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黑龙江省大庆实验中学2013届高三10月月考数学(理)试题


大庆实验中学 2012-2013 学年度月考考试

高三年级数学试题(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。
2 y2 ? x y ? ? x ? 1. 已知集合 M ? ? x | ? ? 1? , N ? ? y | ? ? 1? , M ? N ? ? 3 2 ? ? 9 4 ?

A. ?

B. {(3,0), (2,0)}

C. {t | ?3 ? t ? 3}

D. ?3,2?

2. 不等式 ( x ? 3) A. {x | x ? 3}

5? x ? 0 的解集为 x?2
B. {x | x ? 3} D. {x | 3 ? x ? 5}

C. {x | ?2 ? x ? 5}

3.已知不等式 | 8x ? 9 |? 7 和不等式 ax2 ? bx ? 2 的解集相同,则实数 a 、 b 值分别为 C.-1、9 D.-1、2 a 4.“ 1 ? a ? 2 ”是“对任意的正数 x , 2 x ? ≥ 1 ”的 x A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 5.已知 a ? ( x, ?1), b ? (1, ) 则不等式 a ? b ? 0 的解集为 x A ?x | x ? ?1或x ? 1? B ?x | ?1 ? x ? 0或x ? 1? C ?x | x ? ?1或0 ? x ? 1? D ?x | x ? ?1或0 ? x ? 1? 6. 有关命题的说法错误的是 .. A. 命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 , 则 A.-8、-10 B.-4、-9

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”
B. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. D.对于命题 p : ?x ? R , 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 . 则 ? p : ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 . 7. 已知 a 是实数, (a ? i)(1 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则 a = A.1 B.-1 C. 2 D.-

2

8. 在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边 界) ,若目标函数 z ? x ? ay 取得最小值的最优解有无数 y 个,则 的最大值是 x?a 2 2 1 1 A. B. C. D. 3 5 6 4 9.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) ,始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长, 则 1 ? 2 的最小值为 a b A.1 B. 5 C. 4 2 D. 3 ? 2 2

10.已知平面向量的集合 A 到 B 的映射 f 为 f ( x) ? x ? 2( x ? a)a ,其中 a 为常向量, 若映射 f 满足 f ( x) ? f ( y) ? x ? y 对任意 x, y ? A 恒成立,则 a 用坐标可能是 A. (
5 1 ,? ) 2 2

B. (

2 2 , ) 4 4

3 1 C. ( , ) 4 4

1 3 D. (? , ) 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? (1 ? ? )OA ? (1 ? ? )OB ? (1 ? 2? )OC ? 11.已知 O 为 ?ABC 的外心,动点 P 满足 OP ? 3
(? ? R) ,则 P 的轨迹一定过 ?ABC 的

A.内心

B.垂心

C.重心

D. AC 边的中点

12.已知函数 f ( x) 满足 3 f ( x) ? xf ?( x) , f ?(? x) ? f ?( x) ,则 f ( x) 的零点个数最多有 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 已知函数 f ? x ? ? ? 4a ? 3? x ? b ? 2a, x ??0,1? ,若 f ? x ? ? 2 恒成立,则 t ? a ? b 的最 大值为 14. 已知函数 f ( x) 的定义域为[-2, +∞), 部分对应值 如右表, f ?(x) 为 f ( x) 的导函数,函数 y ? f ?( x) 的图象 如右图所示,若两正数 m, n 满足 f (2m ? n) ? 1 ,则
n?3 的取值范围是 m?3

x
f (x )

?2
y

0 - 1

4 1
x

1-2

O



15. 函数 y ? ? ln x 的图象与曲线 y 2 ? ex( y ? 0) 、直线 y ? 0 围成的面积为
?? 2 ? a ? x ? 1, ? x ? 1? ? 16. 已知 f ? x ? ? ? x ( a >0 , a ? 1 )是 R 上的增函数,那么 a 的 ? x ? 1? ?a , ? 取值范围是 .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.
2 2 17.(本小题满分 10 分) 设命题 p :关于 x 的不等式 ax ?ax?2a ? 1(a ? 0 且 a ? 1) 的解 集为 {x | ?a ? x ? 2a} ;命题 q : y ? lg(ax2 ? ax ? 1) 的定义域为 R ,如果 p ? q 为真, p ? q 为假,求 a 的取值范围

18. (本小题满分 12 分) 已知条件 p : 5x ? a ? 1或5x ? 1 ? a(a ? 0) 和条件
1 ? 0 ,请选取最小的 a 值,分别利用所给的两个条件作为 s, l 构造命题: 2 x ? 3x ? 1 “若 s ,则 l ” ,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题,则这一命题是 什么? q:
2

19.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点
A(?1, ?2), B(2,3), C (?2, ?1) .

