当前位置:首页 >> 数学 >>

高三文科数学一轮复习数列5-3


第3讲 等比数列及其前n项和

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【2013年高考会这样考】 1.以等比数列的定义及等比中项为背景,考查等比数列的判 定. 2.考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用. 【复习指导】 本节复习时,紧扣等比数列的定义,

推导相关的公式与性质, 通过基本题型的训练,掌握通性、通法.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

基础梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列 的 公比 ,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式

a1·n-1 . 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an= q

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

3.等比中项 如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成 等比数列 ,那 G b 么根据等比数列的定义, = ,G2=ab,G=± ab,那么G叫作 a G a与b的等比中项. 4.等比数列的常用性质

qn-m,(n,m∈N+). (1)通项公式的推广:an=am·
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),

a a 则 ak·l=am·n

.
?1? ? ? ?an?

(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), an 2 ? ?仍是等比数列. {an},{an·n}, b ?bn ?
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破



?

?

活页限时训练

(4)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-

qn. Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为
5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当q≠1时,Sn= = . 1-q 1-q

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前n项和: Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1, 同乘q得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn, a1?1-qn? 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn= (q≠1). 1-q

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

两个防范 (1)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还要验 证a1≠0. (2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1 分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

三种方法 等比数列的判断方法有: an+1 an (1)定义法:若 =q(q为非零常数)或 =q(q为非零常数且 an an-1 n≥2),则{an}是等比数列; (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0且a 2+1 =an·n+2(n∈N*), a n 则数列{an}是等比数列; (3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·n(c,q均是不为 q 0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列. 注 前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中,如果公比q< 1,那么等比数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 解析 ).

B.递减数列 D.无法确定数列的增减性

当a1>0,0<q<1,数列{an}为递减数列,

当q<0,数列{an}为摆动数列. 答案 D

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

1 2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=4,则公比q=( 1 1 A.-2 B.-2 C.2 D.2 a5 1 1 解析 由题意知:q =a =8,∴q=2. 2
3

).

答案 D

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

3.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·6等于( a A.4 B.8 C.16 D.32 解析 由等比数列的性质得:a2a6=a2=16. 4 答案 C

).

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

S5 4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则S = 2 ( A.-11 B.-8 C.5 D.11 解析 设等比数列的首项为a1,公比为q.因为8a2+a5=0,所 ).

以8a1q+a1q4=0. ∴q3+8=0,∴q=-2,
5 S5 a1?1-q ? 1-q ∴S = · 1-q a1?1-q2? 2

1-q5 1-?-2?5 = =-11. 2= 1-q 1-4 答案 A
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

5.(2011· 广东)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4, 则此数列的公比q=________. 解析 由a4-a3=a2q2-a2q=2q2-2q=4,

解得q=2(q>1). 答案 2

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

考向一 等比数列基本量的计算 【例1】?(2011· 全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2= 6,6a1+a3=30.求an和Sn. [审题视点] 列方程组求首项a1和公差d.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练



?a q=6, ? 1 设{an}的公比为q,由题设得? ?6a1+a1q2=30, ? ?a =2, ? 1 或? ?q=3. ?


?a =3, ? 1 解得? ?q=2 ?

当a1=3,q=2时,an=3·n 1,Sn=3· n-1); 2 (2 当a1=2,q=3时,an=2·n 1,Sn=3n-1. 3


考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列 中有五个量a1,n,q,an,Sn一般可以“知三求二”,通过列 方程(组)可迎刃而解.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

32 【训练1】 等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3·4= 9 ,且公 a 比q∈(0,1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前n项和Sn=21,求n的值.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

32 解 (1)∵a3·4=a1·6= 9 , a a 又a1+a6=11, 32 故a1,a6看作方程x -11x+ 9 =0的两根,
2

32 1 又q∈(0,1)∴a1= 3 ,a6=3, a6 1 1 ∴q =a =32,∴q=2, 1
5

32 ?1?n-1 1 ?1?n-6 ? ? ∴an= 3 · ? =3· ? . ?2? ?2?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

考向二 等比数列的判定或证明 【例2】?(2012· 长沙模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2 an+an+1 = 2 ,n∈N*. (1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. an-1+an [审题视点] 第(1)问把bn=an+1-an中an+1换为 整理可 2 证;第(2)问可用叠加法求an.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

(1)证明 b1=a2-a1=1. an-1+an 1 1 当n≥2时,bn=an+1-an= -an=- (an-an-1)=- bn- 2 2 2 1 1,∴{bn}是以1为首项,- 为公比的等比数列. 2

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

(2)解

? 1? - 由(1)知bn=an+1-an=?-2?n 1, ? ?

