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示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.1.4)


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2.1.4 映射的概念 整体设计 教材分析 映射与前面学习的集合和函数有着密切的关系, 事实上, 映射是两个集合中的一种特殊 的对应关系,即如果按照某种对应法则,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有 唯一的元素与它对应,那么这样的对应(包括对应法则)叫做集合 A 到集合 B 的映射. 在刚开始学习映射时,为了能让学生看清映射的构成,可以选择用图形表示映射,并选 择能用列举法表示的有限集, 法则尽量用语言描述, 这样的表示方法可以让学生比较直观地 认识映射,而后再用抽象的数学符号表示映射. 关于映射中象和原象的概念以及映射的分类和一一映射、单射、满射等概念,一般不要 涉及,对于函数与映射的关系,只需强调若映射中的两个集合 A 和 B 均为非空数集时,这 个映射就是函数. 三维目标 1.了解映射的概念,会借助图象帮助理解映射的概念. 2.会根据定义判断映射. 3.了解映射是函数概念的一般扩展(将数集扩展到任意元素组成的集合),函数是一类特 殊的映射(非空数集到非空数集的映射). 4.采用“举例——观察——比较——讨论——总结”的形式,通过实例找共性,给出映射 的定义,最后进行小结,教师起到点拨和深化的作用. 重点难点 教学重点: 映射的概念及判断. 教学难点: 映射的概念. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 设计思路一(情境导入) 1.老师走进教室,只要环顾一下,不点名,就知道今天有没有同学缺课,缺课的同学有 多少.大家知道老师是怎么做到的吗?(每个同学都有唯一的座位) 2.为了解学生身体健康状况,现对高一年级全体学生的体重进行统计,设高一年级的全 体同学组成集合 A,正实数集为集合 B,让集合 A 中任一同学与其体重对应,则得到一个 从集合 A 到集合 B 的对应.(课本引例) 用下图来表示这个对应:

你还能举出一些类似的例子吗?(由同学们自由发挥)例如: 1.中华人民共和国的任何一个公民都有唯一的身份证号码与之对应; 2.数轴上的任何一个点都有唯一的实数与之对应; 3.坐标平面内的任何一个点都有唯一的有序实数对与之对应; 4.平面上任何一个三角形都有唯一的面积与之对应. 这些都是从集合 A 到集合 B 的对应,这些对应有没有什么共同的特征?

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设计思路二(事例导入) 在前一章集合的初步知识中, 我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系, 现在我 们重点研究两个集合中元素之间的对应关系,这要先从我们熟悉的对应说起. 出示下图(用投影仪打出一些对应关系,共 5 个):

1.这 5 个图中,它们有什么共同特点? 应该能看出,各个图都反映了两个集合的元素之间的一种对应关系,即对于集合 A 中 的任一个元素,按照某种法则在集合 B 中都有确定的(一个或几个)元素与它对应. 2.进一步观察,(1)(2)(4)(5)这 4 个图中的对应有什么共同特点?设计思路三(复习导入) 前面学习的集合的有关知识,包括元素与集合的关系,集合之间的包含关系等,两个集 合之间的内在联系是通过两个集合中元素与元素的对应关系揭示的.而刚刚学过的函数 y=f(x)实际上是定义域 A 上的元素 x 到值域 B 上的元素 y 之间的一种对应关系, 这里定义域 A 和值域 B 都必须是非空数集, 如果我们把集合 A 和集合 B 扩充为任意非空集合(未必是数 集),则这样的对应就未必是函数,那么这个对应又是什么呢? 推进新课 新知探究 对于设计思路一,教师提出问题:这些对应有什么共同的特征? 若学生无法归纳,则鼓励他们讨论,只要有人说出“任一”“都有”“唯一”等关键词,都给 予热情鼓励. 若经讨论仍然没有同学能够说出这些关键词, 则可以提示学生从上面例子的句式结构上 观察,它们都有同样的句子结构:“……任何一个……都有唯一的……与之对应”. 这些例子都是在说明集合 A 和集合 B 的元素之间的对应关系,都有一个共同的特征, 就是: (板书)集合 A 中的任何一个元素在集合 B 中都有唯一的元素与之对应. 这样的对应就是我们今天要学习的映射. 然后教师和学生一起把刚才的板书修改完善: (板书)定义:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何一 个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的 对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射, 记作: f:A→B 对于设计思路二, 紧接上面问题, (1)(2)(4)(5)这 4 个图中的对应有什么共同特点?(用投 影仪将这几个图集中在一起) 类似思路一,老师鼓励学生自己得出结论:集合 A 中的任何一个元素在集合 B 中都有 唯一的元素与之对应.如果有困难,也采用思路一类似的办法,最后同样得到映射的定义. 对于设计思路三,函数实际上是定义域 A 上的元素 x 到值域 B 上的元素 y 之间的一种

