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2.1 离散型随机变量及其分布列(课程教案)


2.1 离散型随机变量及其分布列(课程教案) 离散型随机变量及其分布列 )
若随机变量 X 只可能取有限个或可列个值,称这种随机变量为离散型随机变量(discrete random variable). 定义 2.3 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,…,xn,且 X 取这些值的概率为: P(Xk = xk) = pk (k = 1,2,…,n,…),则称上述一系列等式为随机变量 X 的概率分布(或分 布律 为了直观起见,有时将 X 的分布律用如下表格表示: X p x1 p1 x2 p2
… …

xk pk

… …

由概率的定义知,离散型随机变量 X 的概率分布具有以下两个性质: (非负性) (1) pk ≥ 0,(k = 1,2,…) (2)

∑p
k

k

=1

(归一性)
n ∞

这里当 X 取有限个值 n 时,记号为 Σ ,当 X 取无限可列个值时,记号为 Σ .
k =1 k =1

例 1 中 X 的分布率为 X P 0 1 2 3

1

8

3

8

3

8

1

8

例 2 P54 例 2 简介离散型随机变量的线条图和概率直方图.(P28) 下面介绍几种常用的离散型随机变量的概率分布(简称分布) 。

1.二项分布
设实验 E 只有两个可能的结果: 成功和失败, 或记为 A 和 A , 则称 E 为伯努利 (Bernoulli) 实验。将伯努利实验独立重复地进行 n 次,称为 n 重伯努利实验。 设一次伯努利实验中,A 发生的概率为 p(0<p<1) ,又设 X 表示 n 重伯努利实验中 A 发生的次数,那么,X 所有可能取的值为 0,1,2,…,n,且
k P{ X = k} = Cn p k q n ?k ,(k = 0,1,2,…,n)。

易知: (1) P{ X = k } ≥ 0

(2)

∑ P{ X = k} = ∑ C
k =0 k =0

n

n

k n

p k (1 ? p ) n ?k = ( p + 1 ? p ) n = 1

所以, P{ X = k} = Cn p q
k k

n ?k

,(k = 0,1,2,…,n)是 X 的分布律。

定义 2.4

如果随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2,…,n,它的分布律为

k P( X = k ) = C n p k (1 ? p ) n ?k ,(k = 0,1,2,…,n),其中 0 < p < 1 为常数,则称 X 服从

参数为 n,p 的二项分布(the Binomial Distribution),记为 X~B(n,p)。 二项分布是一种常用的离散型分布,例如, 检查 10 个产品,不合格产品的个数 X ~ B (10, p ) ,其中 p 为不合格率; 调查 50 个人,患色盲的人数 Y ~ B (50, p ) ,其中 p 为色盲率; 射击 4 次,射中的次数 Z ~ B ( 4, p ) ,其中 p 射中率;等等。

当 n = 1 时, P ( X = k ) = p (1 ? p )
k

n ?k

,k=0,1。

或写成 X pk 0 1-p 1 p

此时称,X 服从参数为 p 的两点分布 两点分布 。 两点分布(伯努利分布) 例 3 P54 例 1

2 几何分布(Geometry distribution)(机动)
从一批次品率为 p ( 0 < p < 1 )的产品中逐个地随机抽取产品进行检验,验后放回再 抽取下一件,直到抽到次品为止。设检验的次数为 X ,则 X 可能取的值为 1,2,3,…, 其 概率分布为:

P( X = k ) = (1 ? p) n?1 p, (k = 1,2,....) ,
称这种概率分布为几何分布。

3 超几何分布(Super geometry distribution)
设一批产品共有 N 个,其中有 M 个次品,现从中任取 n 个( n ≤ N ? M ),则这 n 个 产品中所含的次品数 X 是一个离散型随机变量,X 所有可能的取值为 0, 2, 1, …, j , ( 其 中 j = min {M , n} ),其概率分布为:

k n n P ( X = k ) = C M C N? kM / C N ( k =0,1,2,…, j ) , ?

称之为超几何分布。 作业和思考题: 作业: 思考题:


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