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2017届高考数学大一轮总复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明课件 理


选修4-5 不等式选讲

第二节

不等式的证明

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 单的不等式。

1. 了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析

法、几何法、反证法

、放缩法等; 2.会利用不等式的证明方法证明一些简

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.平均值不等式 a=b 定理 1' 对任意实数 a , b 有 a2 + b2≥ ________( 上式当且仅当 ________ 2ab

时,取“=”号)。

a+b 定理2'对任意两个正数a,b,有_____________ ≥ 2 仅当________ a=b 时取“=”号)。

ab

(此式当且

3abc 此式当且仅 定理3'对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥ ________( 当a=b=c时取“=”号)。
a+b+c 3 3 定理4'对任意三个正数a,b,c,有≥_________ abc

(此式当且

a=b=c 时取“=”号)。 仅当____________

2.不等式的证明 (1)比较法: a>b?a-b>0,a<b?a-b<0,因此证明 a>b,只要证明 a-b>0 即可, 这种方法称为求差比较法。 a a a>b>0? >1 且 a>0,b>0。因此当 a>0,b>0 时要证明 a>b,只要证明 b b >1 即可,这种方法称为求商比较法。 求差比较法与求商比较法统称为比较法。 (2)分析法: 从所要证明的结论入手向已知条件反推,直至达到已知条件为止,这 种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法。

(3)综合法:
从已知条件出发,利用不等式的性质 (或已知证明过的不等式 ) ,推出 了所要证明的结论,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为 综合法。 (4)放缩法: 通过缩小(或放大)分式的分母(或分子),或通过放大(或缩小)被减式(或 减式)来证明不等式,这种证明不等式的方法称为放缩法。 (5)反证法: 通过证明命题结论的否定不能成立,来肯定命题结论一定成立,其证 明的步骤是: ①作出否定结论的假设;②进行推理导出矛盾;③否定假设肯定结 论。

3.柯西不等式
定理1'对任意实数a,b,c,d,有 (a2+b2)(c2+d2)≥__________ (ac+bd)2 ,

当向量(a,b)与向量(c,d)共线时,取等号。
定理 2' 设 a1 , a2 ,?, an 与 b1 , b2 ,?, bn 是两组实数,则有 (a + a +?a)(b +b+?+b)≥(a1b1 +a2b2+?+anbn)2,当向量(a1,a2,?an)与向 量(b1,b2,?,bn)共线时取“=”。 推论:设a1,a2,a3,b1,b2,b3是两组实数,则有 (a + a + a)(b + b + b)≥(a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ,当向量 (a1 , a2 , a3) 与向量 (b1,b2,b3)共线时取“=”。

基 础 自 测
[练一练] a+ b 1.已知 a,b 是不相等的正数,x= ,y= 2
y≥x 的大小关系是________ 。

a+b 。则 x,y 2

1 1 2 解析 ∵ x = ( a+ b) = (a+b+2 ab) 4 4
2

1 1 y = (a+b)= (a+b+a+b) 2 4
2

1 ≥ (a+b+2 ab) 4

2.设 a= 3- 2,b= 6- 5,c= 7- 6,则 a,b,c 的大小关系
a>b>c 。 为________

解析 分子有理化得 a= 1 c= ,∴a>b>c。 7+ 6

1 1 ,b= , 3+ 2 6+ 5

4 3.已知关于 x 的不等式 x+ ≥3,在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实 x-a
-1 。 数 a 的最小值为________

4 4 解析 ∵x+ =x-a+ +a≥2 4+ a=4+a, ∴a+4≥3, ∴a≥ x-a x-a -1。

4.设 a,b,m,n∈R,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则 m2+n2的最小

5 值为________ 。

解析 n2)≥25,

由柯西不等式 ,得 (a2 + b2)(m2 + n2)≥(am + bn)2 ,即 5(m2 +

∴m2+n2≥5,当且仅当 an=bm 时,取等号。 ∴ m2+n2的最小值为 5。

5.设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2。
证明 3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b)。

因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0。
从而(3a2-2b2)(a-b)≥0。 故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立。

R

热点命题

深度剖析

考点一

用比较法证明不等式

【例1】 求证:当x∈R时 ,1+2x4≥2x3+x2。

【证明】 证法一:(1+2x4)-(2x3+ x2) =2x3(x-1)- (x+1)(x-1) = (x-1)(2x3- x-1) = (x-1)(2x3-2x+x-1) = (x-1)[2x(x2-1)+(x-1)] = (x-1)2(2x2+2x+1)
? ? 1? 1? = (x-1)2?2?x+2?2+2?≥0, ? ? ? ?

