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汕头市2012~2013学年度普通高中教学质量监测


汕头市2012~2013学年度普通高中教学质量监测

高一级数学
本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2. 选择题每小题选出答案后, 用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不 按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

第 Ⅰ 卷
一、选择题: 本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 (
求的. ) 1.若 sin ? ? 0 , tan? ? 0 ,则 ? 是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角

2.图中阴影部分表示的集合是( ) A. (CU A) ? B B. A ? (CU B ) C. Cu ( A ? B ) D. Cu ( A ? B )

3.下列函数 f ( x), g ( x) 表示的是相同函数的是( ) A. f ( x) ? 2 , g ( x) ? log 2 x
x

B. f ( x) ? x , g ( x) ?

x2

C. f ( x) ? x, g ( x) ?

x2 x
?

D. f ( x) ? 2 lg x, g ( x) ? lg(2 x)

4.已知平面向量 a ? (1 2) , b ? (?2,m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b ? ( ) , A. (?5, 10) ? B. (?4, 8) ? C. (?3, 6) ?
·1·

?

?

?

?

?

D. (?2, 4) ?

5.设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数) ,
x

则 f (?1) 的值为( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

6.函数 f ( x) ? ln x ? A. ? , 1?

2 的零点所在的大致区间是( ) x
C. ?1, 2 ? D. ? 2, 3 ?

?1 ? ?e ?

B. ? e, ?? ?

7.如图在程序框图中,若输入 n=6,则输出 k 的值是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5



8.在平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 中点, AB ? a, AD ? b ,则 BE 等于( ) A. ?

??? ?

? ????

?

??? ?

1? ? a ?b 2

B. ?

1? ? a?b 2

C.

1? ? a ?b 2

D.

1? ? a?b 2

? 9.将函数 y ? cos 2 x 的图象先向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度, 2 所得图象对应的函数解析式是( )
A. y ? ? sin 2 x B. y ? ? cos 2 x C. y ? 2 sin x
2

D. y ? ?2cos x
2

10.已知正项等比数列 {a n } 中, a1 ? 3 , a3 ? 243 ,若数列 {bn } 满足 bn ? log 3 a n , 则数列 {

1 } 的前 n 项和 S n ? ( bn bn ?1
B.



A.

2n 2n ? 1

2n 2n ? 1

C.

n 2n ? 1

D.

n 2n ? 1

·2·

第 Ⅱ 卷
二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分. ( )
11.已知幂函数 y ? x 的图象过点 (2, 2 ) ,这个函数的表达式为______ 12. .如右图是甲篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,茎表示得分 的十位数,据图可知甲运动员得分的众数为 . 8 7 5
?

甲 5 3 2 2 9 0 2 1 4 0 1 2 3 4

? 2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 13.设 f ( x ) ? ? 1 log 3 2 ,x ? 2. ? ( x ? 1) ?
14.计算:已知 x>0,y>0,且



1 9 + =1,x+y 的最小值 x y



三、解答题:(共80分,解答过程要有必要文字说明与推理过程.)
15.(本小题满分12分) 设△ABC 的内角 A,B,C所对的边长分别为 a,b,c,且 cosB= (1)当 A=30°时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 16.(本小题满分 12 分) 浙江卫视为《中国好声音》栏目播放两套宣传片.其中宣传片甲播映时间为3分30秒,广告时间 为30秒(即宣传和广告每次合共用时4分钟) ,收视观众为60万,宣传片乙播映时间为1分钟,广告时 间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有4分钟广告,而电视台每周只能为该栏目宣 传片提供不多于16分钟的节目时间.两套宣传片每周至少各播一次,问电视台每周应播映两套宣传 片各多少次,才能使得收视观众最多?

4 ,b=2. 5

·3·

17.(本小题满分14分) 从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之 间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[ 155 , 160 ),第二组[ 160 , 165 ),…,第八组 [ 190 , 195 ],右图是按上述分组方法得到的频 频率/组距 频率/组距 率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组 0.06 人数相同,第六组的人数为 4 人. (1)求第七组的频率; (2)估计该校的 800 名男生的身高的中位数; 0.04 (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生 中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为 x, y 事件 E ? { x ? y ? 5 },事件 F ? { x ? y ? 15 },
0.016

求 P( E ? F ) .