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对应关系,对于集合 A 中的任何一个元素 x,在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应,这 里定义域 A 和值域 B 都必须是非空数集.如果我们把函数中定义域 A 和值域 B 扩充为任意非 空集合,则这样的对应就未必是函数,我们把这样的对应称为映射(板书).然后老师和学生一 起把映射的定义叙述并修改完善. 记忆技巧:(学生思考、讨论、回答,教师整理、强调) ① “任意性”:映射中的两个集合 A、B 可以是数集、点集或由图形等组成的任意集合, 这是映射的“任意性”; ② 到 B”:映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射,例 “A 如 A 到 B 是求平方,B 到 A 则是开平方,因此映射是“有序的”; ③ “任一”:对于集合 A 中的任何一个元素,集合 B 中都存在元素和它对应,这是映射 的“存在性”; ④ “唯一”:对于集合 A 中的任何一个元素,集合 B 中都是唯一的元素和它对应,这是 映射的“唯一性”; ⑤ “在集合 B 中”: 也就是说 A 中元素的对应元素必在集合 B 中, 这是映射的“封闭性”.(这 一点可根据学生的具体学情有选择地教学) 映射概念的核心就是“A 中之任一对 B 中之唯一”, 这是判断一个对应是不是映射的关键. 从形式上看映射有“一对一”和“多对一”,另外,集合 A 中的元素必须一个不剩,集合 B 中 元素允许剩余,而对应有“一对一”“多对一”“一对多”“多对多”四种情况. 三句口诀: 1.A 中之任一对 B 中之唯一. 2.对一是映射,对多非映射. 3.A 中一个不剩,B 中可以多余. 应用示例 思路 1 请同学甲设计一个例题: 例题 下面给出的四个对应中,能构成映射的有哪些? 要求:四个对应两个是映射,两个不是映射.两个映射必须分别是“一对一”和“多对一”, 两个不是映射的对应必须分别体现没有符合“A 中之任一”和“B 中之唯一”. 同学乙对同学甲编制的题目是否符合老师的要求作出回答, 并分析原因, 给出正确答案. 思路 2 教师直接给出题目:(用投影仪打出一些对应关系,共 4 个) 例 1 下面给出的四个对应中,能构成映射的有哪些?

分析: 一个对应是不是能够构成映射, 就看它能不能满足映射定义的要求, 即抓住关键: A 中之任一对 B 中之唯一.既然“A 中任一”,则 A 中不能有多余的元素,应该一个不剩,而 B 中元素没有这个要求,故 B 中元素可以允许有多余;既然“B 中唯一”,则只能是“一对一” 或“多对一”,而不能是“一对多”或“多对多”. 解:因为(1)(3)的对应满足映射的定义,而(2)不满足“任意性”,(4)不满足“唯一性”,所 以(2)(4)不能构成映射,能构成集合 A 到 B 的映射的有:(1)(3).

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错误解法: 本题容易在(1)(2)的判断上出现错误.(1)有两个箭头指向同一元素, 易判为“不 是映射”,(2)中都是一个箭头在指,所以易判为“是映射”.这时要提醒学生:对于(1),只要 A 中的一个元素射出去的箭头只有一个就可以了,至于有多少个箭头指向 B 中同一元素就无 所谓了;对于(2),A 中不能有多余的元素,应该一个不剩,而 B 中元素没有这个要求,可 以允许有多余. 例 2 (用投影仪打出) 下列对应,哪些是 A 到 B 的映射? (1) A={x|x≥0},B={1},对应法则 f:x→y=x0. (2) A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应法则 f:x→y=

1 x. 3 1 2 x. 8

(3) A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应法则 f:x→y=(x-2)2. (4) A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},对应法则 f:x→y=

解:因为(2)(4)的对应满足映射的定义,所以能构成集合 A 到 B 的映射;而(1)(3)不满 足“任意性”,所以(1)(3)不能构成映射. 错误解法分析:判断(1)时,学生容易忽视元素 0,判断(2)时,由于 C≠B,也容易发生 错误,判断(3)(4)时,由于都是二对一,在求A中所有元素的对应元素组成的集合时容易出 现错误,这些都要一一纠正. 例 3 (用投影仪打出) 设集合 A={x|0≤x≤1},B={y|0≤y≤1},则下图所示的各图象中,表示从集合A到集合B 的映射的是___________.

