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高中数学人教B版必修5同步练习:2.2 第2课时《等差数列》


2.2 第 2 课时《等差数列》

一、选择题 1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( A.14 C.28 [答案] C [解析] ∵{an}是等差数列,∴a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4. ∴a1+a2+…+a7=7a4=28. 2.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( A

.a1+a101>0 C.a3+a100≤0 [答案] D [解析] 由题设 a1+a2+a3+…+a101=51a51=0, ∴a51=0. 3.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a3+a6+a9 的值为( A.30 C.24 [答案] B [解析] b1=a1+a4+a7=39,b2=a2+a5+a8=33,b3=a3+a6+a9,∵{an}成等差数列,∴b1,b2,b3 B.27 D.21 ) B.a2+a100<0 D.a51=0 ) B.21 D.35 )

成等差数列,∴a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27. 4.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 等于( A.15 C.31 [答案] A [解析] a7+a9=a4+a12, ∴a12=16-1=15. 5.若数列{an}是等差数列,且 a1+a4=45,a2+a5=39,则 a3+a6=( A.24 C.30 [答案] D [解析] ∵(a2+a5)-(a1+a4)=2d=-6, ∴(a3+a6)-(a2+a5)=2d=-6, B.27 D.33 ) B.30 D.64 )

∴a3+a6=a2+a5-6=39-6=33. 6.等差数列中,若 a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=420,则 a2+a10 等于( A.100 C.140 [答案] B [解析] a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=7a6=420, ∴a6=60, ∴a2+a10=2a6=120. 二、填空题 7.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=________. [答案] 74 [解析] a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=2×37=74. 1 8.等差数列{an}中,公差为 ,且 a1+a3+a5+…+a99=60,则 a2+a4+a6+…+a100=_______. 2 [答案] 85 [解析] 由等差数列的定义知 a2+a4+a6+…+a100 =a1+a3+a5+…+a99+50d=60+25=85. 三、解答题 9.四个数成递增等差数列,中间两数的和为 2,首末两项的积为-8,求这四个数. [分析] 四个数成等差数列,且中间两数的和已知,可设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,列 方程组求解. [解析] 设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为 2d). 依题意,得 2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即 a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1 或 d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. B.120 D.160 )

一、选择题 1 1.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- a11 的值为( 3 A.14 C.16 [答案] C B.15 D.17 )

[解析] 由题意,得 5a8=120,∴a8=24, 1 1 2 ∴a9- a11=(a8+d)- (a8+3d)= a8=16. 3 3 3 2.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( A.-1 C.3 [答案] B [解析] ∵{an}是等差数列, ∴a1+a3+a5=3a3=105,∴a3=35, a2+a4+a6=3a4=99,∴a4=33, ∴d=a4-a3=-2, a20=a4+16d=33-32=1. 3.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于 x 的方程:x2+(a4+a6)x+10=0( A.无实根 C.有两个不等实根 [答案] A [解析] ∵a4+a6=a2+a8=2a5, 即 3a5=9,∴a5=3, 方程为 x2+6x+10=0,无实数解. 4.在 a 和 b 之间插入 n 个数构成一个等差数列,则其公差为( b-a A. n b-a C. n+1 [答案] C an+2-a1 b-a [解析] ∵a1=a,an+2=b,∴公差 d= = . ?n+2?-1 n+1 二、填空题 5.在等差数列{an}中,已知 am+n=A,am-n=B, ,则 am=__________. [答案] 1 (A+B) 2 a-b B. n+1 b-a D. n-1 ) B.有两个相等实根 D.不能确定有无实根 ) B.1 D.7 )

[解析] ∵m-n,m,m+n 成等差数列,又{an}是等差数列.∴am-n,am,am+n 成等差数列, 1 ∴2am=am-n+am+n=A+B,∴am= (A+B). 2 6.三个数成等差数列,它们的和等于 18,它们的平方和等于 116,则这三个数为__________. [答案] 4,6,8

[解析] 设这三个数为 a-d,a,a+d,
? ? ??a-d?+a+?a+d?=18 ?a=6 ? 则? ,∴ , 2 2 2 ??a-d? +a +?a+d? =116 ?d=± 2 ? ?

∴三个数为 4,6,8. 三、解答题 7.四个数成等差数列,其平方和为 94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少 18, 求此四个数. [解析] 设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,据题意得, (a-3d)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94 ?2a2+10d2=47.① 3 7 又(a-3d)(a+3d)=(a-d)(a+d)-18?8d2=18?d=± 代入①得 a=± ,故所求四个数为 8,5,2,-1 或 2 2 1,-2,-5,-8 或-1,2,5,8 或-8,-5,-2,1. 8.已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求 a3+a9. [解析] 解法一:a2+a6+a10=a1+d+a1+5d+a1+9d=3a1+15d=1, 1 ∴a1+5d= . 3 2 ∴a3+a9=a1+2d+a1+8d=2a1+10d=2(a1+5d)= . 3 解法二:∵{an}为等差数列, ∴2a6=a2+a10=a3+a9,∴a2+a6+a10=3a6=1, 1 2 ∴a6= ,∴a3+a9=2a6= . 3 3 9.在△ABC 中,若 lgsinA,lgsinB,lgsinC 成等差数列,且三个内角 A,B,C 也成等差数列,试判断 三角形的形状. [分析] 利用等差中项求角,再根据角的关系判断三角形的形状. [解析] ∵A,B,C 成等差数列, π ∴2B=A+C,又∵A+B+C=π,∴3B=π,B= . 3 ∵lgsinA,lgsinB,lgsinC 成等差数列, ∴2lgsinB=lgsinA+lgsinC, 即 sin2B=sinA· sinC, 3 ∴sinAsinC= . 4 又∵cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC, cos?A-C?-cos?A+C? ∴sinAsinC= , 2

3 1 2π ∴ = [cos(A-C)-cos ], 4 2 3 3 1 1 ∴ = cos(A-C)+ , 4 2 4 ∴cos(A-C)=1, ∵A-C∈(-π,π),∴A-C=0, π 即 A=C= ,A=B=C. 3 故△ABC 为等边三角形.


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