当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)=1+1
? 1? ? 1? - +?-2?+?+?-2?n 2 ? ? ? ? ? 1? - 1-?-2?n 1 ? 1? - ? 2? ? ? =1+ =1+3?1-?-2?n 1? ? 1? ? ? ? ? ?- ? 1- 2 ? ?

5 2? 1?n-1 = - ?-2? . 3 3? ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方 法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数 列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,求证:{an}是 等比数列,并求出通项公式. 证明 ∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1.

∴an+1=Sn+1-Sn =(2an+1+1)-(2an+1) =2an+1-2an. ∴an+1=2an, 又∵S1=2a1+1=a1,∴a1=-1≠0. 又由an+1=2an知an≠0, an+1 ∴ a =2.∴{an}是等比数列. n ∴an=-1×2n-1=-2n-1.
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

考向三 等比数列的性质及应用 【例3】?在等比数列{an}中,an>0(n∈N*)公比q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2,求数列{an}的 通项公式. [审题视点] (1)由已知条件可得a1与公比q的方程组,解出a1、

q,再利用通项公式即可得a3、a5,即而求出an.
2 (2)也可利用性质a 2 =a1·5,a 5 =a2·8,直接求得a3,a5,进而 a a 3

求得an.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

解 因为a1a5+2a3a5+a2a8=25,所以a2+2a3a5+a2=25. 3 5 又an>0,所以a3+a5=5. 又a3与a5的等比中项为2,所以a3a5=4, 而q∈(0,1),所以a3>a5. 1 所以a3=4,a5=1,q=2,a1=16.
? 1? - 所以an=16×?2?n 1=25-n. ? ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用 性质 ,特别是性质“若m+n=p+q,则am·n=ap·q”,可以 a a 减少运算量,提高解题速度.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【训练3】 (1)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是 等差数列,且b7=a7,求b5+b9的值; (2)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求 a41a42a43a44. 解 (1)∵a3a11=a2=4a7,∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=4, 7

∵{bn}为等差数列,∴b5+b9=2b7=8.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

(2)法一

a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3=a4q6=1.① 1

a13a14a15a16=a1q12·1q13·1q14·1q15=a4·54=8.② a a a 1q a4·54 48 1q ②÷ ①: a4·6 =q =8?q16=2, 1q 又a41a42a43a44=a1q40·1q41·1q42·1q43 a a a =a4·166=a4·6·160=(a4·6)· 16)10 1q 1q q 1 q (q =1·10=1 024. 2 法二 由性质可知,依次4项的积为等比数列,

设公比为p,设T1=a1·2·3·4=1, a a a T4=a13·14·15·16=8, a a a ∴T4=T1·3=1·3=8,∴p=2. p p ∴T11=a41·42·43·44=T1·10=210=1 024. a a a p
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

规范解答10——怎样求解等差与等比数列的综合性问题 【问题研究】 等差数列和等比数列既相互区别,又相互联系, 高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,将两类数列综合起 来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综合题以 及相互之间的转化. 【解决方案】 首先求解出两个数列的基本量:首项和公差及公 比,再灵活利用性质转化条件,以及利用等差、等比数列的相 关知识解决.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【示例】?(本题满分12分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的 和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列 {bn}中的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;
? 5? ? ? ?Sn+ ?是等比数列. (2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列 4? ? ? ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

正确设等差数列的三个正数,利用等比数列的性质解出公差 d,从而求出数列{bn}的首项、公比;利用等比数列的定义可 解决第(2)问.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

[解答示范] (1)解 a+d.

