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高中数学三角函数问题有效教学策略探析


语数外学习
N o . 0 9 . 2 0 1 3 Y uS h uWa i X u e X i 2 0 1 3年第 9期

高中数学三角函数问题有效教学策略探析
於秋静 ( 昆山陆家高级中学, 江苏? 苏州?2 1 5 3 3 1 )
摘?要: 三角函数是高中数学函数教学的重要组成部分, 在各项考试中都有所涉及, 在三角函数部分的教学中, 存在信息量大, 公 式繁多, 变形复杂, 应用灵活等诸多难点, 因此如何提高教学质量, 使学生更清楚全面地理解三角函数, 更灵活有效地解决三角函数部 分的题目, 已成为很重要的一个课题。为了实现提高教学质量, 提升和培养学生的数学思维, 激发学生主动学习和思考的能力, 本文就 高中数学三角函数问题的有效教学策略做出探析。 关键词: 高中数学; 三角函数; 教学策略 中图分类号: G 6 3 3 文献标识码: A 文章编号: 1 0 0 5 - 6 3 5 1 ( 2 0 1 3 )- 0 9 - 0 0 6 6 - 0 2 高, 因此如何让学生很好的理解三角函数的函数式形式, 函数的 几何含义, 函数图像的意义, 对学生能否打好三角函数学习基础 至关重要。 在三件函数教学伊始, 教师可以通过多媒体教 学 等 先 进 手 段, 创设一个形象的生活情境, 先由函数的几何意义作为切入点, 这样当学生初学时对函数形式, 函数概念记忆不清时候, 可以通 过几何意义的推导确定需要应用的三角函数是哪个。另一方面, 当学生日后做解答题时, 也可以学会如何从一个生活场景中抽取 所需信息, 建立相应的数学模型。 ( 二) 学生函数思维的培养 三角函数考察的题型虽然相对比较固定, 但是对学生数学思 维的考察难度较高, 要求学生能够针对题目灵活的选取公式, 进 行变形。其中包括很多诸如数形结合, 几何含义, 换元法等数学 思维, 应该在三角函数的教学中就渗透进数学思维的培养。 1 、 三角函数的教学融于函数整体的教学 三角函数的引入是由其几何含义而引入的, 这样的优点是使 学生在学习过程中可以通过几何含义不断加深函数概念的理解, 但是很多学生会认为三角函数只能在几何图形中应用。其实这 个想法是不正确的, 三角函数与其他函数一样, 都是函数形式的 一种, 具有全部的函数具有的特点, 因此教师在进行三角函数的 教学时, 应该把三角函数放在一个更大的知识框架当中, 是学生 意识到三角函数和非三角函数之间的关系, 这样学生在解决函数 问题时, 往往可以通过换元, 将函数变量换为三角函数的角度变 量, 再通过三角函数的变形化简, 简洁有效地解决函数问题。 2 、 数形结合思维的培养 三角函数的图形常常在试卷中以选择题的形式出现, 因此对 于基本的正余弦函数图像的 x 轴方向上的拉伸和压缩, y 轴方向 上的拉伸和压缩, 相位角的改变导致函数图像整体的移动方向, 对波峰波谷极值的理解, 对频率的理解等是学生学习三角函数过 程中必须熟练掌握的内容, 除此之外, 三角函数曲线与直线所围 成面积的大小和含义也是解答题经常出现的考查形式, 在这样的 题目中, 常常应用的是割补法, 通过相等面积区域的互换, 凑出可 计算的规则图形面积。因此在日常的教学过程中, 就要积极培养 学生的数形结合的思维, 引导学生思考, 这个三角函数式内的各 项参数分别影响函数图形中的哪些几何关系, 在正切函数图像中 的渐进线有什么含义, 对应函数式中的哪个函数取值, 对应几何 含义中的那种情况, 引导学生将函数式, 函数图像, 几何含义三者 有机的结合起来, 综合进行思考, 这对学生以后灵活的解题是非 常有利的。 3 、 函数代换思维的培养 初中在接触二元方程求解时, 学生就已经接触到了函数带入 的思想, 在学习三角函数时, 教师也应该有意识的引导学生进行 函数代换思想的训练, 应用代入法来进行三角函数题目的讲解, 能够使学生联系以前所学内容, 对新的内容进行纵深的学习而不 会感到陌生, 同时能增强学生的举一反三的学习能力, 激发学生 学习兴趣, 是一种行之有效的教学策略。 4 、 抽象性思维的培养 ( 下转第 6 7 页)

