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坐标系与参数方程专题跟踪训练27


专题跟踪训练(二十七)
x2 y2 1 . (2015· 河北唐山一模 ) 已知椭圆 C : 4 + 3 = 1 ,直线 l :
? ?x=-3+ 3t ? (t 为参数). ? ?y=2 3+t

(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; (2)设 A(1,0), 若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 P 的坐标.
? ?x=2cos θ [解] (1)椭圆 C:? (θ 为参数),直线 l:x- 3y+9 ?y= 3sin θ ?

=0. (2)设 P(2cos θ, 3sin θ), 则|AP|= ?2cos θ-1?2+? 3sin θ?2=2-cos θ, 点 P 到直线 l 的距离 d= |2cos θ-3sin θ+9| 2cos θ-3sin θ+9 = . 2 2

由|AP|=d 得 3sin θ-4cos θ=5, 3 4 又 sin2θ+cos2θ=1,得 sin θ=5,cos θ=-5.
? 8 3 3? ?. 故 P?- , 5 ? ? 5

?x= 22t 2. (2015· 陕西质检一)已知直线 l 的参数方程是? 2 ?y= 2 t+4
π? ? (t 是参数),⊙C 的极坐标方程为 ρ=2cos?θ+4?.
? ?

2

(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)试判断直线 l 与⊙C 的位置关系. [解] (1)∵ρ= 2cos θ- 2sin θ, ∴ρ2= 2ρcos θ- 2ρsin θ, ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2- 2x+ 2y=0. ∴圆心 C 的直角坐标为?
? 2 2? ?. ,- 2? ?2

(2)∵直线 l 的普通方程为 x-y+4 2=0,⊙C 的半径 R=1,
? 2 ? 2 ? + +4 2? 2 ? 2 ?

圆心 C 到直线 l 的距离 d= ∴d>R. ∴直线 l 与⊙C 相离.

2

=5,

3.(2015· 陕西卷)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

?x=3+2t, ? 3 ?y= 2 t

1

(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极

坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 3sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程; (2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的 直角坐标. [解] (1)由 ρ=2 3sin θ,得 ρ2=2 3ρsin θ, 从而有 x2+y2=2 3y,所以 x2+(y- 3)2=3.
? 1 3? (2)设 P?3+ t, t?,又 C(0, 3), 2 2 ? ?

则|PC|=

? 1? ? 3 ? ?3+ t?2+? t- 3?2= t2+12, 2? ?2 ? ?

故当 t=0 时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0). 4 . (2015· 新课标全国卷Ⅱ ) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 :
?x=tcos α, ? ? (t 为参数,t≠0),其中 0≤α<π.在以 O 为极点,x 轴正 ? ?y=tsin α,

半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B, 求|AB|的最大值. [解] (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3 的直 角坐标方程为 x2+y2-2 3x=0.
? ? ?x +y -2y=0, ?x=0, 联立? 2 2 解得? ?x +y -2 3x=0, ? ?y=0, ?
2 2

?x= 23, 或? 3 y = ? 2.
? 3 3? ,2?. ?2 ?

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α<π. 因此 A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3cos α,α). π?? ? ? 所以|AB|=|2sin α-2 3cos α|=4?sin?α-3??.
? ? ??

5π 当 α= 6 时,|AB|取得最大值,最大值为 4.


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