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2014-2015年高二文科数学综合测试试卷(1)及答案


2014-2015 年高二文科数学综合测试试卷
本试卷共 21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?
2 方差公式 s ?

1 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] . n

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ⒈ i 为虚数单位, (?1 ? 2 i ) ? i ? A. 2 ? i B. 2 ? i C. ? 2 ? i D. ? 2 ? i

⒉已知向量 a ? (2 , 3) 与 b ? ( x , ? 6) 共线,则 x ? A. ? 4 B. 4 C. 9 D. ? 9

⒊一个数列,它的前 4 项分别是 A. a n ?

2n ? 1 2n 4 的 x

1 3 5 7 , , , ,这个数列的一个通项公式是 2 4 8 16 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 B. a n ? C. a n ? D. a n ? n 2n 2 2n

⒋已知 x ? 0 ,则 x ? A.最大值为 2

B.最小值为 2

C.最大值为 4

D.最小值为 4

⒌若 p : f ( x) 是奇函数, q : y ? f ( x) 的图象经过坐标原点,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

⒍如图 1, 正方形 SG1G2 G3 中,E 、F 分别是 G1G2 、G2 G3 的中点,D 是 EF 的中点, 沿 SE 、SF 、EF 将正方形折成一个四面体, 使 G1 、 G2 、 G3 重合,重合后的点记为 G ,则在 四面体 S ? EFG 中 A. SG ? 平面 EFG C. GF ? 平面 SEF
2 2

S

G3
F

B. SD ? 平面 EFG D. GD ? 平面 SEF

D

⒎双曲线 C 以椭圆 线 C 的方程为

x y ? ? 1 的焦点为顶点, 以椭圆的顶点为焦点, 则双曲 16 12

G1

E

图1

G2

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 B. C. D. 16 12 4 12 12 4 16 4 ⒏一个质量为 3kg 的物体作直线运动,设运动距离 s ( 单位: m ) 与时间 t ( 单位: s ) 的关系可用函数
A.

s(t ) ? 1 ? t 2 表示,并且物体的动能 E k ?

1 mv 2 .则物体开始运动后第 5s 时的动能是 2

高二数学(文科)试题 第 1 页 共 6 页

A. 150

B. 75

C.

75 2

D.

45 2

开始

⒐图 2 的程序框图输出的 n 的值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

n?0
n ? n ?1
2 n ? n 2 ? 1?
是 输出 n 结束 图2 否

?2 x ? y ? 4 ? ⒑ P 是平面区域 ? x ? y ? 1 上任意一点,则以坐标原点 ?x ? 2 y ? 2 ?
O 为圆心,经过点 P 的所有圆的面积的最小值 s ?
A.

? 5

B.

4? 5

C.

? 2

D. ?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) ⒒某校在对学生是否喜欢数学的抽样调查中,随机抽取了 300 名学生,相关的数据如下表所示: 喜欢数学课程 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总计 122 178 300

男 女 总计

由表中数据直观分析,该校学生的性别与是否喜欢数学之间 ________ 关系(填“有”或“无” ) . ⒓命题 p :每个指数函数都是单调函数,则它的否定 ? p : __________ ______ . ⒔若 a 、 b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ;若 a 、 b 、 c ? 0 ,则 a ? b ? c ? 33 abc ;若 a 、 b 、 c 、 d ? 0 , 则 a ? b ? c ? d ? 44 abcd 。猜想:若 a1 、 a2 、 a3 、??、 an ? 0 ,则 __________ ______ . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) ⒕(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 ( 2 2 , 方程是 .

?
4

) 作圆 ? ? 4 sin ? 的切线,则切线的极坐标
C
A

⒖(几何证明选讲选做题)如图 3, AB 是⊙ O 的直径,

P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切
点为 C 。若 ?CAP ? ?CPA ? 30? ,则

? O

B
图3

P

PB ? AB



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c . ⑴若 sin( A ? ⑵若 cos A ?

?
6

) ? 2 cos A ,求 A 的值;

1 , b ? 3c ,求证: ?ABC 是直角三角形. 3

高二数学(文科)试题 第 2 页 共 6 页

⒘(本小题满分 13 分) 如图 4,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ABC ? 900 ,

B
A

AB ? 2 , BC ? CC1 ? 4 , D 是 AA 1 的中点.
⑴求四棱锥 B1 ? A1C1CD 的体积; ⑵求证: B1 D ? 平面 BCD .

