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商丘市2010-2011学年度高三数学(文科)期末试题


——2011 学年度第一学期期末考试试题 商丘市 2010—— —— 高三数学(文科) 高三数学(文科)
选择题) 非选择题) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分 考生注意: 考生注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 在答题卡上务必 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 .答题前,考生在答题卡上务必用 填写清楚 请认真核准的准考证号、姓名和科目. 填写清楚 ,请认真核准的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, .每小题选出答案后, B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效 第Ι 卷 (1)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中阴影部分表示的集 合为 (A){2}(B){4,6}(C){1,3,5}(D){4,6,7,8,}
U

.........

( 2 ) 等 差 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 S

n

, 若
A B

a 3 + a 7 ? a10 = 8 , a11 ? a 4 = 4 ,则 S 13 等于
(A)152 (B)154 (C) 156 (D) 158

(3)已知复数 z 满足(1-i)z=(1+i) 2 , 则 z= (A) -1+i (B) 1+i (C) 1+i (D) -1+i

(4)设 x 0 为方程 2 x +x-4=0 的解,则满足 x 0 <n 的 最小的整数 n 的值为 (A)1(B)2(C)3(D)4 (5)关于直线 m,n,l 以及平面 α、β ,
s=0,k=1 开开

下列命题中正确的是 (A)若 m// α ,n// α 则 m//n (B)若 m// α ,n ⊥ m,则 n ⊥ α (C)若 α ? α,n ? α ,且 l ⊥ 则 l⊥

1

k=k+1

α

m ,l ⊥ n ,

s=s+

k(k+1)

(D)若 m ⊥

α ,m// β ,则 α ⊥ β
输输s



(6)在长为 3 的线段 AB 上任取一点 P,则点 P 与线段 两端点 A,B 的距离都大于 1 的概率是 (A)

结结

1 1 1 2 (B) (C) (D) 4 3 2 3

(7)若框图所给程序运行的结果 s=

2010 ,那么判断框中可以填入的关于 k 的判断条件是 2011

(A)k<2010(B)k<2009(C)k>2010(D)k>2009 (8)在 ? ABC 中, a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边, 设向量 m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若 m ⊥ n, 则角 A 的大小为 (A)

π
6

(B)

π
3

(C)

π
2

(D)

2π 3
5 5

(9)已知一个几何体的三视图如右图所示,则此 几何体的体积为 (A)80 π (B)20 π (C)

4 正俯俯

4 侧俯俯

80π 3

(D)

20π 3

(10)设函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)>f(b),则下列 结论中一定正确的是 (A)a>1(B)b>1(C)0<ab<1(D)ab>1

x2 y2 (11) 过双曲线 2 - 2 =1(a>0 ,b>0) 右焦点 F 作圆 a b

俯俯俯

x 2 +y 2 =a 2 的切线 FM(切点为 M),交 y 轴于点 P,若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线 的离心率是 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 5

1 (12)已知 a>0,且 a ≠ 1,f(x)=x 2 -a 2 ,当 x ∈ ? 1, 时,均有 f(x)< ? ? 1? 2?

(

)

1 ,则实数 a 的取值范围是 2

(A) ? 0, ? ∪ 2, ∞ + ?

[

)

(B) ?

?1 ? , ∪ (1, ] 1? 4 ? ?4 ? ? ? 1? 4?

(C) ?

?1 ? , ? ∪ (1, ] 1? 2 ?2 ?

(D) ? 0, ? ∪ 4, ∞ + ?

(

)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 .答题前, 写清楚,请认真核准的准考证号 姓名和科目. 的准考证号、 写清楚,请认真核准的准考证号、姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 7 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, .

