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2017高考数学(浙江专版)二轮复习与策略课件 专题7 随机变量及其分布


2017版高三二轮复习与策略
核 心 知 识 · 聚 焦

突破点7
热 点 题 型 · 探 究

随机变量及其分布

专 题 限 时 集 训

2017版高三二轮复习与策略

提炼1 离散型随机变量的分布列
离散型随机变量X的分布列如下: X P 则(1?pi≥0. (2?p1+p2+?+pi+?+pn=1(i=1,2,3,?,n?. x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ? xn pn

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(3?E(X?=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn为X的均值或数学期望(简称期望?. D(X?=(x1-E(X??2· p1+(x2-E(X??2· p2+?+(xi-E(X??2· pi+?+(xn- E(X??2· pn叫做随机变量X的方差. (4?均值与方差的性质 ①E(aX+b?=aE(X?+b; ②D(aX+b?=a2D(X?(a,b为实数?. (5? 两点分布与二项分布的均值、方差 ①若X服从两点分布,则E(X?=p,D(X?=p(1-p?; ②若X~B(n,p?,则E(X?=np,D(X?=np(1-p?.

2017版高三二轮复习与策略 提炼2 几种常见概率的计算
(1?条件概率 P?AB? n?AB? 在A发生的条件下B发生的概率为P(B|A?= = . P?A? n?A? (2?相互独立事件同时发生的概率 P(AB?=P(A?P(B?. (3?独立重复试验的概率 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰
k n -k 好发生k次的概率为Pn(k?=Ck p · (1 - p ? ,k=0,1,2,?,n. n

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回访1

离散型随机变量及其分布列

1.(2013· 浙江高考?设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取 出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分. (1?当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均 等?2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列; (2?从该袋子中任取(每球取到的机会均等?1个球,记随机变量η为取出此球 5 5 所得分数.若Eη=3,Dη=9,求a∶b∶c.

2017版高三二轮复习与策略 [解] (1?由题意得ξ=2,3,4,5,6.
3×3 1 故P(ξ=2?= =4, 6×6 2×3×2 1 P(ξ=3?= =3, 6×6 2×3×1+2×2 5 P(ξ=4?= =18, 6×6 2×2×1 1 P(ξ=5?= =9, 6×6 1×1 1 P(ξ=6?= =36. 6×6 1分 2分 3分 4分 5分

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所以ξ的分布列为 ξ P 2 1 4 3 1 3 5 5 18 5 1 9 6 1 36 6分

2017版高三二轮复习与策略 (2?由题意知η的分布列为
η P 2b 3c 5 a 所以E(η?= + + = , a+b+c a+b+c a+b+c 3 10分 1 2 3

? ? ? 5?2 5?2 5?2 5 a b c ? ? ? ? ? ? D(η?= 1-3 · + 2-3 · + 3-3 · = , ? ? a+b+c ? ? a+b+c ? ? a+b+c 9 ? ?2a-b-4c=0, 化简得? ? ?a+4b-11c=0.

13分 15分

解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.

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回访2 离散型随机变量的均值与方差

2.(2014· 浙江高考?已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个 蓝球(m≥3,n≥3?,从乙盒中随机抽取i(i=1,2?个球放入甲盒中. (1?放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2?; (2?放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2?.则( A.p1>p2,E(ξ1?<E(ξ2? B.p1<p2,E(ξ1?>E(ξ2? C.p1>p2,E(ξ1?>E(ξ2? D.p1<p2,E(ξ1?<E(ξ2? ?

