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高一年级期末测试数学试题


高一年级期末测试数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,用时 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 每题只有一个正确结论, 把正确结论前的代号填在答卷的答题栏内)
1、 sin 480 等于( A. ?
?

D ) C. ?

1 2

B.

1 2

3 2

D.

3 2

2、经过圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为 ( A ) A、 x ? y ? 3 ? 0 B、 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 x ? y ? 3 ? 0 )

3、已知角 ? 终边上一点 P(-4,3) ,则 sin( (A) ?

?

4 5

(B) ?

3 5 1 1 3 2

2 4 (C) 5

? ? ) 的值为( A
(D)
??

3 5
B )

b ,   cos , 且 4、设 a ? (sin x, ),   ? (      x)   a // b ,则锐角 x 为(
(A)

??

? 6

3 4

??

??

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

5 ? 12

5.某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 2007 名学生中抽取 50 名进行抽查,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2007 人中剔除 7 人,剩下 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的机会( C ) A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等 D. 无法确定

6、设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 a , b 满足( D ) A C

a ?b ?1 a?b ? 0

a ?b ?1 D a?b ? 0
B

7、已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f (x) 的图像向左

平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( D) A

? 2

B

3? 8

C

? 4

D

? 8

8、函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示, 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (11) 的值等于( C )

A. 2

B. 2 ?

2

C. 2 ? 2 2

D. ? 2 ? 2 2 ( B )

9. 如图, 在△ABC 中, BD ?

1? 1? a? b 3 3 1? 1? C. a ? b 2 4
A.

? ? 1 DC , AE ? 3ED ,若 AB ? a , AC ? b ,则 BE ? 2 1? 1? A B. ? a ? b 2 4 1? 1? D. ? a ? b E 3 3
B D C

10.已知 OB ? (2,0) , OC ? (2,2) , CA ? ( 2 cos? , 2 sin? ) (? ? R) ,其中 O 为原点,则

OA OB 夹角的范围为 与
A. [0,

(

D )

?
4

]

B. [

? 5?
4 12 ,

]

C. [

5? ? , ] 12 2

D .[

, ] 12 12

? 5?

第Ⅱ卷(非选择题

共 80 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分;共 20 分.
11、以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2

12、如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x ? ____12____。 13.给出下列命题: ①存在实数 ? ,使 sin ? ? cos ? ? ②函数 y ? sin( 2 x ?

5 5? ? ) +1 的一个对称中心为 (? , 0) 4 8 ? 5 ③ x ? 是函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 的一条对称轴方程 4 8
④若 ?、? 是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? 其中正确命题的序号是__________③___________ 14、已知函数 y ?

3 2

sin 2 x cos x ? 1 的值域为____ ? ? , 4) ______ 1 ? sin x ? 2

三、解答题:本大题共 6 个小题.共 80 分.解答要写出文字说明、 证明过程或解题步骤. 15、 (本小题满分 12 分)已知 a ? (1, 2sin ? ), b ? ? cos ? , ?2 ? ,且 a ? b (1)求 tan ? 的值

?

?

?

?

1 的值 sin 2? ? cos 2 ? 1 ? ? 解: (1)由 a ? b ,得 cos ? ? 4sin ? ? 0 ,又? cos ? ? 0 ,? tan ? ? ……6 分 4 1 ?1 2 2 2 1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 17 16 (2) = = ……12 分 ? ? 2 2 1 sin 2? ? cos ? 2sin ? cos ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 2 ? ? 1 24 4
(2)求 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? ) 在 x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)若 f ( ? ?

?
12

时取得最大值 4。

2 3

?
12

)?

12 ,求 sin ? 。 5
……3 分

……4 分

……8 分

sin(2? ?

?
2

)?

3 3 3 1 5 2 2 , cos 2? ? , 1 ? 2sin ? ? , sin ? ? , sin ? ? ? .……12 分 5 5 5 5 5

17、 (本小题满分 14 分) 已知函数 y ? sin

1 1 1 x cos x ? 3 cos 2 x +1,求: 2 2 2

(1)求函数的单调减区间; (2)求函数的最大值,以及函数取得最大值时自变量 x 的集合 解: (1)将函数化简 y ? sin

1 1 1 1 3(cos x ? 1) x cos x ? 3 cos 2 x +1= sin x ? ?1 2 2 2 2 2

=

……6 分 1 3 cos x 3 ? 3 sin x ? ? ? 1 = sin( x ? ) ? ?1 2 2 2 3 2

? 7? 3? 时,即 2k? ? ? x ? 2k? ? ……7 分 6 6 2 3 2 ? 7? ? 函数的单调减区间为 [2k? ? , 2k? ? ], k ? Z 。 ……9 分 6 6
? 当 2 k? ?
? x? ? 2 k? ?
(2)当 sin( x ? 此时 x ?

?

?

?
3

) =1 时,函数取得最大值为

3 ?2, 2

……11 分

?
3

= 2 k? ?

?
2

,k ?Z
……12 分

即 x ? 2 k? ?

?
6

,k ?Z ,

故函数取得最大值时的自变量集合为 ? x | x ? 2k? ?

? ?

?

? ,k ?Z? 6 ?

……14 分

18、 (本小题满分 14 分) 设平面内有四个向量 a 、 、x 、y , 且满足 a = y - x , b =2 x - y ,a ⊥ b , | a |=| b |=1. b (1)求| x |,| y |; (2)若 x 、 y 的夹角为 ? ,求 cos ? . 解: (1)? a ? y ? x, b ? 2x ? y 解得: x ? a ? b , y ? 2a ? b

?

?

?

?

? ? ?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

? ?

?

? ? ?

? ?

……4 分

? ? ? ? ?? ? ? x |2 ? (a ? b )2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 |

? ? ? ? ?a ? b ,?a? ? 0 b

……5 分

? ? ? ? ?? ? ? ? x |2 ? (a ? b )2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 2,| x |? 2 | ? ? ? ? ?? ? ? ? y |2 ? (2a ? b )2 ? 4a 2 ? 4ab ? b 2 ? 5,| x |? 5 |
? ? x ?y ? ? (2)由 cos ? ? ? ? ,? x ? y ? x ?y
……8 分

2 ? 5 ? 10

……10 分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ?y ? (a ? b )? a ? b ) ? 2a 2 ? 3a? ? b 2 ? 3 (2 b

……12 分

? ? x ?y ? cos ? ? ? ? ? x ?y

3 3 10 ? 10 2? 5

……14 分

19、 (本小题满分 14 分) 如 图 : 某 污 水 处 理 厂 要 在 一 个 矩 形 污 水 处 理 池 (ABCD) 的 池 底 水 平 铺 设 污 水 净 化 管 道

( Rt? FHE , H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接
口 H 是 AB 的 中 点 , E, F 分 别 落 在 线 段 BC, AD 上 . 已 知
AB ? 20 米, AD ? 10 3 米,记 ?BHE ? ? .

D

C E

(1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义 域; (2)若 sin ? ? cos ? ? 2 ,求此时管道的长度 L ; (3)问:当 ? 取何值时,污水净化效果最好?并求出此时 管道的长度.

F

A
10 10 , FH ? cos ? sin ?
…………2 分

θ
H

B

答案 1、解: (1) EH ?

EF ?

10 sin? cos?

……………………………………………………4 分

由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 , AF ?

10 ? 10 3 tan ?

? ? 3 ? tan ? ? 3 , ? ? [ , ] …………………………………………………5 分 6 3 3
L? 10 10 10 ? ? ? ? , ? ? [ , ] .……………………………6 分 cos ? sin ? sin ? ? cos ? 6 3
1 ,………………………………………7 分 2

(2) sin? ? cos ? ? 2 时, sin? cos ? ??

