

DE ? D ,

CB ? DF ,又 CB 又 DF ? 平面 PDE ,∴

PE ? E ,
(10 分) (11 分)

DF ? 平面 PBC ,故 DF 为点 D 到平面 PBC 的距离. ∴
在 Rt?DEB 中, DE ? DB ? sin 30 ?

3 , 2

3 3 5 PD ? DE 2 2 2 ?3 5, 在 Rt?PDE 中, PE ? PD ? DE ? , DF ? (13 分) ? 2 PE 5 3 5 2 3?
8

即点 D 到平面 PBC 的距离为

3 5 . 5

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意可得, a ?

2 ,e ?

c 1 c ? 1, ,∴ ? a 2

(2 分)

b ? a ? c ?1, ∴
2 2 2

(3 分)

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(4 分)

? x0 ? x ? ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? y , (6 分) ? ? y ? 2 y0 ? y0 ? 2 ?
2 x0 x2 y2 2 ? y 0 ? 1 ,代入得 ? ? 1 ,即 x 2 ? y 2 ? 2 . 又 2 2 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 . (3) 若直线 MN 的斜率不存在,则方程为 x ? 1 ,所以 MN ?

(8 分)

2?

8 2 . 7

(9 分)

所以直线 MN 的斜率存在,设为 k,直线 MN 的方程为 y ? k ?x ? 1? ,

? x2 ? ? y2 ? 1 ?1 2? 2 2 2 由? 2 ,得 ? ? k ? x ? 2k x ? k ? 1 ? 0 . ?2 ? ? y ? k ?x ? 1? ?
因为 ? ? 4k ? 4( ? k )( k ? 1) ? 2(k ? 1) ? 0 ,所以 x1, 2 ?
4 2 2 2

(10 分)

1 2

4k 2 ? 2k 2 ? 2 . 2(2k 2 ? 1)
(11 分)

设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y 2 ? ,则 x1 ? x 2 ? 所以 | MN |? 即 1? k ?
2

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ,

16 k 4 8k 2 ? 8 8 2 ? ? , 7 (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2

(12 分)

解得 k ? ? 3 .
9

(13 分)

故直线 MN 的方程为 y ? 3?x ? 1? 或 y ? ? 3?x ? 1?.

(14 分)

10


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