C

D

B1 C1
图4

A1

⒙(本小题满分 13 分)

已知数列 {an } ( n ? N ? )是递增的等比数列,且 a1 ? a3 ? 5 , a1a3 ? 4 . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵若 bn ? log
2

an ? 1 ,且 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bm ? b45 ,求正整数 m 的最大值.

⒚(本小题满分 14 分) 某次学业水平考试有 1000 人参加, 其成绩的频率分布直方图如图 5 所示, 规定 85 分及其以上为优秀. ⑴若成绩在 [ 75 , 80) 区间有 50 人,求成绩为优秀的学生人数; ⑵用分层抽样的方法从成绩在 [ 80 , 85) 和 [ 90 , 95) 区间的学生中抽取 5 人进行研究,问应抽取多少 名成绩在 [ 90 , 95) 区间的学生? ⑶从⑵所抽取的 5 人中随机抽取 2 人,求成绩在 [ 80 , 85) 和 [ 90 , 95) 区间的学生恰好各有 1 人的概率. 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O
频率 组距

⒛(本小题满分 14 分)

75 80 85 90 95 100 分数 图5

x2 y2 6 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点为 A (0 , 2) , 离心率 e ? . 3 a b
⑴求椭圆 C 的方程;

⑵若 B 是 A 关于坐标原点的对称点,试探究在椭圆 C 是否存在点 P ,使 ?ABP 为等腰三角形?若存 在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) .

21.(本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x ) ? ln x ? ( a ? ) x , a ? R 是常数.

1 2

⑴当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在区间 [ 1 , e ] 上的最大值和最小值; ⑵若在区间 ( 1 , ? ?) 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求实数 a 的取值范围.

高二数学(文科)试题 第 3 页 共 6 页

2014-2015 年高二文科数学综合测试试卷评分参考
一、选择题 二、填空题 ⒒有 ⒓存在一个指数函数,它不是单调函数(等价表达可相应给分) ⒕ ? cos? ? 2 ⒖

CABDD

ABACC

⒔ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? nn a1a2 a3 ? ?? an 三、解答题

1 2

n? ( ⒗ ⑴ 由 s i A

?
6

) ? 2c oA s 得 sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A ? ? 2

分 , 所 以

sin A ?
所以 A ?

3 1 3 3 因为 0 ? A ? ? , tan A ? 3 ??4 分, ? cos A ? ? 2 cos A ??3 分, sin A ? cos A , 2 2 2 2

?
3

??6 分

⑵由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ??8 分, ? 8c 2 ??9 分,因为 a 2 ? c 2 ? 9c 2 ? b 2 ?? 11 分, ?ABC 是直角三角形??12 分 ⒘⑴ VB1 ? A1C1CD ? VABC? A1B1C1 ? VC ? ABB1D ??1 分,

?

1 1 1 1 1 ? AB ? BC ? CC1 ? ? S ABB1D ? BC ??3 分, ? ? 2 ? 4 ? 4 ? ? (2 ? 4) ? 4 ? 2 2 3 2 3 2

??5 分, ? 8 ??6 分 (或: VB1 ? A1C1CD ? ??2 分, ? 分)
0 ⑵ ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,所以 BB1 ? 底面ABC , BB1 ? BC ??7 分,又 ?ABC ? 90 ,所

1 1 1 ? S A1C1CD ? h ??1 分, ? ? ? ( A1 D ? C1C ) ? A1C1 ? h 3 3 2

1 1 1 1 ? ? ( A1 D ? C1C ) ? A1 B1 ? B1C1 ??3 分, ? ? ? (4 ? 2) ? 2 ? 4 ??5 分, ? 8 ??6 3 2 3 2

以 BC ? AB , 因 为 BB1 ? AB ? B , 所 以 BC ? 面A B B 1A 1 ? ? 8 分 , B1 D ? 面ABB 1A 1 ,所以

B1 D ? BC ??9 分。
0 0 0 在 ?ABD 中, ?BAD ? 90 , AB ? AD ? 2 ,所以 ?ADB ? 45 ,同理, ?A1 DB1 ? 45 ?? 11

0 分, 所以 ?B1 DB ? 90 ,B1 D ? DB ??12 分。 因为 BC ? DB ? B , 所以 B1 D ? 平面 BCD ??13 分。

⒙⑴由 a1 ? a3 ? 5 , a1a3 ? 4 解得 a1 ? 1 , a3 ? 4 或 a1 ? 4 , a3 ? 1 ??1 分,因为 {an } 递增,所
2 以 a1 ? 1 , a3 ? 4 ??2 分。 {an } 是等比数列,设公比为 q ,则 a3 ? a1q 2 ??3 分,即 4 ? 1? q ,解得

高二数学(文科)试题 第 4 页 共 6 页

q ? ?2 ??4 分,因为 {an } 递增,所以 q ? 2
??5 分,所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? a1q n?1 ? 2 n?1 ??6 分。 ⑵ bn ? log
2

an ? 1 ? 2n ? 1 ??8 分, b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bm ?