(1)求以线段 AB, AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;

??? ??? ??? ? ? ? (2)在直线 OC 上是否存在一点 P ,使 ( AB ?OP ) ? OC ? 0 ?若存在求出 P 点坐标,若
不存在请说明理由. 20. 本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x ,其图象记为曲线 C . (
(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意非零实数 x1 ,曲线 C 与其在点 P ( x1 , f ( x1 )) 处的切线交于另一点 1

P2 ( x2 , f ( x2 )) ,曲线 C 与其在点 P2 ( x2 , f ( x2 )) 处的切线交于另一点 P ( x3 , f ( x3 )) ,线段 3

PP2, P2 P 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1 , S2 , 求 1 3

S1 的值. S2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?0,1? ,且同时满足: (1)对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ;

(2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 .

(I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x) 的最大值; (III)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? ? 1 (an ? 3), n ? N * .求证: 2
f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (an ) ? 3 ? 2n ? 2
22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?
1 2?3n?1

.

t (t ? 0) 和点 P(1, 0) ,过点 P 作曲线 y ? f ( x) 的两 x

条切线 PM , PN ,切点分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .

(1)求证: x1 , x2 是关于 x 的方程 x2 ? 2tx ? t ? 0 的两根; (2)设 MN ? g (t ) ,求函数 g (t ) ; (3)在(2)的条件下, 若在区间 [2,16] 内总存在 m ? 1 个实数 a1 , a2 ,?, am?1 , 使得不等式

g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,求实数 m 的最大值.

一、选择题: 1. C 2.D 3. B 二、填空题: 13.解析 由已知, ? 4. A 5. D 6.C 7.B 8. B 9.D 10.D 11.C

12.D

? f ? 0 ? ? b ? 2a ? 2 ? b ? 2a ? 2 3 ? ,即 ? ,由线性规划知识知,当 a ? , 4 ? f ?1? ? b ? 2a ? 3 ? 2 ?b ? ?2a ? 5 ?

7 17 时 t ? a ? b 达到最大值 。 2 4 ?3 7? 14. ? 5 , 3 ? ? ? b?

3e ? 4 3e 3 16. [ , 2) 2

15.

三、解答题:

17. p : 0 ? a ? 1; q : 0 ? a ? 4 ,所求 {a | a ? 0 或 1 ? a ? 4}
18.提示:答案不唯一.如 a ? 4 等.

19.(1) 4 2 , 2 10 (2)存在 P (
22 11 , ) 5 5

20.提示:(1) f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?

3 3 3 3 , ). ) 和 ( , ??) ;单调递减区间为 (? 3 3 3 3

(2)

S1 1 ? S2 16
(2 分)

21.解: (I)令 x1 ? x2 ? 0 ,由(3),则 f (0) ? 2 f (0) ? 2,? f (0) ? 2 由对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2,? f (0) ? 2 (II)任意 x1 , x2 ??0,1? 且 x1 ? x2 ,则 0 ? x2 ? x1 ? 1,? f ( x2 ? x1 ) ? 2

? f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 ) ? fmax ( x) ? f (1) ? 3
(III)? Sn ? ? (an ? 3)(n ? N ) ? Sn?1 ? ? (an?1 ? 3)(n ? 2)
1 2 *
1 2

(6 分)

?an ? 1 an?1 (n ? 2),?a1 ? 1 ? 0?an ? 3n1?1 3
? f (an ) ? f (
1 ? f ( 3n ) ? 1 ) ? f ( 1 ? 1 ? 1 ) ? f ( 2 )? f ( 1 )?2?3f ( 1 )?4 3n 3n 3n 3n 3n 3n 3n?1 1 f ( 1 ) ? 4 ,即 4 f (an?1 ) ? 1 n) ? 3 。 3 3 3 3n?1

(8 分)

f (a

? f (an ) ? 1 f (an?1 ) ? 4 ? 312 f (an?2 ) ? 342 ? 4 ? ? ? 3n1?1 f (a1 ) ? 3n4?1 ? 3n4?2 ? ?? 342 ? 4 ? 2 ? 3n1?1 3 3 3 3
1 故 f ( an ) ? 2 ? n?1 3

? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ? 2n ? 1?31 即原式成立。 3
22.提示: (1)略 (2) g (t ) ? 2 5t 2 ? 5t (t ? 0) (3) m 的最大值为 6

1?( 1 )n

(14 分)


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