分析:上图的五个图中,显然所有的 x∈A,① ④ 中都有 y∈B,这一点都符合了“A ③ ⑤ 中任一元素都有B中元素与之对应”,只有② 中当

1 <x≤1 时对应的 y?B ,即B中没有元素 2

与之对应,所以② 不是映射.④ 中除了元素 0,A中每个元素都有两个元素与之对应,所以④ 也不是映射.① ⑤ ③ 中每一个不同的 x 都只有唯一的B中的元素y与之对应,符合了映射的定 义,所以① ⑤ ③ 是映射. 答案:① ⑤ ③ . 点评:本题是由图象的形式给出映射,由于学生对映射的图象表示还不是太熟悉,所以 往往会看不懂题目表示的意思,导致解题时无从下手.这时老师可结合前面学过的函数的图 象来指导学生读题, 指出图象上每一个点都可以用坐标来表示, 其中横坐标x就是映射中集 合A中的元素,纵坐标y就是集合B中的元素,这时映射的定义就可以表示为“以集合A中 的数为横坐标的点都在图象上(A中任一元素), 其对应的纵坐标都属于集合B(都有B中元素 与之对应),且横坐标不同时对应的纵坐标也不同(与x对应的y是唯一的).具体看图时可以 看如下三个方面:① 横坐标是否都在定义域内,定义域内的数是否都在图象上;② 纵坐标是 否都在值域内;③ 与x轴垂直的直线与图象的公共点是否只有一个. 例 4 已 知 集 合 A={1,2,3,m},(m ∈ N),B={4,7,n4,n2+3n},(n ∈ N), 设 x ∈ A,y ∈ B,“f:x→y=3x+1”是集合 A 到集合 B 的映射,求 m,n 的值.

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分析:根据映射的定义,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素 和它对应,而对应法则是“f:x→y=3x+1”,所以 1→4,2→7,3→10,m→3m+1.由于对应法 则是一次关系式,所以 A 中不同元素对应的 B 中元素也必须不同,不可能出现“多对一”的 情况.而 B={4,7,n4,n2+3n}, 所以 10 和 3m+1 必然等于 n4 和 n2+3n, 这里又有两种情况: 10=n4, 3m+1=n2+3n,或者 10=n2+3n,3m+1=n4,继续解出 m、n,问题就解决了. 解:∵ 1+1=4 ,3× 3× 2+1=7,3× 3+1=10, 又∵ 对应法则是“f:x→y=3x+1”,∴ 3m+1 不可能等于 4、7、10, ∴ ? 由

?n 4 ? 3 ? 3 ? 1 ? 10, ? 又 m,n∈N,∴ 方程组无解. ?n 2 ? 3n ? 3m ? 1, ?

由?

? 4 ?n ? 2, ?n ? 3m ? 1, 又 m,n∈N,解得 ? 2 ? ?m ? 5. ?n ? 3n ? 3 ? 3 ? 1 ? 10,

综上所述 m=5,n=2. 错误解法: 一种错误是没有说明这个映射不可能是多对一.因为在 1→4,2→7,3→10 的情况下, 如果不考虑对应法则,m 完全有可能再和 4、7、10 中的某一个对应,这样需讨论的情况就 太多了.所以应该先考虑对应法则,得到这个映射只能是一对一,这时就仅仅剩下两种情况 讨论了. 另一种错误是不讨论,这时老师可以画图,用箭头来指出有两种情况. 点评:本题中, 学生非常容易忽略“多对一”, 并且只解第一种情况而忘记解第二种情况. 所以不论学生是不是出现错误,都要强调先说明“ 3m+1 不可能等于 4、7、10”,再对两种可 能情况分别求解,解方程组的具体过程可以简略一些. 知能训练 课本第 42 页练习 1、2、3、4. 解答: 1.(1)因为对应法则是 f:x→2x+1,所以 1→3,2→5. (2)因为对应法则是 g:x→

