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2014年高考全国新课标1理科数学


2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 1 理科数学 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题 前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮搽干净后, 再选涂其他答案标号, 写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A ? B =
A .[-2,-1] B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

2.

(1 ? i )3 = (1 ? i ) 2
B .1 ? i

A .1 ? i

C . ?1 ? i

D . ?1 ? i

3.设函数 f ( x) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x) 时奇函数, g ( x) 是偶函 数,则下列结论正确的是
A . f ( x) g ( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

4.已知 F 是双曲线 C :x2 ? my2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦点, 则点 F 到 C 的一 条渐近线的距离为学科网
A. 3 B .3

C . 3m

D . 3m

5.4 位同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率
A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂 线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) , 则 y = f ( x) 在[0, ? ]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

8.设 ? ? (0, ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ?
2
2

?

?

1 ? sin ? ,则 cos ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

9.不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .

其中真命题是
A . p2 , P 3 B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

10.已知抛物线 C : y2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是 直线 PF 与 C 的一个焦点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =
A.

7 2

B.

5 2

C .3

D .2

11.已知函数 f ( x) = ax3 ? 3x 2 ? 1 ,学科网 若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为
A .(2,+∞) B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,

-1)

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体 的三视图,则该多面体的个条棱中, 的长度为
A .6 2 B .4 2

最长的棱

C .6

D .4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考 题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生 根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x2 y 2 的系数为 案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .
1 2

.(用数字填写答

15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的 夹角为 .

16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且
(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 ,
an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数.

(Ⅰ)证明: an?2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这 些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 (同一 组数据用该区间的中点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正 态分布 N (?, ? 2 ) ,其中 ? 近似为样本平均数 x , ? 2 近似为样本方差 s2 . (i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产 品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的 结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? 2 ) ,则 P(? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826,
P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱 形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ;

(Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=Bc,求二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦 值.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A(0, -2) , 椭圆 E : 2 ? 的离心率为 原点. (Ⅰ)求 E 的方程;

x2 a

y2 ? 1(a ? b ? 0) b2

3 2 3 , F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 , O 为坐标 2 3

(Ⅱ) 设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点, 当 ?OPQ 的面积最大时, 求 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ae x ln x ?
be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点 x

(1, f (1) 处的切线为 y ? e( x ?1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ) 证明: f ( x) ? 1 . 请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做 所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延 长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E;学科网 (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE

为等边三角形.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :
?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ) 过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o 的直线, 交 l 于点 A , 求 | PA | 的最大值与最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且 ? ? ab . (Ⅰ) 求 a3 ? b3 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.
1 a 1 b

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案(B 卷)

一选择题 1.A 7 .D 8. C 2.D 3.C 9. B 10.B 4.A 5.D 11.C 6.C 12.B

二填空题 13.-20 三解答题 14.A 15.90 度 16.

17.解: (I)由题设, an ? an?1 ? ?sn ? 1 ,又 an?1 ? an ? ?sn?1 ? 1 两式相减的 an?1 ? (an?2 ? an ) ? ?an?1 由于 ,所以 an?2 ? an ? ?

( )由题设,假设{ an }为等差数列,设公差为 d,则 当 n=1 时,a1 ? a2 ? ?a1 ? 1, an?2 ? an ? (an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2d ? ? 。
1 ? (1 ?



?
2

) ? ? ? 1 ? 1, 得λ =4。

故 {

,由此可得 }是首项为 1,公差为 4 的等差数列, =4n-1

{ }是首项为 3,公差为 4 的等差数列, 所以 因此存在λ =4,使得数列为等差数列

(18)解 (I)收取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 分别是
x =200
s 2 =150

( )由上述可此,Z~N(200,165),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826 一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 依题意可知 X~B(100,0.6826),所以 EX=100 ? 0.6826 ? 68.26

(19)解: (I) 连结 以 又 又 ,交 于点 O,连结 AO。因为侧面 及 的中点。 为菱形,所

,且 O 为 ,所以 ,故 AC=

平面 ABO,由于 AO 平面 ABO,故 , ,且 O 为 ……6 分 的中点,所以 AO=CO。 。 两两相互垂直。 为单位长,建立

(II)因为

又因为 AB=BC,所以 故 ,从而 OA、OB、 以 O 为坐标原点,

的方向为 x 轴正方向,

如图所示的空间指教坐标系 O-xyz. 因为 B ( , , 所以 1,0,0 为等边三角角, 又 AB=BC, 则A ) , , , , ,



式平面

的法向量,则



所以,取 n=(1,





设 m 是平面

的法向量,则 , )

同理可取 m=(1,则 cos =

所以,所求角 A-A2B2-C1 的余弦值为

(20)解: (1)设 F(C,0),由条件知, 又 故 E 的方程为

故设 l:y=kx-2,P(x1,x2) 将 y=kx-2 代入 +y2=1 得

(1+4k2)x2-16kx+12=0

当 从而 |PQ|=

>0,即 |

> 时, |=

=

又点 O 到直线 PQ 的距离 d=

。所以

的面积 … … … … … … ..9





,则 t﹥0, 时等号成立,且满足 ﹥0.

因为 t+ ≥4.当且仅当 t=2,即 k=

所以,△OPQ 的面积最大时,l 的方程为 …………………. 12 分

(21)解:

(I) 函数 f (x) 的定义域为 由题意可得 f(1)=2

, f’ (x) =



,f’(1)=e

故 a=1,b=2………………5 分

(II)由(I)知,f(x)= > .

,从而 f(x)>1 等价于 xlnx

设函数 g(x)=xlnx,则 g’(x)=1+lnx 所以当 x (0, ) 时,g’(x)<0;当 x ( )时,g’(x)>0.

故 g(x)在(0, )单调递减,在( ,+ )单调递增,从而 g(x) 在 的最小值为 g( )=……………8 分 . 时,h’(x)<0. 单调递减,从而 h(x)在

设函数 h(x)= 所以当

,则 h’(x)=

时,h’(x)>0;当

故 h(1)在(0,1)单调递增,在 的最大值为 h(1)=

综上, 当 x>0 时, g (x) >h (x) , 即f (X) >1……………………….12 分

(22)解: (I)由题设知 A,B,C,D 四点共圆,所以 D= CBE 由已知得 CBE= E,故 D= E……5 分 (II)设 BC 的中点为 N,连结 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,故 O 在直 线 MN 上。 又 AD 不是 O 的直径,M 为 AD 的中点,故 OM⊥AD,即 MN⊥AD

所以 AD//BC,故 A= CBE 又 CBE= E,故 A= E。由(I)知, D= E,所以 ADE 为等边三 角形。

(23)解:

(I)曲线 C 的参数方程为 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0 (II)曲线 C 上任意一点 P(

( 为参数)



)到 l 的距离为

则 当 =-1 时,

,其中 为锐角,且 tan = 取得最大值,最大值为
11 5 5



=1 时,

取得最小值,最小值为

(24)解: (I)由 故 所以 的最小值为 ,得 ab 2,且当 a=b= 时等号成立

(II)由(I)知,2a+3b 由于 >6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6


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