L ? 20( 2 ? 1) ;……………………………………………………………………8 分
(3) L ?

10 10 10 sin ? ? cos ? ? 1 ? ? ) = 10( cos ? sin ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?
则 sin ? ? cos ? ?

设 sin ? ? cos ? ? t 由于 ? ? [

t 2 ?1 ……………………………………10 分 2

? ?

, ] ,所以 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? [ 6 3 4
在[

?

3 ?1 , 2] …12 分 2

L?

20 t ?1

? ? 3 ?1 3 ?1 ,? ? 时 , 2] 内单调递减,于是当 t ? 时? ? 6 3 2 2

L 的最大值 20( 3 ? 1) 米. ………………………………………………………13 分

答:当 ? ?

?
6

或? ?

?
3

时所铺设的管道最短,为 20( 3 ? 1) 米.………………14 分

20、 (本小题满分 14 分) 已知圆 C 过点 P(1,1)且与圆 M: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 (r ? 0) 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对 称 (1)求圆 C 的方程 (2)设 Q 为圆 C 上一个动点,求 PQ? MQ 的最小值 (3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A、B 两点,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互 补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 与 AB 是否平行,并请说明理由. 解: (1)依题意,可设圆 C 的方程为 ?

??? ???? ? ?

x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ,且 a 、 b 满足方程组
2 2

?a ? 3 b ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 0, ? ? ? b ? 3 ? ? ?1? ? ?1. ?a ? 3 ?
由此解得

………………2 分

a ? b ? 0 .又因为点 P (1, 1) 在圆 C 上,所以
2 2 2 2

r 2 ? ?1 ? a ? ? ?1 ? b ? ? ?1 ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? 2 .故圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 .…4 分
(2)设 Q( x, y) 则 x ? y ? 2 ,且
2 2

??? ???? ? ? ( PQ?MQ = ( x ?1, y ?1)? x ? 2, y ? 2) ? x2 ? y 2 ? x ? y ? 4 ? x ? y ? 2
2 2

…………6 分

设 x ? y ? u ,则由 x ? y ? u 与圆 x ? y ? 2 相交,求得 u 的取值范围为[-2,2] 则 PQ? MQ 的最小值为了 ?4 或者令 x ?

??? ???? ? ?

…………8 分

2 cos ? , y ? 2 sin ? ,则

??? ???? ? ? ? PQ?MQ = 2 cos ? ? 2 sin ? ? 2 ? 2sin(? ? ) ? 2 4 ??? ???? ? ? ? 因为 ?1 ? sin(? ? ) ? 1 ,则 PQ? MQ 的最小值为了 ?4 4
(3)由题意可知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在且互为相反数,

…………8 分

故 可 设 PA 所 在 的 直 线 方 程 为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , PB 所 在 的 直 线 方 程 为

y ? 1 ? ?k ( x ? 1) .…9 分

? y ?1 ? k ( x ?1), ? 2 2 由 ?x ? y ? 2

消去 y ,并整理得 : …………10 分

(k 2 ? 1) x2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k )2 ? 2 ? 0 . ①

设 A ? x1 , y1 ? ,又已知 P (1, 1) 的横坐标 1 一定是该议程的根,则 x1 、1 为方程① 的两相异

实 数 根 , 由 根 与 系 数 的关 系 得

x1 ?

k 2 ? 2k ? 1 k 2 ? 1 . 同 理 , 若 设 点 B ( x2 , y2 ) , 则 可 得

x2 ?

k 2 ? 2k ? 1 k 2 ? 1 .…12 分
k AB ? y1 ? y 2 k ( x 1 1 ) k x( ? ? ? 2 ? x1 ? x 2 x1 x 2 ? 1 ) k ( x1 ? x2 ) ? 2k x1 ? x2 = =1.

于是

……13 分

而直线 OP 的斜率也是 1,且两直线不重合,因此,直线 OP 与 AB 平行.…………14 分


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