x ?1 ,所以 3→1,5→2. 2

两个映射 f 和 g 是互为逆映射.(见备课资料) 2.(1)集合 A 中一共有 3 个元素 1,4,9,对应法则是“f:x→x 的平方根”,所以 1→±1, 4→±2,9→±3,尽管± 1,± 2,± 都是集合 B 中的元素,但这是“二对一”,因而这个对应不 3 符合映射的定义,所以这个对应不是映射. (2)集合 A 中存在元素 0,由于对应法则是“f:x→x 的倒数”,所以元素 0 在集合 B 中没 有元素与之对应,因而这个对应不符合映射的定义,所以这个对应不是映射. (3)是映射. (4)集合 A 是平面内周长为 5 的所有三角形组成的集合,其中任意一个三角形都有唯一 的外心,且外心都是这个平面内的点,由于对应法则为 f:三角形→三角形的外心,所以 A 中任一元素都和 B 中唯一元素对应,这就符合了映射的定义,因此这个对应是映射. 3.(1)根据题目中的对应法则,m→n,a→b,t→u,h→i,e→f,i→j,c→d,s→t,所以 明文“mathematics”的密文为“nbuifnbujdt”. (2)同上,i→j,t→u,s→t,f→g,u→v,n→o,y→z,所以密文“ju jt gvooz”的明文是“it is funny”. 课堂小结

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映射是由集合 A,集合 B 和对应法则三部分组成的一个整体,判断一个对应是不是映 射应该抓住关键:A 中之任一对 B 中之唯一.A 中不能有多余的元素,应该一个不剩,而 B 中元素没有这个要求,可以允许有剩余;映射只能是“一对一”或“多对一”,而不能是“一对 多”或“多对多”,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射. 作业 1.若集合 A={0,1,2,3,4,5,6} ,f:x→y=x2-4x 是从 A 到 B 的映射,则集合 B 中至少有______________个元素. 解答:因为集合 A={0,1,2,3,4,5,6} ,对应法则为 f:x→y=x2-4x,所以 0、4→0, 1、3→-3,2→-4,5→5,6→12,而集合 B 必须包含这些元素,因此 B 中至少有 5 个元素. 2.已知集合 A=B={(x,y)|x∈R,y∈R} 到 B 的映射 f:(x,y)→(x+y,xy). ,A (1)A 中元素(2,-3)对应于 B 中哪个元素? (2)B 中元素(2,-3)与 A 中哪个元素对应? 解答:(1)当 x=2,y=-3 时,x+y=-1,xy=-6,所以 A 中元素(2,-3)对应于 B 中元 素(-1,-6). (2)当 ?

? x ? y ? 2, ? x ? ?1, ? x ? 3, 时,得 ? 或? 所以 B 中元素(2,-3)与 A 中元素(-1,3)和(3, ? xy ? ?3 ? y ? ?1, ?y ? 3

-1)对应. 3.阅读课本第 44 页第 12 题(阅读题),找一些生活中与对应和映射有关的实例. 设计感想 原教材中映射这部分内容是安排在函数这一章的开始,现在苏教版教材安排在函数概 念、图象、表示方法、单调性、奇偶性等内容之后.因为映射的概念如果单单从非数学的日 常生活方面来看, 并不难以理解, 但是上升到严格的数学定义和抽象的数学概念就比较深奥. 所以教材这样安排一方面是考虑到多数高中学生的认知特点.为了降低难度,教材先让学生对 函数有了初步认识,接触了部分具体的函数,在有了一定的体会后,再学习映射,同时对函 数的认识也得到进一步加强.另一方面是为了通过循环反复学习,加深了学生对函数概念的 理解, 有助于他们对函数概念本质的理解, 像函数这样的核心概念需要多次接触、 反复体会、 螺旋上升,逐步加深理解,才能真正掌握,灵活应用. 本课在教学设计时努力体现新课标的要求.在映射概念引入时,先从学生熟悉的对应入 手,选择一些具体的生活例子,然后再举一些数学例子,先用图形表示映射,在集合的选择 上先选择了能用列举法表示的有限集,对应法则用语言描述,对应形式上分为“一对多”“多 对一”“多对一”“一对一”四种情况,让学生认真观察,比较,再引导学生发现其中“一对一” 和“多对一”的对应是映射,逐步归纳概括出映射的基本特征,让学生的认识从感性认识到理 性认识.这样的教学方法可以让学生比较直观地认识映射,而后再选择用抽象的数学符号表 示映射. 在教学方法上本课采用启发、讨论的形式,让学生在实例中去观察、比较,启发学生寻 找共性,共同讨论映射的特点,共同举例、计算,最后进行小结,教师要起到点拨和深化的 作用. 为了使学生更加容易接受抽象的数学概念, 也可以多采用一些日常生活的语言, 列举一 些学生感兴趣的例子.譬如为了让学生对映射可以“一对一”,也可以“多对一”,但不能“一对 多”,也不能“多对多”有深刻印象,可以用“射雕”来比喻:可以“一箭一雕”“多箭一雕”但不能 “一箭双雕”“一箭多雕”“多箭多雕”;为了让学生对“A 中任一元素在 B 中均有唯一的一个元 素与之对应,但允许 B 中有一些元素没有 A 中任何元素与之对应”有深刻印象,仍然可以用 “射雕”来比喻:“鞘中的箭必须射完,而且箭箭中雕,但有些雕可以不是瞄准的目标”.