所以 1+2x4≥2x3+ x2。

证法二:(1+2x4)-(2x3+x2) =x4-2x3+x2+x4-2x2+1 =(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0, 所以1+2x4≥2x3+x2。 【规律方法】 用比较法证明不等式的一般步骤是:作差 (商)—变形— 判断—结论,而变形的方法一般有配方法、通分和因式分解。

a+b 变式训练 1 已知 a,b∈(0,+∞),证明:a b ≥(ab) 。 2
a b

a-b b-a ?a?a-b aabb 证明 =a b =? ? , 2 2 a+b ?b? 2 ?ab? 2
?a?a-b 当 a=b 时,? ? =1。 ?b? 2

a-b a 当 a>b>0 时, >1, >0, b 2
?a? a-b 则? ? >1。 ? b? 2

a-b a 当 b>a>0 时,0< <1, <0, b 2
?a? a-b 则? ? >1。 ? b? 2

a+b 综上可知,a b ≥(ab) 成立。 2
a b

考点二 用综合法与分析法证明不等式
【例 2】 设 a,b,c>0,且 ab+bc+ca=1。 求证:(1)a+b+c≥ 3;

【证明】 要证 a+b+c≥ 3, 由于 a,b,c>0,因此只需证明(a+b+ c)2≥3。 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ ca)≥3,而 ab+bc+ca=1, 故需证明:a2+b2+ c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)。 即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ ca。 a2+b2 b2+ c2 c2+ a2 而这可以由 ab+bc+ca≤ + + =a2+ b2+ c2(当且仅 2 2 2 当 a=b=c 时取等号)证得。 ∴原不等式成立。

(2)

a + bc

b + ac
a + bc

c ≥ 3( a+ b+ c)。 ab
b + ac c a+b+ c = 。 ab abc

【证明】

由于(1)中已证 a+b+c≥ 3。 1 因此要证原不等式成立,只需证明 ≥ a+ b+ c。 abc 即证 a bc+b ac + c ab≤1, 即证 a bc+b ac + c ab≤ab+bc+ ca。

ab+ac 而 a bc= ab· ac≤ , 2 ab+bc bc+ac b ac≤ , c ab≤ 。 2 2 ∴a bc +b ac+ c ab≤ab+bc+ca
? ? 3 ?当且仅当a=b=c= 时取等号?。 3 ? ?

∴原不等式成立。

【规律方法】

分析法与综合法常常结合使用,实际是以分析法为

主,借助综合法,使证明的问题明朗化。

1 1 变式训练 2 (1)已知 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,求证: + + a b 1 ≥9。 c 1 1 1 证明 证法一: + + a b c
?1 1 1? = (a+b+c)? + + ?≥ ? a b c?

3 3 3· abc· 3·

1 1 =9(当且仅当 a=b=c= 时取等号)。 abc 3

1 1 1 a+b+ c a+b+ c a+b+ c ?b a? ?c a? 证法二: + + = + + =3+? + ?+? + ?+ a b c a b c ? a b? ?a c?
?c b? 1 ? + ? ≥3+2+2+2=9(当且仅当 a=b=c= 时取等号。) 3 ?b c?

(2)已知 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: b2-ac< 3a。
证明 要证 b2-ac< 3a,只需证 b2-ac<3a2。

∵a+b+ c=0,只需证 b2+a(a+b)<3a2, 只需证 2a2-ab-b2>0, 只需证(a-b)(2a+b)>0, 只需证(a-b)(a- c)>0。 ∵a>b>c,∴a-b>0,a- c>0。 ∴ (a-b)(a- c)>0 显然成立,故原不等式成立。

考点三

用放缩法证明不等式

1 1 5 【例 3】 已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< ,求证:|y|< 。 3 6 18

【证明】 因为 3|y|= |3y|= |2(x+y)- (2x- y)|≤2|x+ y|+ |2x- y|, 1 1 由题设知|x+y|< , |2x- y|< , 3 6 2 1 5 5 从而 3|y|< + = ,所以 |y|< 。 3 6 6 18