1 ? (2m ? 1) ? m ? m2 2

??10 分,b45 ? 89 ??11 分,b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bm ? b45 即 m 2 ? 89 ,m ? 89 ??12 分,正整数 m 的最大值为 mmax ? 9 ??13 分。

⒚⑴依题意,成绩为优秀的学生为

0.07 ? 0.06 ? 0.02 ? 50 ??2 分, 0.01 ? 750 (人)??3 分 0.06 ? 5 ??5 分, 0.04 ? 0.06

⑵应抽取成绩在 [ 90 , 95) 区间的学生为

? 3 (人)??6 分

A2 、A3 , B2 , ⑶记⑵所抽取的成绩在 [ 90 , 95) 区间的学生为 A1 、 成绩在 [ 80 , 85) 区间的学生为 B1 、
从中随机抽取 2 人,不同的取法有 A1 A2 、??、 B1 B2 (不重不漏地列举)??9 分,共 10 种??10 分。 其中,两区间的学生恰好各有 1 人的取法有(不重不漏地列举)??11 分,共 6 种??12 分。因为每个 取法的可能性相等,所以所求概率 P ? 答(略)??14 分

6 3 ? ??13 分, 10 5

? c 6 ?e ? ? 2 ⒛⑴依题意, b ? 2 ??1 分,解 ? a 3 ??3 分,得 a ? 12 ??4 分,所以椭圆 C 的方程 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?


x2 y2 ? ? 1 ??5 分 12 4 ⑵依题意 B (0 , ? 2) 是椭圆 C 的下顶点??6 分,以 A B 为底边的等腰三角形 ?ABP 有两个,此时 P

为椭圆 C 的左右端点??8 分; A B 是椭圆 C 的短轴,以 A 为圆心、 A B 为半径的圆与椭圆 C 相交(不含

B 点)于 P1 、 P2 , ?ABP 1 、 ?ABP 2 都是等腰三角形??11 分;以 B 为圆心、 A B 为半径的圆与椭圆 C
相交(不含 A 点)于 P 4 都是等腰三角形??13 分;以上 6 个等腰三角形互不相 4 , ?ABP 3、P 3 、 ?ABP 同,所以共有 6 个点 P ,使 ?ABP 为等腰三角形??14 分。

21.⑴ a ? 1 时, f ( x ) ? ln x ? 最大值 M ? f (e) ? 1 ?

1 2 x 在区间 [ 1 , e ] 上单调增加??2 分,所以 f ( x) 在区间 [ 1 , e ] 上的 2

e2 1 ??3 分,最小值 m ? f (1) ? ??4 分。 2 2

高二数学(文科)试题 第 5 页 共 6 页

2 ⑵记 F ( x) ? f ( x) ? 2ax ? ln x ? (a ? ) x ? 2ax , x ? ( 1 , ? ?)

1 2

F / ( x) ?
若a ?

1 ? (2a ? 1) x ? 2a ??5 分,由 F / ( x) ? 0 得 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 x

1 1 / ,则 F ( x ) ? ? 1 ? 0 ??6 分, F ( x) ? ln x ? x 单调递减, F ( x) ? F (1) ? ?1 ? 0 ??7 2 x 分,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方??8 分

1 1 4a 1 (? 1) 时, F ( x) ? ln x ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? 0 ,则 a ? ? 0 ,当 x ? 2 2 2a ? 1 2 ??9 分,函数 f ( x) 的图象不恒在直线 y ? 2ax 下方??10 分
若a ? 若a?

1 1 / , F ( x ) ? ( x ? 1)[( 2a ? 1) ? ] ? 0 ? ? 11 分 , F ( x) 单 调 递 减 , F ( x) 的 最 大 值 为 2 x

1 1 1 F (1) ? ?( a ? ) ??12 分,由 F (1) ? ?(a ? ) ? 0 得 a ? ? ??13 分。 2 2 2 1 1 综上所述,实数 a 的取值范围为 [ ? , ] ??14 分。 2 2

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