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3[1].1不等关系与不等式(2)2012.10.23


不等关系与不等式(2)

复习引入
1. 比较两实数大小的理论依据是什么?
如果a>b ? a-b>0; 如果a<b ? a-b<0; 如果a=b ? a-b=0 2. “作差法”比较两实数的大小的一般 步骤?
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.

探究(一):不等式的基本性质
思考1:若甲的身材比乙高,则乙的身材比甲 矮,反之亦然.从数学的观点分析,这里反映 了一个不等式性质,你能用数学符号语言表 述这个不等式性质吗?

a>b ? b<a(对称性)

思考2:若甲的身材比乙高,乙的身材比丙 高,那么甲的身材比丙高,这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述?

a>b,b>c ?

a>c;

a<b,b<c ? a<c(传递性)

思考3:再有一个不争的事实:若甲的年薪比 乙高,如果年终两人发同样多的奖金或捐赠 同样多的善款,则甲的年薪仍然比乙高,这 里反映出的不等式性质如何用数学符号语言 表述?

a>b

?a+c>b+c(可加性)

思考4:还有一个不争的事实:若甲班的 男生比乙班多,甲班的女生也比乙班多, 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述?
a>b,c>d

? a+c>b+d(同向可加性)

思考5:如果a>b,c>0,那么ac与bc的 大小关系如何?如果a>b,c<0,那么 ac与bc的大小关系如何?为什么? a>b,c>0 ? ac>bc; a>b,c<0 ? ac<bc 思考6:如果a>b>0,c>d>0,那么 ac与bd的大小关系如何?为什么? (可乘性) a>b>0,c>d>0

? ac>bd

(正数同向不等式的可乘性)

思考7:如果a>b>0,n∈N*,那么an与 bn的大小关系如何? a>b>0 an>bn (n∈N*) (可乘方性) ?

思考8:如果a>b>0,n∈N*,那么 n a

与 b 的大小关系如何?
a>b>0 ?
n
n

n

a > b (n∈N*) (可开方性

探究(二):不等式的拓展性质

思考1:在等式中有移项法则,即a+b= c ?a=c-b,那么移项法则在不等式 中成立吗? a+b>c ? a>c-b

思考2:如果ai>bi(i=1,2,3,?, n),a1+a2+?+an与b1+b2+?+bn的 大小关系如何? ai>bi (i=1,2,3,?,n) ? a1+a2+?+an>b1+b2+?+bn

思考3:如果ai>bi(i=1,2,3,?, n),那么a1·2?an>b1·2?bn吗? a b ai>bi>0 (i=1,2,3,?,n)

?a1·2?an>b1·2?bn a b
思考4:如果a>b,那么an与bn的大小关 系确定吗? a>b,n为正奇数

? an>bn

思考5:如果a>b,c<d,那么a+c与b +d的大小关系确定吗?a-c与b-d的大 小关系确定吗?
a>b,c<d

? a-c>b-d

1 1 思考6: 若a>b,ab>0,那么 a 与 b

的大小关系如何?

1 1 a>b,ab>0 ? ? a b

对称性— a>b ? b<a 传递性— a>b,b>c ? a>c 可加性— a>b ? a+c>b+c 移项法则— a+c>b ? a>b-c

不 等 式 的 性 质

推 论

同向可加— a>b,c>d ? a+c>b+d c>0 ? ac>bc 可乘性— a>b, c<0 ? ac<bc

同向正可乘—a>b>0,c>d>0 ? ac>bd
推 论 可乘方— a>b>0 ? an>bn (n?R+)

可开方— a>b>0 ?

n

a ? b (n?N)
n

例1:应用不等式的性质,证明下列不等式:
1 1 (1)已知a>b,ab>0,求证: ? ; a b 1 (1)因为ab>0,所以 ?0 证明: ab 1 1 又因为a>b,所以 a ? ? b ? ab ab