0.008 O
155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高 (cm) 身高(cm)

18.(本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
2

), x ? R .

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (3)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

19.(本小题满分14分) 已知等差数列{an}的首项为 a (a ? R, a ? 0) .设数列的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 都有

a2 n 4n ? 1 . ? an 2n ? 1

(1) 求数列{an}的通项公式及 Sn ; (2) 是否存在正整数n和k,使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不 存在,请说明理由. 20.(本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3 x x ? a ,其中 a ? R ,
2

(1)当 a ? 2 时,把函数 f (x) 写成分段函数的形式; (2)当 a ? 2 时,求 f (x) 在区间[1,3]上的最值;

n (3)设 a ? 0 ,函数 f (x) 在开区间 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、 的取值
范围(用 a 表示) .
·4·

2012-2013学年度普通高中新课程教学质量监测

高一数学参考答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较 严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 B 5 A 6 D 7 B 8 B 9 C 10 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
1

11. y ? x 2

12.32

13.

2 e2

14. 16

三、解答题(共 80 分,解答过程要有必要文字说明与推理过程) 15、解: (1)因为 cosB=

4 3 ,所以 sinB= . 5 5

3分

由正弦定理

a b a 5 2 = ,可得 = .所以 a= . sin A sin B sin 30 ? 3 3 5

6分

1 3 3 acsinB,sinB= ,所以 ac=3,ac=10. 9分 2 5 10 8 由余弦定理 b2=a2+c2=-2accosB, 得 4=a2+c2- ac=a2+c2-16,即 a2+c2=20. 5
(2)因为△ABC 的面积 S= 所以(a+c)2-2ac=20, (a+c)2=40, 所以 a+c=2 10 . 12 分

·5·

16. 解: 设电视台每周应播映甲片 x 次,乙片 y 次,总收视观众为 z 万人.…………1 分

? 0.5 x ? y ? 4 ? 3.5 x ? y ? 16 ? 由题意得 ? ? x ? 1, x ? N * ? y ? 1, y ? N * ?

? x ? 2y ? 8 ? 7 x ? 2 y ? 32 ? 即? ? x ? 1, x ? N * ? y ? 1, y ? N * ?

………5 分

目标函数为 z=60x+20y. ………6 分 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,可行域 如图(能画出相应直线,标出阴影部分,标明可行域,即可给分) ………8 分

作直线 l:60x+20y=0,即 3x+y=0. (画虚线才得分) ………9 分 平移直线 l,过点(1,12.5)时直线的截距最大, 但 x, y ? N * A(1,12) ,B(2,9)这两点为最优解 故可得:当 x=1,y=12 或 x=2,y=9 时,zmax=300.┄┄┄┄┄11 分 (本题两组答案,答对每组给 1 分) 答:电视台每周应播映宣传片甲 1 次,宣传片乙 12 次 或宣传片甲2次,宣传片乙9次才能使得收视观众最多. ……12分

·6·

17.解: (1)第六组的频率为

4 ? 0.08 , 50

…………………2 分

所以第七组的频率为

1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ;
(2)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 , 身高在第二组[160,165)的频率为 0.016 ? 5 ? 0.08 , 身高在第三组[165,170)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 身高在第四组[170,175)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 由于 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.32 ? 0.5 , 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.52 ? 0.5 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m ,则 170 ? m ? 175 由 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? (m ? 170) ? 0.04 ? 0.5 得 m ? 174.5

…………………4 分

………………6 分

所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 174.5 ………………8 分 (本小题 4 分,只要能写出正确答案的给 2 分,解答过程可能多样,若合理,解答过程 2 分)

(3)第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设为 A, B ,则有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况, ……10 分 因事件 E ? { x ? y ? 5 }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组, 所以事件 E 包含的基本事件为 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况, 故 P( E ) ?

7 . 15

…………12 分

由于 x ? y max ? 195 ? 180 ? 15 ,所以事件 F ? { x ? y ? 15 }是不可能事件, P( F ) ? 0 …………13 分 由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以 P( E ? F ) ? P( E ) ? P( F ) ?