??三角函数是高中函数教学中不可或缺的一部分, 在高考等各 项考试中所占的分值一直很稳定, 在三角函数的考察中体型比较 固定, 但在学生解题过程中对函数本质的理解要求高, 对三角函 数公式的选取和变换的考察难度大, 对学生的数学思维能力要求 高。针对学生反映的三角函数学习中的问题, 我们希望通过有效 地教学策略的调整来增强学生对三角函数定义的认识, 使学生能 够更加准确的选取公式, 更加灵活的运用公式, 具有数学抽象思 维, 能够增强学生的自主学习能力, 自主思考和总结的能力。 一、 学生在三角函数部分学习中的常见问题 ( 一) 对三角函数概念理解不深刻 三角函数的概念理解起来不难, 但是定义比较多, 正弦余弦, 正切余切各不相同, 彼此之间又存在着联系。很多学生对函数的 概念理解的模棱两可, 基础不牢固。导致出现混淆, 比如正余弦 函数图像的记忆, 相位角的领先和落后, 对于公式 f=A s i n ( b x+ 图像的平移不正确, 有的同学 )有的学生在相位角加 φ角以后, φ 在b 发生变化时, 图像的拉伸和压缩不正确, 有的同学在 a 发生变 化是发达和缩小发生混淆, 这都是由于对三角函数概念理解不够 深刻导致的。 ( 二) 公式数量多, 记忆不清楚 三角函数的公式非常多, 彼此之间的变形也比较复杂, 学生 往往对解题思路不明晰, 不知道应该选取哪个公式, 如何进行变 形, 就胡乱套用公式进行变形, 而公式的选取错误或者变形方式 选择不当, 往往导致题目的计算量剧增, 这是也是学生解题时最 大的难点。另外有的题目设置如果应用半角公式全部化开则计 算量非常复杂, 此时则需要学生寻求数形结合的巧妙方式, 或者 有意的拼凑成比较简单的函数公式进行化简计算。 ( 三) 综合应用体型多样, 公式变形复杂 以三角函数为背景的解答题往往会设置生活中的场景作为 题干, 一方面这样的题干设计贴近生活容易引起学生共鸣, 激发 学生学习乐趣, 另一方面是学生潜移默化的感受数学源于生活, 使他们能够在日常的生活中发现问题, 抽象归纳为数学模型, 再 将建立的模型带入生活中进行实践。但是这样的题干设计对学 生的抽象能力和数学模型建立的能力有一定的要求, 有的学生由 于对题干的理解不准确, 导致题干信息提取不全面, 自然导致引 入变量过多或引入变量不足, 无法解决问题, 有的学生对题干的 理解有误, 导致数学建模不正确, 自然导致无所得出正确的计算 结果。建立数学模型后, 学生还要选择合适的切入点进行计算, 这要求学生对题目的考点和考察方式有着准确的预判, 不仅要知 道这道题考的是什么, 还要知道出题者想看到的解答方式, 并且 得出正确的计算结果, 这对很多学生来说难度比较大。 二、 三角函数有效教学策略改进 针对上述学生学习三角函数过程中遇到的问题, 我们应该对 三角函数的教学策略进行改进, 使之更为有效, 使学生能够更好 的接受, 更深入的理解。 ( 一) 三角函数概念教学的形象化 传统的高中三角函数的教学中对于三角函数的概念是由函 数概念引出的, 这样本身就比较抽象, 学生不易理解, 另外三角函 数本身具有其几何意义, 而且对其函数图像的理解要求也比较

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N o . 0 9 . 2 0 1 3 Y uS h uWa i X u e X i 2 0 1 3年第 9期