在试题卷上作答无效. .........
小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 填空题:

? y ≤ x ? (13)已知实数 x,y 满足 ?x + y ≤ 2 ,那么 x+3y 的最大值为________ ? y ≥ 0 ?
(14)观察下列等式:

1 = 1 1+2 = 3 1+2+3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ……
3 3 3 3

13 = 1 13 + 2 3 = 9 13 + 2 3 + 3 3 = 36 13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = 100 13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 = 225 ……

可以推测: + 2 + 3 + … + n =___________(n ∈ N * ,用含 n 的代数式表示) 1 (15)抛物线 y 2 =-12x 的准线与双曲线 (16)下列四个命题: ①命题“ ?x ∈

x2
9

?

y2
3

= 1 的两渐近线围成的三角形的面积为____

R ,x 2 ? x > 0 ”的否定式“ ?x ∈ R ,x 2 ? x ≤ 0 ” ;
π
3
)的图像向右平移

②把函数 y=3sin(2x+

π
3

个单位,得到 y=3sin2x 的图像;

③函数 f(x)=ax 2 -lnx 的图像在 x=1 处的切线平行于直线 y=x,则 ?

? 2 ? , ∞ ? 是 f(x) + ? 2, ? ? ?

的单调增区间; ④正方体的内切球与其外接球的表面积之比是 1:3. 其中所有正确命题的序号是_______ 解答题: 小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17)(本小题 10 分) 已知等差数列{a n }的前 n 项和是 S n 且 a 3 =5, S 6 =36. (1)求数列{a n }的通项 a n
an + 1

(2)设 b n = 2

2

,求数列{ b n }的前 n 项和 T n .

(18) (本小题 12 分) 如图,为了计算渭河边两景点 B 与 C 的距离,由于地 形的限制,需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点,现测 得 AD ⊥ CD,AD=100m,AB=140m, ∠ BDA=60 o ,

B

∠ BCD=135 o ,求两景点 B 与 C 的距离(假设 A,B,C,D 在同一平面,结果保留

整数) (19) (本小题 12 分) 某学校课题组为了研究学生的政治成绩和历史成绩之间的关系,随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成绩(满分 100)如下表所示: 序号 政治 成绩 历史 成绩 1 95 90 2 75 63 3 80 72 4 94 87 5 92 91 6 65 71 7 67 58 8 84 82 9 98 93 10 71 81 11 67 77 12 93 82 13 64 48 14 78 85 15 77 69 16 90 91 17 57 61 18 83 84 19 72 78 20 83 86

若单科成绩 85 分以上(含 85 分) ,则该成绩为优秀。 (1)根据上表完成下面的 2 × 2 列联表(单位:人) 政治成绩优秀 历史成绩优秀 历史成绩不优秀 合计 20 政治成绩不优秀 合计

(2)根据题(1)中表格的数据计算,是否有 99.5%的把握,认为学生的政治成绩与 历史成绩之间有关系? (3)若从这 20 个人中抽出 1 人来了解情况,求抽到的学生政治成绩与历史成绩至少 有一门不优秀的概率。 (20) (本小题 12 分) C 如图, 为圆 O 的直径, E, 在圆 O 上, AB//EF, AB 点 F 且 矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直, 且 AB=2,AD=EF=1 (1)求证:AF ⊥ 平面 CBF; B D (2)设 FC 的中点为 M,求证:OM//平面 DAF; M (3)求四棱锥 F—ABCD 的体积 (21) (本小题 12 分)
O

E

已知函数 f(x)=lnx-

a

x

.
A F

(1)当 a=-1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 2,求 a 的值。 (22) (本小题 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点, 离心率 e=

1 ,且它的一个焦点与抛物线 y 2 =-4x 的焦点重合。 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 设 F 为椭圆 C 的右焦点, 为左顶点, F 直线 l 与椭圆 C 交于异于 A 的两点 P,Q, A 过 求 AP ? AQ 的取值范围。

参考答案 选择题: BCAB DBAB BCAC

填空题: (13)4 (14)

n 2(n + 1)2 (15)3 3 4

(16)①③④

解答题:17 解: (1)a n =2n+1 (2)T n =2 2 n + 1 -2 18 解:BD=160m 19 解: (1) 政治成绩优秀 历史成绩优秀 历史成绩不优秀 合计 5 1 6 政治成绩不优秀 2 12 14 合计 7 13 20 BC=80 2 ≈ 113m