1 1 即 ? b a

1 1 因此 ? a b

(2)已知a>b, c<d,求证:a-c>b-d;
证明:(2)因为a>b,c<d,
所以a>b,-c>-d, 根据性质3的推论2,得 a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.

a b (3)已知a>b>0,0<c<d,求证: ? c d
证明:(3)因为0<c<d,根据(1)的结
1 1 论得 ? ? 0 c d
1 1 又因为a>b>0,所以 a ? ? b ? c d a b 即 c?d

例2. 已知a>b,不等式:(1)a2>b2;
1 1 (2) ? a b
1 1 ? ;(3) a ?b a

成立的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

例3.设A=1+2x4,B=2x3+x2,x∈R,则A, B的大小关系是
A≥B



例4.(1)如果30<x<36,2<y<6,求x-
x 2y及 的取值范围。 y

18<x-2y<32,

x 5 ? ? 18 y

(2)若-3<a<b<1,-2<c<-1, 求(a-b)c2的取值范围。

因为-4<a-b<0,1<c2<4,
所以-16<(a-b)c2<0

? ?,求 ? ? ? ? ? ? 例5.若 ? ≤ ? ? ? ≤ , 2 2 2 2
的取值范围。

?

?
2

?

? ??
2

?

?
2

,?

?
2



? ??
2

?0

c?a b?c ? 例 7.已知 a ? b ? 0 , c ? 0 ,求证: a b
解:法一:作差比较法

作差 c ? a b ? c cb ? ab ? (ab ? ac) c(b ? a ) ? ? ? ∵ 变形 a b ab ab
∵ a ? b ? 0,? a ? b ? 0, ab ? 0 ∵ c ? 0 c (b ? a ) ?0 ∴ ab

定符号

c?a b?c ? ∴ a b

确定大小

c?a b?c ? 例 7.已知 a ? b ? 0 , c ? 0 ,求证: a b
解:法二:巧用不等式的性质(综合法)

∵ a ? b ? 0 , c ? 0 ,∴ ab ? 0
1 1 1 1 a? ? b? ∴ 即 ? ab ab b a
c c ∴ ? (两边同乘以一个负数不等号方向要改变) b a c c

从已知出发
运用不等式 的性质变形
继续变形

c c ∴ ?1 ? ?1 ∴ ? a b a b c?a b?c ? ∴ a b

课堂练习: 用不等号 “<”或 “>”填空: > ⑴ a ? b, c ? d ? a ? c _______ b ? d ; ⑵ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ____ bd ; <

> ⑶ a ? b ? 0 ? a ______ b ; 1 < 1 ⑷ a ? b ? 0 ? 2 ____ 2 . a b
3 3

5、若-6<a<8,2<b<3,分别求 2a+b,a-b的范围
注意:同向不等式不能两边相减

例6 已知:函数 f ( x) ? ax ? c,
2

?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5
求:

? f (1) ? a ? c 解:因为f(x)=ax2-c, 所以 ? ? f (2) ? 4a ? c
1 ? ? a ? 3 [ f (2) ? f (1)] ? 解之得 ? ?c ?? 1 f (2) ? 4 f (1) ? 3 3 ?

f ( 3)

的取值范围.

所以f(3)=9a-c=

8 5 f (2) ? f (1) 3 3

因为 ?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5
8 8 40 所以 ? ≤ f (2) ≤ 3 3 3
5 5 20 ≤ ? f (1) ≤ 3 3 3

两式相加得-1≤f(3) ≤20.

练习.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a- b≤5,求9a-b的取值范围。
解:设9a-b=m(a-b)+n(4a-b) =(m+4n)a-(m+n)b, 令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得, 5 8 m ? ? ,n ? 3 3 8 5 所以9a-b= ? (a-b)+ (4a-b) 3 3

由-4≤a-b≤-1,得
由-1≤4a-b≤5,得

5 5 20 ≤ ? ( a ? b) ≤ 3 3 3 8 8 40 ? ≤ (4a ? b) ≤ 3 3 3

以上两式相加得-1≤9a-b≤20.

