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空间向量复习资料


空间向量复习资料 知识点归纳 1 空间直角坐标系;空间直角坐标系中的坐标:
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在 空 间 直 角 坐 标 系 O ? x y z中 , 对 空 间 任 一 点 A , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 ( x, y, z ) , 使

??? ? ? ? OA? x i y? z, 有 序 实 数 组 ( x , y , z ) 叫 作 向 量 A 在 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz 中 的 坐 标 , 记 作 ? j k
A( x, y, z) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标.
2.空间向量的直角坐标运算律: (1)若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,则 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

?

?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ,
? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 .
(2)若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
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??? ?

4 模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 .
2 2 2
2 2 2
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?

?

?

? ?

?

? ?

? ? a ?b ? ? ? ? 5.夹角公式: cos a ? b ? ? | a |?|b |

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a12 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32



6.两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |?

??? ?

??? 2 ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ,

7.异面直线所成的角:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a? // a, b? // b , a?, b? 所成的 角的大小与点 O 的选择无关,把 a?, b? 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的角(或夹角) .为了 简便,点 O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围: (0,
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?
2

]

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a b
O

求异面直线所成的角的方法: (1)几何法; (2)向量法 8.直线和平面所成角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面 所成的角 一直线垂直于平面,所成的角是直角 一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0?角
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b′

P
a A ?1 ? ?2 B c

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? 直线和平面所成角范围: ?0, ? 2

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?
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O b

(2)定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 公式:平面?的斜线 a 与?内一直线 b 相交成θ 角,且 a 与?相交成?1 角,a 在?上的射影 c 与 b 相交 成?2 角,则有 cos?1 cos? 2 ? cos?
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9 二面角:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两
1

个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面 若棱为 l ,
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两个面分别为 ? , ? 的二面角记为 ? ? l ? ? ; 二面角的平面角: (1) 过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA, OB , ?AOB 叫做二面角 则

? ? l ? ? 的平面角

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(2)一个平面垂直于二面角 ? ? l ? ? 的棱 l ,且与两半平面交线分别为 OA, OB, O 为垂足,则

?AOB 也是 ? ? l ? ? 的平面角

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说明:①二面角的平面角范围是 [0? ,180? ] ; ②二面角的平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面角的两个平面互相垂直 二面角的求法:⑴几何法;⑵向量法
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求二面角的射影公式: cos ? ?

其中各个符号的含义是: S 是二面角的一个面内图形 F 的面积, S ? 是图形 F 在二面角的另一个面内 的射影, ? 是二面角的大小 10.三种空间角的向量法计算公式:
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S? , S

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⑴异面直线 a , b 所成的角 ? : cos ? ? cos ? a, b ? ; ⑵直线 a 与平面 ? (法向量 n )所成的角 ? : sin ? ? cos ? a, n ? ; ⑶锐二面角 ? : cos? ? cos ? m, n ? ,其中 m, n 为两个面的法向量 11.用向量法求距离的公式:

? ?

?

? ?

? ?

? ?

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??? ? ? AB ? n ? ? ⑴异面直线 a , b 之间的距离: d ? ? ,其中 n ? a, n ? b, A ? a, B ? b |n| ??? ? ? AB ? n ? ⑵直线 a 与平面 ? 之间的距离: d ? ? ,其中 A ? a, B ? ? n 是平面 ? 的法向量 |n| ??? ? ? AB ? n ? ⑶两平行平面 ? , ? 之间的距离: d ? ? ,其中 A ?? , B ? ? n 是平面 ? 的法向量 |n| ??? ? ? AB ? n ? ⑷点 A 到平面 ? 的距离: d ? ? ,其中 B ? ? , n 是平面 ? 的法向量 |n|
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z
D1 B1 P D C B C1

题型讲解

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例 1 已知 AB ? (2,2,1), AC ? (4,5,3). 求平面 ABC 的法向量

?

?

A1
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例 2 已知 A(3,2,1), B(1,0,4). 求:线段 AB 的中点坐标和长度; 例 3 棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,在棱 DD1 上是否存在点 P 使
2

y

x

A

B1D⊥面 PAC? 例 4 三棱锥 S ? ABC 中 , ?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90 , AC ? 2, BC ? 13, SB ? 29
0
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z
S
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(1)求证:SC⊥BC; (2)求 SC 与 AB 所成角的余弦值 例 5 如图,直棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°, 棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点
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A

B C

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x
z
C1 A1

y
B1

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(1)求 BN 的长; (2)求 cos〈 BA1 , CB1 〉的值; (3)求证:A1B⊥C1M 例 6 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点 (1)证明 AD⊥D1F; (2)求 AE 与 D1F 所成的角; (3)证明面 AED⊥面 A1D1F
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??? ?