【规律方法】 “放缩法”证明不等式的常用技巧和注意事项 (1)在不等式的证明中,“放”和 “缩”是常用的推证技巧。常见的放 1 1 1 1 1 缩变换有 :①变换分式的分子和 分母,如 2 < , > , k k?k- 1? k2 k?k+ 1? k < 1 2 , > 。上面不等式中 k∈N+,k>1;②利用函数的 k k+ k+1 k+ k-1 2

a a+m 单调性;③真分数性质“若 0<a<b,m>0,则 < ”。 b b+m

(2)在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度。

|a+b| |a| |b| 变式训练 3 若 a,b∈R,求证: ≤ + 。 1+|a+b| 1+|a| 1+|b|
证明 当 |a+b|= 0 时, 不等式显然成立。 当 |a+b|≠0 时, 由 0<|a+ b|≤|a| |a+ b| 1 1 1 + |b|? ≥ ,所以 = 1 |a+ b| |a|+ |b| 1+ |a+b| +1 |a+ b| ≤ 1+ |a|+ |b| = 1 1+ |a|+ |b| |a|+ |b| 1

|a| |b| ≤ + 。 1+ |a| 1+ |b|

考点四

柯西不等式及其应用
(2015·福建卷)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|

【例4】

+c的最小值为4。 (1)求a+b+c的值; 【解】 因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 当且仅当-a≤x≤b时,取等号。 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值为a+b+c。 又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4。

1 1 (2)求 a2+ b2+c2 的最小值。 4 9
【解】 1 1 由 (1)知 a+ b+ c= 4,由柯西不等式得 a2+ b2+ c2(4+ 9+ 4 9

?a b ?2 ? 1)≥ ×2+ ×3+ c×1? = (a+b+ c)2=16。 3 ?2 ?

1 1 8 即 a2+ b2+ c2≥ , 4 9 7 1 1 a b 2 3 c 8 18 2 当且仅当 = = ,即 a= ,b= ,c= 时取等号, 2 3 1 7 7 7 1 2 1 2 2 8 故 a + b + c 的最小值为 。 4 9 7

【规律方法】 柯西不等式的常见类型及解题策略
(1)求表达式的最值。依据已知条件,利用柯西不等式求最值,注意取 等号的条件;

(2)求解析式的值。利用柯西不等式的条件,注意取等号的条件,进而
求得各个量的值,从而求出解析式的值; (3) 证明不等式。注意所证不等式的结构特征,寻找柯西不等式的条

件,然后证明。

变式训练 4 (1)设 x, y, z∈R, 且满足: x2+y2+z2=1, x+2y+3z= 14, 3 14 则 x+y+z=________ 。 7

解析 由柯西不等式,得 (x2+ y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2 ∴ (x+2y+3z)2≤14,则 x+2y+3z≤ 14, 又 x+2y+3z= 14, y z 14 14 3 14 ∴ x= = ,因此 x= , y= ,z= , 2 3 14 7 14 3 14 于是 x+y+z= 。 7

1 4 9 (2)已知 x,y,z 均为正实数,且 x+y+z=1,则 + + 的最小值为 x y z
36 ________ 。

解析 解法一:利用柯西不等式。 1 2 ?1 4 9? ? x · + y · 由于(x+ y+z)? + + ?≥? ?x y z ? ? x y 1 4 9 所以 + + ≥36。 x y z 1 2 12 1 1 1 当且仅当 x = y = z ,即 x= , y= ,z= 时,取等号。 4 9 6 3 2
2

3? + z· ?2=36。 z?

1 4 9 1 4 9 ?y 4x? 解法二: + + = (x+ y+ z)+ (x+ y+ z)+ (x+ y+z)=14+ ? + ? x y z x y z ?x y ?
? z 9x? ?4z 9y? +? + ?+? + ?≥14+4+6+12=36。 z? ?x z ? ? y

1 1 1 当且仅当 y=2x,z=3x,即 x= ,y= ,z= 时,取等号。 6 3 2

S

思想方法

感悟提升

⊙1个关系——综合法与分析法的内在联系

综合法往往是分析法的相反过程、其表述简单、条理清楚。当问题比
较复杂时,通常把分析法和综合法结合起来使用,以分析法寻找证明的思 路,而用综合法叙述、表达整个证明过程。

⊙3个依据——放缩法证明不等式的理论依据主要有
(1)不等式的传递性; (2)等量加不等量为不等量; (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。 注意:放缩要适度,“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的 大小是由题目分析,多次尝试得出。


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