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第6讲正弦定理和余弦定理xs


第6讲

正弦定理和余弦定理 知 识 梳 理

1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 a b c = = sin A sin B sin C=2R (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= 2bc ; cos B= a2+c2-b2 ; 2ac

内容

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 常见变形 a b c (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C

a2+b2-c2 cos C= 2ab

解决的问 题

(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边 和其他两角 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和 其他两角

2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角

图形

关系式 解的个数

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高). 1 1 1 (2)S=2bcsin A=2absin C=2acsin B.
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1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 辨 析 感 悟 1.三角形中关系的判断 (1)在△ABC 中,sin A>sin B 的充分不必要条件是 A>B. (2)(教材练习改编)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° . 2.解三角形 1 5 (3)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3,则 sin B=9. 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b=6. 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形. (6)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形. 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形

【例 1】 (1)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3b, 则角 A 等于 π A.3 π B.4 ( ). π C.6 π D.12

(2))在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,c=4 2,B= 45° ,则 sin C=______. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C= ( A.30° B.45° C.45° 或 135° ). D.60°

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C =2 3sin B,则 A= ( A.30° B.60° C.120° 考点二 D.150° 判断三角形的形状 ).

【例 2】 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b -c)sin B+(2c-b)sin C.
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(1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

【训练 2】 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c2=2a2 +2b2+ab,则△ABC 是

( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

).

(2)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC 的形状是 ( A.锐角三角形 C.等腰三角形 考点三 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形 与三角形面积有关的问题 ).

【例 3】 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

【训练 3】 在△ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c.已知 cos 2A-3cos(B +C)=1. (1)求角 A 的大小;
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(2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.

答题模板 6——解三角形问题 【典例】 (12 分)(设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c 7 =6,b=2,cos B=9. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值.

【自主体验】 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

基础巩固题组 一、选择题 1.在△ABC 中,若 a2-c2+b2= 3ab,则 C=(
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).

A.30° B.45° C.60° D.120° 3 2.在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为( 3 A. 2 B. 3 C.2 3 D.2 ).

π π 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4, 则△ABC 的面积为( A.2 3+2 ). C.2 3-2 D. 3-1

B. 3+1

4.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= 3, 则 c=( A.2 3 ). B.2 C. 2 D.1

5.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( ).

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 二、填空题 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B +cos B= 2,则角 A 的大小为________. 7 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B= 3ac, 则角 B 的值为________. 1 8.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b=2,cos C=4, 则 sin B 等于________. 三、解答题 1 9.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a=2c+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 S△ABC= 3,b= 13,求 a+c 的值. 10.在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值;

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(2)求 c 的值. 能力提升题组

一、选择题 → → 2 2 1.在锐角△ABC 中,若 BC=2,sin A= 3 ,则AB· AC的最大值为( 1 A.3 4 B.5 C.1 D.3 ). ).

2.在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么△ABC 的形状为( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能 二、填空题

1 3.在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM=3,则 sin∠BAC= ________. 三、解答题 4.在△ABC 中,边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 bcos C=(3a- c)cos B. (1)求 cos B; → → (2)若BC· BA=4,b=4 2,求边 a,c 的值.

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