7 15

………14 分

·7·

18.解:

?? ? f ?x ? ? sinx ? sin? x ? ? = sinx ? cosx 2? ?

………1 分

?? ? f ?x ? ? 2s i n x ? ? ? 4? ?
(1) T ? 2? (2) f min ? ? 2, f max ?

………3 分 ………5 分

2

………9 分

(3) f ?x ? ? sinx ? cosx ?

3 4

f ?? ? ? sin? ? cos? ?

3 4 9 16

………11 分 ………12 分 ………13 分 ………14 分

sin 2? ? 2sin?cos? ? cos2? ? 1 ? sin2? ?
sin 2? ? ?

9 16

7 16

19. 解 (1) 设等差数列{an}的公差为 d, 在

a 2 n 4n - 1 a a?d ? 中,令 n=1 可得 2 =3,即 ?3 an 2n - 1 a1 a

………3 分

) 故 d=2a, a n ? a1 ? (n ? 1)d ? (2n ? 1 a 。
经检验,

………5 分

a 2 n 4n - 1 ? 恒成立 an 2n - 1
( ) , S n ? ?1 ? 3 ? ? 2n - 1 ?a ? n a
2
2 2

………6 分

) 所以 a n ? (2n ? 1 a

………8 分 ………10 分

2 (2) 由(1)知 S n ? n a , S n ?1 ? ?n ? 1? a , S n ? k ? ?n ? k ? a

假若 S n , S n ?1 ? ?n ? 1? a Sn ?1 , S n ? k 成等比数列,则 S
2

2

n ?1

? S n S n ? k ,………11 分

即知 a ?n ? 1? ? an a ?n ? k ? ,
2 4 2 2

* n 又因为 a ? 0,,k ? N ,所以 ?n ? 1? ? n ?n ? k ? ,经整理得 n ?k - 2? ? 1 …12 分
2

考虑到 n、k 均是正整数,所以 n=1,k=3 所以,存在正整数 n=1 和 k=3 符合题目的要求。
·8·

……14 分

?4 x 2 ? 6 x, x ? 2 ? f ( x) ? x 2 ? 3x | x ? 2 |? ? ?? 2 x 2 ? 6 x, x ? 2 ? 20.解: (1) a ? 2 时, ….2 分

3 9 f (3) ? 18, f ( ) ? 2 2 (2)结合图像, f (1) ? 4 , f (2) ? 4 ,
所以函数在区间 [1,3] 上最大值为 18,最小值为 4. ………..6 分

(也可写出单调区间,写出可能的最值点及最值。不写过程,只写出最值结果的 各得 1 分) (3)①当 a ? 0 时,函数的图像如右,要使得在开区间 (m, n) 有最大值又有最小值,则最小值一定

在 x ? a 处取得,最大值在

x?

3a 2 4 处取得; f (a) ? a ,在区间 (??, a) 内,函数

值为 a 时

2

x?

3a 9a 2 a a 3a f( )? ?m? 4 8 ,而在区间 (a,??) 内函数值 2 ,所以 2 4 ;

3?3 3 3?3 3 9a 2 x? a a?n? a 8 8 为 8 时 ,所以 …….10 分
②当 a ? 0 时,函数的图像如右,要使得在开区间 (m, n) 有最大值又有最小值,则

最大值一定在 x ? a 处取得, 最小值在

x?

3a 2 8 处取得, f (a) ? a , (a,??) 在

内函数值为 a 时

2

x??

a 3a a 3a 9 ?n?? f ( ) ? ? a2 4 ,所以 8 4, 8 16 ,在区间

9 ? a2 (??, a) 内,函数值为 16 时,
x? 6?3 6 6?3 6 a a?m?a 8 8 ,所以 ……………..13 分

综上所述, a ? 0 时,

a 3a 3?3 3 ?m? ,a ? n ? a; 2 4 8 3a a 6?3 6 ? n ? ? ……………………..14分 a ? m ? a, 8 4 8
·9·

a ? 0 时,


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