设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,

依题意,得a-d+a+a+d=15, 解得a=5.(2分) 所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2或d=-13(舍去).(4分) 故{bn}的第3项为5,公比为2, 由b3=b1·2,即5=b1·2, 2 2
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

5 解得b1= . 4 5 所以{bn}是以 为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为 4 5 n-1 - bn=4· =5·n 3.(6分) 2 2

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

5 ?1-2n? 4 5 5 n -2 (2)证明 数列{bn}的前n项和Sn= =5· -4,即Sn+4 2 1-2 =5·n-2. 2 5 Sn+1+4 5·n-1 2 5 5 所以S1+ = , = =2. 4 2 5 5·n-2 2 Sn+ 4
? 5? 5 ? ? ?Sn+ ?是以 为首项,公比为2的等比数列.(12分) 因此 4? 2 ? ? ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程 组,需要认真计算,灵活处理已知条件.容易出现的问题主要 有两个方面:一是计算出现失误,特别是利用因式分解求解方 程的根时,不注意对根的符号进行判断;二是不能灵活运用等 差(比)数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程 组较为复杂,增大运算量.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【试一试】

(1)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>

0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3 -a3,b4-a4成公差不为0的等差数列?若存在,求{an},{bn} 的通项公式;若不存在,说明理由.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

[尝试解答] b3=3+aq2,

(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,

由b1,b2,b3成等比数列得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 即aq2-4aq+3a-1=0. 由a>0得,Δ=4a2+4a>0,故方程有两个不同的实根. 1 再由{an}唯一,知方程必有一根为0,将q=0代入方程得a= . 3

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

(2)假设存在两个等比数列{an},{bn}使b1-a1,b2-a2,b3- a3,b4-a4成公差不为0的等差数列. 设{an}的公比为q1,{bn}的公比为q2, 则b2-a2=b1q2-a1q1,
2 b3-a3=b1q2-a1q1, 2 3 b4-a4=b1q3-a1q1. 2

由b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成等差数列得

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

①×q2-②得a1(q1-q2)(q1-1)2=0, 由a1≠0得q1=q2或q1=1. ⅰ)当q1=q2时,由①②得b1=a1或q1=q2=1, 这时(b2-a2)-(b1-a1)=0,与公差不为0矛盾. ⅱ)当q1=1时,由①②得b1=0或q2=1, 这时(b2-a2)-(b1-a1)=0,与公差不为0矛盾. 综上所述,不存在两个等比数列{an},{bn}使b1-a1,b2-a2, b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

单击此处进入

活页限时训练

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练


相关文章:
2017年高考全国卷文科数学第一轮复习 讲义一 数列
一轮复习 讲义一 数列_高三数学_数学_高中教育_...了解数列是自变量为正整数的一类函数. (3) .理解...(5) .了解等差数列与一次函数的关系. (6) .理解...
2013届高三一轮复习文科《《数列》》数学全能测试五《...
2013届高三一轮复习文科《《数列》》数学全能测试五《《《_列_数学_高中教育_...为 A.1 B.2 1 0.5 C .3 2 1 a b c 10、 设 S n 为等比数列 ...
2013版高三(理)一轮复习 5.5 数列的综合应用
2013版高三(理)一轮复习 5.5 数列的综合应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区...(3)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 若公差 d=1, 1>0, a 试问: ...
2015级高考数学一轮复习讲义5-3 等比数列及其前n项和
2015级高考数学一轮复习讲义5-3 等比数列及其前n项和_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第3讲 [最新考纲] 等比数列及其前 n 项和 1.理解等比数列的概念,...
2013版高三新课标理科数学一轮复习单元评估检测(5)第5...
2013版高三新课标理科数学一轮复习单元评估检测(5)第5章 数列)_高中教育_教育...1 2 2 1- 2 3.【解析】选 A.由题意知 3(a2-a1)=-4-(-1)=-3, ...
高三数学第一轮复习计划(文科)
高三数学一轮复习计划(文科)_数学_高中教育_教育...(理解) 第三章——导数及其应用总课时:13 节 ...第五讲:如何求通项公式 an (难点) 第六讲:数列...
2016届高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和练习 理
2016届高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和练习 理_数学_高中教育_教育专区。第三节 等比数列及其前 n 项和 基础回 顾K 一、等比数列的定义 an+1 *...
...(文理通用)2015届高三数学一轮复习 5.3等比数列及其...
【全程复习方略】(文理通用)2015届高三数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和精品试题_数学_高中教育_教育专区。等比数列及其前 n 项和 (45 分钟 一、选择题(...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):5.3等 比数列_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测 A 等比数列 1.已知等比数列{an...
高考数学一轮复习检测:第五章 数列 第3讲
高考数学一轮复习检测:第五章 数列3讲_高三数学_数学_高中教育_教育专区。一、选择题 1.若等比数列{an}的各项均为正数,a1+2a2=3,a2 3=4a2a6,则 a4=...
更多相关标签: