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滨海县青年教师优质课评比课件正弦定理


一.创设情境
某游览风景区欲在两山之间 架设一条观光索道,现要测的两 山之间B、C两点的距离,如何求 得B、C两点的距离? 现在岸边选定1公里的基线AB, 并在A点处测得∠A=600,在C点测得 ∠C=450,如何求得B.C两点的距离?

.C

探究1:你能把它转化成数学问 题,写出已知量和要求的量吗?

.A

.B

二.学生活动
C

探究2:在三角形ABC中, 如何求边BC的长呢?
60 0

450

A

1000米

B

二.学生活动
回忆一下直角三角形的边角关系?(C为直角) A 2 2 2 A ? B ? 90? a ?b ? c a b c sin A ? sin B ? sin C ? 1 ? c c c c b b a cos A ? cos B ? cos C ? 0 C B c c a

a b c = = 探究3:这个关系式对任 sin A sinB sinC
a b c sin A ? ,sin B ? ,sin C ? 1 ? c c c

a tan A ? b

......

意三角形均成立吗?
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三.建构数学

a b c ? ? 探究4:如何证明 这个等式? sin A sin B sin C 证法一:不妨设C为最大角, 若C为直角,已证得结论成立; 若C为锐角,过A点作AD垂直于BC于D A AD AD ∵ sin C ? sin B ? b c c b AD ? b sin C AD ? c sin B

验证

b sin C ? c sin B C b c a B D ∴ ? sin B sin C a b a b c ? ∴ ? ? 同理: sin A sin B sin A sin B sin C


三.建构数学
若C为钝角, 过A点作AD垂直于BC交BC的延 此时也有: 长线于D,
A AD 即 AD ? c sin B sin B ? c

c AD 0 sin(180 ? C ) ? b b 即 AD ? b sin C D C a ? c sin B ? b sin C a b c ? ? 同样可得: sin A sin B sin C

B

作高法

三.建构数学

探究5:还有其它的证明方法吗? 证法二:向量法 不妨设C为最大角
BC AD ? BA ? AC AD ? BA AD ? AC AD

过A作AD垂直于BC于D,如图,于是

在?ABC中,有BC ? BA ? AC
即 0 ? BA AD cos(90 ? B) ? AC AD cos ? 其中,当C为锐角或直角时,

?

?

A

? ? 90 ? C
B

c a

? b
D
C

a b 同理: ? sin A sin B

当C为钝角时, ? =C-90 故可得 csinB-bsinC=0 即 b ? c sin B sin C ∴

a b c ? ? sin A sin B sin C

三.建构数学
探究6:还有其它的证明方法吗?

课后尝试用其它方法来证明! 可参考书11页第6、9题

三.建构数学

结构和谐、对称 a b c 体现了数学的 ? ? 正弦定理: sin A sin B sin C 和谐美与对称美

探究7:正弦定理结构的最大特点是什么? 探究8:正弦定理里面包含了几个等式? 每个等式中有几个量? a b a c c b ? , ? , ? sin A sin B sin A sin C sin C sin B 探究9:它可以解决三角形中那些类型的问题? (1)已知两角及任一边,求其他两边和一角 (2)已知两边和其中一边对角,求另一边的 对角(从而进一步求出其他的边和角)

三.建构数学
巩固练习: 具备下列哪个条件可以直接使用正弦定理 解三角形?
8

9
10
20 0

5 7 (2)
750 450 60 0

8

96 0

9

(1)
89 0 450

(3)

10 (4)

(5)

答案: (1)(4)

四.数学应用

已知两角和任一边 例1. 开头引例 求其他两边和一角 C 45 解:由正弦定理得:

0



a c ? , sin A sin C c sin A 1000sin 600 a? A ? 0 sin C sin 45 ? 500 6
BC长为500 6米

60 0

1000米

B



四.数学应用
变题1.在△ABC中,已知 c ? 10 C=30?,求b A=45?

已知两角和任一边 求其他两边和一角 解: B ? 180 0 ? ( A ? C ) ? 180 0 ? ( 45 0 ? 30 0 ) ? 105 0 b c ? 由正弦定理 得: sin B sin C 0 c ? sin B 10 ? sin105 ? ?b ? 0 sin 30 sin C

?

? b ? 5?
?5

6? 2

6?

? 2?

四.数学应用
例 2 在△ABC中,已知a=16, b=16 3, 已知两边和其中一边 A=30°,求角B,C和边c 的对角,求其他边和角
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B
C
16 3
16



b sin A 16 3 sin 30 ? 3 sin B ? ? ? a 16 2
300

16

所以B=60°,或B=120° A 当 B=60°时 C=90° c ? 32 . 当B=120°时 C=30°

B

B

a sin C c? ? 16 . sin A

四.数学应用
变题 在△ABC中,已知a=16,b=16 2, B=45° .求角A,C和边c已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角 要当
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B a sin B 16sin 45 1 ? ? 得 sin A ? b 2 16 2

心 哦!

a ? b ? A ? B ? 45 ° 所以 A=30°, 或A=150 ? A ? 30 当 A=30° 时 C=105° c ?8 2? 6 0 ? C ? 105 c ? 8 2 ? 6 当A=150°时 C ? 180 ? 45 ? 150 ? 0 所以C无解

在三角形中 大边对大角

?

?

?

?

所以 A ? 30

C ? 105

c ?8

?

2? 6

?

五.回顾小结

a b c ? ? 一个定理—— 正弦定理 sin A sin B sin C
两类应用—— (1)已知两角及任一边,求其他两边和一角 (2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角 (从而进一步求出其他的边和角)

三种方法—— (1)从特殊到一般的方法 这种方法是人们认识客观世界的一种重要的 方法,也是数学发现的重要方法之一,我们 要逐步学会并善于运用这种方法去探索数学 问题,提高我们的创造能力. (2)作高法证明正弦定理. (3)向量法证明正弦定理 请同学们要学会使用向量法这个数形结合的方法.

六.课堂检测
1.在 ABC中: (1)已知 A ? 750 , B ? 450 , c ? 3 2, 求a, b; 0 0 (2)已知 A ? 30 , B ? 120 , b ? 12, 求a, c.
2.根据下列条件解三角形: (1)已知b ? 20, a ? 20 3, A ? 600 ; (2)已知b ? 20, a ? 15, A ? 60 . 解斜三角形是指由六个元素 (2) c ? a ? 4 3. )中 1.(1) b ? 2 3, a ? 3 ? 3;(三条边和三个角 练习答案 的三个元素( 至少有一个是边 ),求其余三个未知元素 b sin A 2 3 0 0 2.(1) B ? 30 , C ? 90 , c ? 40; (2) sin B ? ? ? 1, 无解. 的过程。 a 3
0

七.课外作业

书第10页习题1.1第1、第2题

八.课后探究

_ 1.在△ABC中,A=300,B=600, 则 a : b : c ? __________ a b c ? ? 2.在半径为2R的圆内接△ABC中, sin A sin B sin C 是否
为定值. (可参考课本习题第九题) 3.已知三角形两边和其中一边对角时,出现两解、一解和 无解的原因是什么?(可参考课本习题第十题阅读题)


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