高三一轮复习中如何探究学习恒成立问题
舒脐仙 ( 泸州市泸县第二中学, 四川?泸州?6 4 6 1 0 0 )
摘?要: 恒成立问题在历年高考中出现的几率非常高, 比如 2 0 1 3年的全国新课标卷在选择题 1 1 题也出现了恒成立问题。本文从 解决恒成立的常用方法入手, 对高三一轮复习中的恒成立问题进行了一个归纳总结。 关键词: 恒成立问题, 方法, 分离参数 中图分类号: G 6 3 3 文献标识码: A 文章编号: 1 0 0 5 - 6 3 5 1 ( 2 0 1 3 )- 0 9 - 0 0 6 7 - 0 1

??恒成立问题对于学生来讲是一个难点, 同时也是考试的一个 重点。在高一、 高二的学习中, 我们学习了恒成立问题, 但是知识 很零散, 在不同的章节讲解了不同的解法。现在是高三一轮复习 了, 学生对这个问题应该有个系统的认识。于是, 针对这个问题 我组织学生进行了一个专题学习, 想总结如下: 首先, 我们以小组讨论的形式对《 四川高考》 第1 0 8页的例 3 2 进行探究学习。题为: 例3 : 设函数 f ( x )= m x - m x - 1 . ( 1 ) 若对于一切实数 x , f ( x )< 0恒成立, 求 m的取值范围; ( 2 ) 若对于 x 1 , 3 ] , f ( x ) <- m+ 5 恒成立, 求 m的取值范围。 ∈[ 经过小组学习讨论, 学生们对( 1 ) 、 ( 2 ) 问分别有了如下的解 题方案: 2 对于( 1 ) 问, 利用图像来解决问题。由于 x 的系数含参 m , 所 以要对 m进行分类讨论。分为以下两种情况: 0 , 带入不等 ① m= 式得到 - 1< 0 恒成立, 所以满足。 ② m≠0 , 此时, 函数 f ( x ) 所对 m< 0 应的图像应该在 x 轴下方, 所以应该满足 , 由此解得 m 的 0 Δ< 范围。最后, 将①②两种情况求出的 m的取值求并集即可。 对于( 2 ) 问, 不同的小组有不同的见解, 可分为三种: 法一: 分离参数法。由 x 1 , 3 ] , f ( x )<-m + 5恒成立, 得到 ∈[ 2 2 m x - m x + m< 6 对于 x 1 , 3 ] 恒成立。即 m ( x - x + 1 ) < 6 对于 x ∈[ ∈ 1 2 3 2 x + 1 = ( x - )+ > [ 1 , 3 ] 恒成立。又因为 x - 0 , 所以可以在不 2 4 2 - x + 1 , 达到分离 m与 x 的目的。即可以转化为 m< 等式两边同除 x 6 6 。于是, 对于 x 1 , 3 ] 恒成立, 所以 m< ∈[ 2 2 - x + 1 ) mi ( x - x + 1 ) ( x n

为函数 f ( x ) 的最大值问题。根据开口, 将 m 分为以下三种情况: 1 f ( 3 ) ; 所以 f ( x ) 0 , 由于 f ( x ) 的对称轴为 x = , ② m= ①m> m a x= 2 0 , 带入不等式得到 - 1< 0恒成立, 所以满足; 0 , 由于 f ( x ) ③ m< 1 1 f ( ) 的对称轴为 x = , 所以 f ( x ) 。最后, 将以上三种情况 m a x= 2 2 求出的 m的取值求并集即可。 法三: 根的分布, 由x 1 , 3 ] , f ( x )<-m + 5恒成立, 得到 ∈[ 2 2 - m x + m- 6 < 0对于 x 1 , 3 ] 恒成立。令 g ( x )=m x -m x m x ∈[ + m- 6 , 根据确定图像的开口, 将 m分为以下三种情况: 0 , ① m> g ( 1 )< 0 , 解出 m的取值范围; 0 , 带入不等式得到 - 1< 0 ② m= g ( 3 )< 0 1 恒成立, 所以满足; 0 g ( )< 0 。最后, 将以上三种情况求 ③m< 2 出的 m的取值求并集即可。 为了巩固以上结论, 我让学生们自己总结得出高中阶段解决 恒成立问题常用的有以上四种方法, 并让他们去对比区别。以后 遇到恒成立问题, 就可以从以上四种方法入手。 根据学生的探究学习, 我发现单个学生思维里不成形的方法 已经有了系统性的总结。而且往往比老师作出的总结更适合他 们。因此, 可以多鼓励学生去探究学习。 最后, 为了进一步加强认识, 我让学生们分别用两种自己喜 欢的放法独立思考和解决以下这个问题: 练 习:1 .( 2 0 1 3 全 国 新 课 标 )已 知 函 数 f (x )= 2 - x+ 2 x , x ≤0 , 若| f ( x ) | x , 则a 的取值范围是( ??) ≥a l n ( x + 1 ) , x > 0 6 的最小值。 将问题转化为求函数 2 A . (- 0 ] ??B . (- 1 ] ??C . [- 2 , 1 ] ??D . [- 2 , 0 ] ?, ?, x + 1 ) ( x- 2 2 . 若x 1 , + 时, x - 2 a x + 2 试求 a的取 ∈[- ≥ a恒成立, ?) 法二: 半分离参数法。由 x 1 , 3 ] , f ( x )<-m + 5恒成立, ∈[ 得到 f ( x ) m+ 5 对于 x 1 , 3 ] 恒成立。由此, 将问题转化 值范围。 ∈[ m a x <-