????

????

M

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N C B

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y

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x

A

z
D1 A1 D B1 E F B C C1

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例 7 棱长为 2 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中 , E, F 分别是 CC1 和 D1 A1 的中点,

??? ??? ? ? (1)求 EF 长度; (2)求< AB, EF >;3)求点 A 到 EF 的距离

y

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1 例 8 面 ABCD ⊥面 ABEF, ABCD 是正方形 , ABEF 是矩形,且 AF ? AD ? a, G 是 2
EF 的中点,
(1)求证平面 AGC ? 平面 BGC ; (2)求 GB 与平面 AGC 所成角正弦值; (3)求二面角 B ? AC ? G 的大小 练习
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x

A

z
D

C

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? ? 1 若 a ? (2 x,1,3), b ? (1,?2 y,9), 如果 a 与 b 为共线向量,则
? ?
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A F

B G E

y

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A x ? 1, y ? 1
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1 1 1 3 1 3 B x? ,y ?? C x? ,y ?? D x?? ,y ? 2 2 6 2 6 2
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x

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2 在空间直角坐标系中,已知点 P( x, y, z ), 下列叙述中正确的个数是
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①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P ( x,? y, z) ;②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2 ( x,? y,? z ) ;③点 1

P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3 ( x,? y, z) ;④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4 (? x,? y,? z )
A3
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B2
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C1
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D0
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3 已知向量 a ? (1,1,0), b ? (?1,0,2), 且 k a + b 与 2 a - b 互相垂直,则 k 值是
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?

?

?

?

?

?

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A1
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B

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1 5

C

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3 5

D

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7 5

4 设 OABC 是四面体, 1 是△ABC 的重心, 是 OG1 上一点, OG=3GG1, OG =x OA +y OB +z OC , G G 且 若
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????

??? ?

??? ?

??? ?

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则 ( x, y, z ) 为 A( , , )
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1 1 1 4 4 4

B ( , , )
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3 3 3 4 4 4

C ( , , )
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1 1 1 3 3 3

D( , , )
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2 2 2 3 3 3

5 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所 成的角为
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3

A arccos
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3 2

B arccos
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10 10

C arccos
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6 已知空间三点 A(1,1,1), B(?1,0,4), C (2,?2,3), 则 AB 与 CA 的夹角 ? ? __ _
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??? ?

3 5

D arccos
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??? ?

2 5
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7 已知点 A(1,2,1), B(?1,3,4), D(1,1,1), 若 AP =2 PB ,则| PD |的值是_____
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??? ?

??? ?

??? ?

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8 设点 C (2a ? 1, a ? 1,2) 在点 P(2,0,0), A(1,?3,2), B(8,?1,4) 确定的平面上,求 a 的值
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9 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,P、Q 分别是 BC、CD 上的动点,且|PQ|= 2 ,建立坐标
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系,把 D 点视作原点 O,分别沿 DA 、 DC 、 DD1 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向, (1)确定 P、Q 的位置,使得 B1Q⊥D1P; (2)当 B1Q⊥D1P 时,求二面角 C1—PQ—A 的大小
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??? ?

????

???? ?

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10 已知三角形的顶点是 A(1,?1,1), B(2,1,?1), C (?1,?1,?2) 试求这个三角形的面积
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11 如图,ABCD 是边长为 a 的菱形,且∠BAD=60°,△PAD 为正三角形,且面 PAD⊥面 ABCD
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(1)求 cos〈 AB , PD 〉的值; (2)若 E 为 AB 的中点,F 为 PD 的中点,求| EF |的值; (3)求二面角 P—BC—D 的大小
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z
P F A D C

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12.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ?BCA ? 900 , 点 D1 , F1 分别是 A1 B1 , A1C1 的中点,

BC ? CA ? CC1 . 则 BD1 与 AF 所成角的余弦值是( 1
A. 13.
30 10


15 10

E

o
B

y

x
D.

B.

1 2

C.

30 15

在正四面体 ABCD 中 , E 为 AD 的中点,求直线 CE 与平面 BCD 成的角.

14. 在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中 , AB ? 2, BC ? BB1 ? 1, E 为 D1C1 的中点,求二面角 E ? BD ? C 的正切值. 15. 正方体 ABCD ? EFGH 的棱长为 a ,点 P 在 AC 上 , Q 在 BG 上,且 AP ? BQ ? a.
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⑴求直线 PQ 与平面 ABCD 所成的角的正切值;⑵求直线 PQ 与 AD 所成的角 16. 如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S ? ABCD 中 , ?ABC ? 90 , SA ? 平面 ABCD,
0

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z
S B A

y
C

1 SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值 2

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D

x

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