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A [随机变量ξ1,ξ2的分布列如下: ξ1 P 1 2

ξ2 P

1

2

3

2017版高三二轮复习与策略 2m 2m+n n 所以E(ξ1?= + = , m+n m+n m+n
1 1 2 3m+n C2 2C C 3C n m n m E(ξ2?= 2 + 2 + 2 = , Cm+n Cm+n Cm+n m+n

所以E(ξ1?<E(ξ2?. m n 1 2m+n 因为p1= + · = , 2 m+n m+n 2?m+n?
1 1 2 3m+n C2 C C 2 C m m n n 1 p2= 2 + 2 · + · = , 3 Cm+n Cm+n 3 C2 3 ? m + n ? m+n

n p1-p2= >0,所以p1>p2.] 6?m+n?

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1 3.(2014· 浙江高考?随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0?= 5 ,E(ξ?=1,则D(ξ? =________.
2 5 [设P(ξ=1?=a,P(ξ=2?=b,

3 ? 1 ? ?a=5, ? +a+b=1, 则?5 解得? 1 ? ? ?a+2b=1, b=5, ? 1 3 1 2 所以D(ξ?=5+5×0+5×1=5.]

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热点题型1

相互独立事件的概率与条件概率

题型分析:高考对条件概率的考查,主要体现在对条件概率的了解层次, 难度较小,对事件相互独立性的考查相对较频繁,难度中等. (1?(2015· 全国卷Ⅰ?投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通 过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独 立,则该同学通过测试的概率为( A.0.648 B.0.432 C.0.36 ? D.0.312

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(2?如图71,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流 能通过T1,T2,T3的概率都是p,电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元 件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.

图71 ①求p; ②求电流能在M与N之间通过的概率.

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2 (1?A [3次投篮投中2次的概率为P(k=2?=C 2 3 ×0.6 ×(1-0.6?,投中3次的

概率为P(k=3?=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2?+P(k=3?=C -0.6?+0.63=0.648.故选A.]

2 3

×0.62×(1

(2?记Ai表示事件:电流能通过Ti,i=1,2,3,4,A表示事件:T1,T2,T3中至 少有一个能通过电流, B表示事件:电流能在M与N之间通过.

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①- A =- A 1- A 2- A 3,- A 1,- A 2,- A 3相互独立, P(- A ?=P(- A 1- A 2- A 3? - - - =P( A 1?P( A 2?P( A 3?=(1-p?3. 又P(- A ?=1-P(A?=1-0.999=0.001, 故(1-p?3=0.001,p=0.9.

2分

3分 4分 6分

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- -- ②B=A4∪ A 4A1A3∪ A 4 A 1A2A3, - -- P(B?=P(A4∪ A 4A1A3∪ A 4 A 1A2A3? =P(A4?+P(- A 4A1A3?+P(- A 4- A 1A2A3? =P(A4?+P(- A 4?P(A1?P(A3?+P(- A 4?P(- A 1?P(A2?· P(A3? =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.989 1.

10分

15分

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1.解决条件概率的关键是明确“既定条件”. 2.求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法 (1?直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的 事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题,然 后用相应概率公式求解. (2?间接法:当复杂事件正面情况比较多,反面情况较少,则可利用其对立 事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.

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[变式训练1] (2016· 全国甲卷?某险种的基本保费为a(单位:元?,继续购买 该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联 如下: 上年度出险次 数 保费 0 0.85a 1 a 2 3 4 ≥5 2a

1.25a 1.5a 1.75a

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设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出 险次数 概率 0 1 2 3 4 ≥5

0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05

(1?求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2?若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60% 的概率; (3?求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

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[解] (1?设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,故 P(A?=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. 2分

(2?设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B?=0.1+0.05=0.15.4分 又P(AB?=P(B?, P?AB? P?B? 0.15 3 故P(B|A?= = = = . P?A? P?A? 0.55 11 3 因此所求概率为11. 6分

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(3?记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为 X P 0.8 5a a 1.2 1. 1.7 5a 5a 5a 2a

0.3 0. 0.2 0. 0.1 0. 0 15 0 20 0 05 9分

E(X?=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+ 2a×0.05=1.23a. 13分

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 15分

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热点题型2 离散型随机变量的分布列、期望和方差 题型分析:离散型随机变量的分布列问题是高考的热点,常以实际生活为 背景,涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等,综合性强,难度中等.