例 8.非负实数 x1、x2,且 x1+x2≤1, 求证: 1 ? x1 ? 1 ? x2 ≥ 1 ? x1 ? x2 ? 1

证明:? x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 ? x2 ≤1, ?1 ? x1 ≥ 0,1 ? x2 ≥ 0,1 ? x1 ? x2 ≥ 0 要证:
只要证:
1 ? x1 ? 1 ? x2 ≥ 1 ? x1 ? x2 ? 1,

( 1 ? x1 ? 1 ? x2 )2 ≥ ( 1 ? x1 ? x2 ? 1)2

即证: 2 ? x1 ? x2 ? 2 1 ? x1 ? x2 ? x1x2 ≥ 2 ? x1 ? x2 ? 2 1 ? x1 ? x2
只要证:
x1 x2 ≥ 0 ? x1 x2 ≥ 0 成立,故原不等式也成立。

课外练习:
1 1 1. 已知 a, b, x, y ? R 且 ? , x ? y , a b x y ? 求证: x?a y ?b
?

性质1、如果a>b,那么 b<a ;如果a<b,那么b>a .
性质2、如果a>b且b>c,那么a>c.

课 堂 小 结

推论:如果a<b且b<c,那么a<c. 性质3、如果a>b,那么a+c>b+c; 推论、如果a+ b >c,那么a > c - b ; 性质4、如果a>b且c>0,那么ac>bc;

如果a>b且c<0,那么ac<bc; 性质5、a>b,且c>d,那么a+c>b+d
性质6、a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd 性质7、a>b>0, 那么an>bn 性质8、a>b>0, 那么
n

a?nb

赢在课堂66页 4-1 67页 4-2 68页 8、9

常用的基本不等式的性质 性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a, 那么a>b. (对称性) 性质1表明,把不等式的左边和右边交 换位置,所得不等式与原不等式异向,我 们把这种性质称为不等式的对称性。

性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.
? b ? c ? b ? c ? 0?

(传递性)

证明:根据两个正数之和仍为正数,得 a ? b ? a ? b ? 0? ? (a-b)+(b-c)>0 ? a-c>0 ? a>c.

这个性质也可以表示为c<b,b<a,则c<a. 这个性质是不等式的传递性。

性质3:如果a>b,则a+c>b+c.

(可加性)

证明:因为a>b,所以a-b>0, 因此(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b>0,

即 a+c>b+c.
性质3表明,不等式的两边都加上同一

个实数,所得的不等式与原不等式同向.

由性质3可以得出 a+b>c ? a+b+(-b)>c+(-b) ? a>c-b. 推论1:不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后,从不等式的 一边移到另一边。 (移项法则)

同向不等式可相加性

性质5: 推论2:如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
证明:因为a>b,所以a+c>b+c,

又因为c>d,所以b+c>b+d,
根据不等式的传递性得 a+c>b+d. 几个同向不等式的两边分别相加,所 得的不等式与原不等式同向。

性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;如果 a>b,c<0,则ac<bc.

(可乘性)

性质6: 推论1:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.

证明:因为a>b,c>0,所以ac>bc,
又因为c>d,b>0,所以bc>bd,

根据不等式的传递性得 ac>bd。
几个两边都是正数的同向不等式的两边 分别相乘,所得的不等式与原不等式同向。

推论2:如果a>b>0,则an>bn,(n∈N+, 性质7: n>1). (可乘方性) a?b?0
证明:因为
? ? a ? b ? 0? ? n 个, ?? ? a ? b ? 0? ?

根据性质4的推论1,得an>bn.

n 性质8: 推论3:如果a>b>0,则, a ? n b (可开方性) (n∈N+,n>1).

证明:用反证法,假定
n

n

a ≤ n b ,即

a?nb 或

n

a?nb ,

根据性质4的推论2和根式性质,得 a<b或a=b, 这都与a>b矛盾,因此
n

a? b
n


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