2 20 5 × 12 ? 2 × 1) ( (2)k= ≈ 8.802, 因为 8.802>7.879 7 × 13 × 6 × 14

所以认为学生的政治成绩与历史成绩之间有关系犯错误的概率不超过 0.5%; 即有 99.5%的把握,认为学生的政治成绩与历史成绩之间有关系。 (3)有(1)可知 P=

15 =0.75 20

20 解: (1)证明:因为平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF,CB ⊥ AB, 平面 ABCD ∩ 平面 ABEF=AB,所以 CB ⊥ 平面 ABEF 因为 AF ? 平面 ABEF,所以 AF ⊥ CB 又因为 AB 是圆 O 的直径,所以AF ⊥ BF,所以AF ⊥ 平面CBEF (2)设DF的中点为N,则MN / /

1 1 CD,又AO / / CD, 2 2

则 MN / / AO,MNAO为平行四边形,所以OM//AN, 又AN ? 平面DAF,OM ? 平面DAF, 所以OM//平面DAF (3)过点F作FG ⊥ AB于G,因为平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF 所以FG ⊥ 平面 ABCD,FG为三角形OEF的高 所以FG=

3 ,S ABCD =2 2

所以V F ? ABCD =

1 3 S ABCD ×FG= 3 3

21、解: (1)定义域为(0,+ ∞ ) ,且 f ′ x ) = (

a x +a 1 + 2 = x x x2

当 a=1 时, f ′ x )= (

x?1

x2
x>1 时 f ′ x )>0 (

0<x<1 时, f ′ x )<0, (

所以 f(x)在区间(0,1)递减,在(1,+ ∞ )递增 (2)由(1)可知 f ′( x ) =

x+a x2

①若 a ≥ ?1 ,则 x + a ≥ 0 ,即 f ′( x ) ≥ 0 在 [1, e] 上恒成立,此时在 [1, e] 上为增 函数, f ( x) min = f (1) = ? a = 2

∴ a = ?2(舍去)

②若 a ≤ ?e ,则 x + a ≤ 0 ,即 f ′( x ) ≤ 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 [1, e] 在上为减 函数 f ( x ) min = f (e) = 1 ?

a =2 e

∴ a = ?e

③若 ?e < a < ?1 , 令 f ′( x ) = 0 得 x = ? a 当 1 < x < ? a 时, f ′( x ) < 0 , f ( x ) 在 (1, ? a ) 上为减函数 当 ? a < x < e 时, f ′( x ) > 0 , f ( x ) 在 ( ?a, e) 上为增函数

f ( x) min = f (? a ) = ln(? a ) + 1 = 2
综上可知:a=-e 22、解: (1)抛物线 y 2 = ?4x ,焦点 F1 ( ?1, 0) 椭圆 C 的左焦点 F1 ( ?1, 0) ,即 c = 1 ,又 e =

c 1 = ,∴ a = 2 a 2

∴ b2 = a 2 ? c 2 = 3 ,
椭圆 C 的方程

又椭圆中心在原点

x2 y 2 + =1 4 3

(2)设点 P,Q 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ①当 l 斜率不存在时,此时 P ? 1,

3? ? 3? ? ? , Q ?1, ? ? 2? ? 2? ?

∵ A ( ?2, 0 )
3 ? 3 ? 27 ∴ AP ? AQ = 3,)? 3, ? = ( ? ? 2 ? 2? 4
②当 l 斜率存在时,设其斜率为 k ( k ≠ 0 ) ,由 F(1,0),则 l 的方程为 y=k(x-1).代入方 程

x2 y 2 + = 1 ,整理得: ( 4k 2 + 3) x 2 ? 8k 2 x + 4k 2 ? 12 = 0 4 3
8k 2 4k 2 ? 12 , x1 ? x2 = 4k 2 + 3 4k 2 + 3 27 k 2 27 = 2 4k + 3 4 + 3 k2

∴ x1 + x2 =

∴ AP ? AQ = ( x1 + 2,y1 ) ? ( x2 + 2, y 2 ) =



3 27 27 > 0,∴ 0 < < 2 3 k 4 4+ 2 k
? ?
27 ? 4? ?

综上所述: AP ? AQ 的取值范围是 ? 0,


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