{

{

[

]

{

( 上接第 6 6页) 如前文所提, 三角函数的解答题, 常常是要学生自己进行建 模的, 这就要求学生在熟练掌握三角函数解题技巧的基础上, 有 一个更高层次的抽象性思维的培养, 不仅在给定计算条件的情况 下能够选择正确的计算方法得出正确结论, 还要在一个给定的场 景中, 自己依据诸多数据提炼出有关三角函数的考察内容, 并作出 正确解答, 这就要求教师在平时授课的时候就注重学生的抽象概 括, 以及数学建模的思维的培养。这也符合数学本身的有具象向抽 象发展的过程, 对学生建立完善的数学学习体系是非常有利的。 ( 二) 引导学生自主进行思考总结, 提高学生自主学习能力 兴趣是最好的教师, 有兴趣的学习, 比被迫学习要高效得多, 而自主的思考得出的结论, 比被迫记忆教师给出的结论要深刻的 多。所以教师要引导学生主动进行思考总结, 在三角函数这一部 分中, 类比的公式很多, 教师在授课时可以先示范性地示范其中 一个公式地推导过程。然后引导学生类比这一公式的推导过程, 自己思考推导出另一类比公式, 这样学生思维的到锻炼, 记忆也 更深刻, 而且在学生记忆发生混淆时, 可以依照这个方式重新进 行推导。

在学生的习题量积累到一定程度的时候, 一定要引导他们自 主进行总结, 三角函数这一模块在解题时需要总结的内容非常繁 复和琐碎, 在教师的引导下, 学生自己思考, 自己动手制成表格或 者框图的形式, 更加有利于他们的记忆, 以及对于解题的思维体 系的完善。同时他们对自己的劳动成果会更加珍惜和重视, 激发 了学习兴趣, 增强了学习的主动性, 提高了学习的效率。 三、 总结 三角函数其实并不复杂, 只要平时同学多多注意, 多多练习, 在 课堂上老师多注意教学方法, 时刻了解学生掌握情况, 帮助学生进 步, 增加学习兴趣, 定能让学生在三角函数方法取得好的成绩。 参考文献: [ 1 ] 李文靖. 高中数学教学效率提升实践研究— — —以三角函数为 例[ J ] . 语数外学习, 2 0 1 2 , ( 1 0 ) . [ 2 ] 范进. 高中数学三角函数教学策略研究[ J ] , 新 课 程 导 学, 2 0 1 3 , ( 3 ) . [ 3 ] 严加明. 三角函数在高中数学课堂中的教学实例研究[ J ] , 数 学教学通讯, 2 0 1 2 , ( 1 8 ) .

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高中数学三角函数问题有效教学策略探析
作者: 作者单位: 刊名: 於秋静 昆山陆家高级中学,江苏 苏州,215331 语数外学习(数学教育)

英文刊名: 年,卷(期):

Yu Shu Wai XueXi 2013(9)

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