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习题详解 课本第 43 页习题 2.1(3) 1. 函数 k>0 单调区间 单调性 (-∞,+∞) 单调递增 Y=kx+b k<0 (-∞,+∞) 单调递减 k>0 (-∞,0),(0,+∞) 单调递减 y=

k +b x
k<0 (-∞,0),(0,+∞) 单调递增

2.略. 3.(1)单调增区间(-∞,0],单调减区间[0,+∞),最大值是 1,无最小值; (2)单调减区间[-1,1],最大值是 2,最小值是-2; (3)单调减区间[0,+∞),最大值是 0,无最小值; (4)单调增区间(-∞,+∞),无最大值和最小值.

(1)

(2)

(3) (4) 2 2 4.因为 a +1-2a=(a-1) ≥0,所以 a +1≥2a,故 f(a +1)≤f(2a). 5.(1)当 a、b 不全为 0 时,f(x)为偶函数;当 a=b=0 时,f(x)既是奇函数,又是偶函数; (2)奇函数;(3)f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 6.因为 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),所以 f(x)是偶函数.图象如图所示.
2 2

7.证明:(1)设 x1<x2≤0,则 f(x1)-f(x2)=-2x12+3-(-2x22+3)=2(x1+x2)(x2-x1). 因为 x1+x2<0 且 x2-x1>0,所以 f(x1)<f(x2),故 f(x)在(-∞,0]上是单调增函数; (2)设 x1<x2≤0, 则 f(x1)-f(x2)=-x13+1-(-x23+1)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22). 因为 x1<x2≤0 且 x1x2≥0,x12>0,x22≥0,x12+x1x2+x22>0.而 x2-x1>0,所以 f(x1)>f(x2),

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故 f(x)在(-∞,0]上是单调减函数; (3)① x1<x2<0,则 f(x1)-f(x2)=2 ? 设

1 3 3 1 3( x1 ? x 2 ) -2+ =3( 2 ? )= . x x1 x2 x1 x1 x 2

因为 x1x2>0,x1-x2<0,所以 f(x1)<f(x2),故 f(x)在(-∞,0)上是单调增函数; ② 0<x3<x4,则 f(x3)-f(x4)= 设

3( x3 ? x 4 ) .由 0<x3<x4,得 x3x4>0,x3-x4<0,所以 f(x3) x3 x 4

<f(x4),故 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数. 综上所述,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上是单调增函数; (4)① 0<x1<x2≤1, 设 则 f(x1)-f(x2)=x1+

x ? x1 x x ? x1 1 1 -x2- 2 =x1-x2+ 2 =(x1-x2)· 1 2 . x x1 x1 x2 x1 x2

因为 0<x1<x2≤1,所以 0<x1x2<1,x1x2-1<0.而 x1-x2<0,所以 f(x1)>f(x2),故 f(x)在 (0,1]上是单调减函数; ② 1≤x3<x4,则 f(x3)-f(x4)=(x3-x4)· 设

x3 x 4 ? 1 .因为 1≤x3<x4,所以 x3x4>1,x3x4-1>0. x3 x 4

而 x3-x4<0,所以 f(x3)<f(x4),故 f(x)在[1,+∞)上是单调增函数. 综上所述,f(x)在(0,1]上是单调减函数,在[1,+∞)上是单调增函数. 8.因为 B={-1,3,5} ,f:x→2x-1,要组成 A 到 B 的映射,只要 A 中的任一元素在 对应法则 f 下的对应元素都在 B 中即可.而 0→1,2→3,3→5,所以集合 A 只要是{0,2, 3}的非空子集就可以了.本题答案不唯一,共有 7 个. 9.因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),即 x2-mx+1=x2+mx+1 恒成立,所以 m=0. 10.因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=f(-0)=-f(0),所以 f(0)=0. 又因为 x>0 时,f(x)=1,所以 x<0 时,-x>0,f(-x)=1,f(x)=-f(-x)=-1.

?1, x ? 0, ? 综上所述,f(x)= ?0, x ? 0, ?? 1, x ? 0. ?

11.函数的单调增区间是(-∞,+∞),图象如图所示. 12. f(x) 增函数 g(x) 增函数 f[g(x)] 增函数 f(x)+g(x) 增函数

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增函数 减函数 减函数 13.略. 减函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 不能确定 减函数 不能确定

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