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(2016· 嘉兴第一中学优化卷?红队队员甲,乙,丙与蓝队队员A, B,C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘.已知甲胜A,乙胜B,丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立. (1?求红队至少两名队员获胜的概率; (2?用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ?.

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[解] (1?记甲对A,乙对B,丙对C各一盘中甲胜A,乙胜B,丙胜C分别为 - - - 事件D,E,F,则甲不胜A,乙不胜B,丙不胜C分别为事件 D , E , F ,根据 - - 各盘比赛结果相互独立可得红队至少两名队员获胜的概率P=P(DE F ?+P(D E F?+P( - D EF?+P(DEF?=P(D?P(E?P( - F ?+P(D?P( - E ?P(F?+P( - D ?P(E?P(F?+ P(D?P(E?P(F?=0.6×0.5×(1-0.5?+0.6×(1-0.5?×0.5+(1-0.6?×0.5×0.5+ 0.6×0.5×0.5=0.55. 6分

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(2?依题意可知ξ=0,1,2,3, --- - - - P(ξ=0?=P( D E F ?=P( D ?P( E ?P( F ?=(1-0.6?×(1-0.5?×(1-0.5?= 0.1, P(ξ=1?=P(D - E- F ?+P( - D E- F ?+P( - D- E F?=0.6×(1-0.5?×(1-0.5?+(1- 0.6?×0.5×(1-0.5?+(1-0.6?×(1-0.5?×0.5=0.35, 8分

- - - P(ξ=2?=P(DE F ?+P(D E F?+P( D EF?=0.6×0.5×(1-0.5?+0.6×(1- 0.5?×0.5+(1-0.6?×0.5×0.5=0.4. P(ξ=3?=P(DEF?=0.6×0.5×0.5=0.15. 10分

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故ξ的分布列为: ξ P 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15 15分

故E(ξ?=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.

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解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路: (1?明确随机变量可能取哪些值. (2?结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值. (3?根据分布列和期望、方差公式求解. 提醒:明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的 关键.

2017版高三二轮复习与策略 [变式训练2] 某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产
品,产品出厂前需要对产品进行性能检测.检测得分低于80的为不合格品,只能 报废回收;得分不低于80的为合格品,可以出厂,现随机抽取这两种产品各60 件进行检测,检测结果统计如下: 得分 甲种产品 的件数 乙种产品 的件数 [60,70? 5 [70,80? 10 [80,90? 34 [90,100] 11

8

12

31

9

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(1?试分别估计甲、乙两种产品下生产线时为合格品的概率; (2?生产一件甲种产品,若是合格品可盈利100元,若是不合格品则亏损20 元;生产一件乙种产品,若是合格品可盈利90元,若是不合格品则亏损15元.在 (1?的前提下: ①记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润,求随机变量X的 分布列和数学期望; ②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率.

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45 3 [解] (1?甲种产品为合格品的概率约为 60 = 4 ,乙种产品为合格品的概率约 40 2 为60=3. (2?①随机变量X的所有取值为190,85,70,-35, 3 2 1 3 1 1 1 2 1 且P(X=190?=4×3=2,P(X=85?=4×3=4,P(X=70?=4×3=6,P(X= 1 1 1 -35?=4×3=12. 2分

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所以随机变量X的分布列为 X P 190 1 2 85 1 4 70 1 6 -35 1 12 6分 190 85 70 35 所以E(X?= 2 + 4 + 6 -12=125. 8分

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②设生产的5件乙种产品中合格品有n件,则不合格品有(5-n?件, 25 依题意得,90n-15(5-n?≥300,解得n≥ 7 ,取n=4或n=5, 13分 设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A, 2 5 112 4 2 41 则P(A?=C5? ? +? ? = .
?3? 3 ?3? ? ? ? ?

243

15分


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