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课件-6(椭圆的简单几何性质)


复习回顾:
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a (大于|F1F2 |)的动点M的轨迹叫做椭圆。

| MF1 | ? | MF2 |? 2a(2a ?| F1 F2 |) 2.椭圆的标准方程: 2 2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 当焦点在X轴上时 2 a b 2 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 当焦点在Y轴上时 2 a b 3.椭圆中a,b,c的关系: a2=b2+c2 , (a ? b ? 0)

一、椭圆
1.范围:
x ? 1, 2 a
2

简单的几何性质
y ? 1得: 2 b
2

-a≤x≤a,

-b≤y≤b 知

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2 A1

b F1

a F2

o c
B1

A2

2.椭圆的对称性
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

关于y轴对称
P2(-x,y) P(x,y)

Y

O

X

关于原点对称
P3(-x,-y) P1(x,-y)

关于x轴对称

x2 y2 从方程上看: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

(1)把x换成-x方程不变,图象关于 y 轴对称;
(2)把y换成-y方程不变,图象关于 x 轴对称; Y (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变, 图象关于原点 成中心对称。
P1(-x,y) P(x,y)

坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心。

O
P2(-x,-y)

X

中心:椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

3.椭圆的顶点:

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

令 x=0,得 y=?说明椭圆与 y轴的交点为( 0,

±b ), 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点为( ±a, 0 )。
*顶点:椭圆与它的对称轴的四个
交点,叫做椭圆的顶点。

y
B2 (0,b)

*长轴、短轴:
线段A1A2、B1B2分别 叫做椭圆的长轴和短轴。 它们的长分别等于2 a和2 b 。

(-a,0) F1

A1

b

a F2

o c
B1

A2(a,0)

(0,-b)

a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 (1 ) 25 16
4 B2 3 2 1 A2 A1 0 123 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1 A2 A1 0 123 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 B1 -4

y

B1

4.椭圆的离心率

c e? 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比: a 叫做椭圆的离心率。
[1]离心率的取值范围: 因为 a > c > 0,所以0 < e < 1 [2]离心率对椭圆形状的影响:
b就越小,此时椭圆就越扁

y
o

x

1)e 越接近 1,c 就越接近 a,请问:此时椭圆的变化情况? 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,请问:此时椭圆又是如何变化的? b就越大,此时椭圆就越圆

即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论:离心率越大,椭圆越扁; 离心率越小,椭圆越接近圆。

思考:当e=0时,曲线是什么?
当e=1时曲线又是什么?
[3]e与a,b的关系:
c e? ? a a 2 ? b2 b2 ? 1? 2 2 a a

内容升华

两个范围,三对称 四个顶点,离心率





与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)
x2 y 2 + 2 =1 2 a b

标准方程

y x
?0,
? b?

y 2 x2 + 2=1 2 a b

y x

几何图形

o

o

顶点坐标 对 轴 焦点坐标 称

? ?a, 0?

? 0,

? a?

? ?b, 0?

x 轴,y 轴,长轴长 2a, 短轴长 2b

? ? c, 0 ?

c ? a 2 ? b2

? 0,

? c?

c ? a 2 ? b2

离心率

e?

c a

? 0 ? e ? 1?

例4

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点坐标

解题步骤: 1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b:
x y ? ?1 25 16
2 2

2、确定焦点的位置和长轴的位置.

例4

x y + 2 = 1 解:把已知方程化成标准方程 2 5 4 这里, a ? 5, b ? 4, c ? 25 ?16 ? 3
c 3 离心率 e ? ? ? 0.6 a 5
焦点坐标分别是

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点坐标 2 2

因此,椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a ? 10,2b ? 8

F 1 (?3,0), F 2 (3,0)

四个顶点坐标是

A1 (?5,0), A2 (5,0), B1 (0,?4), B2 (0,4)

练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 (1)解:利用椭圆的几何性质,以坐标轴为对 称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,于 是焦点在x轴上,且点P、Q分别是椭圆长轴与短 轴的一个端点,故a=3,b=2,故椭圆的标准方 程为 2 2 x y ? ?1 9 4 2 2 2 2 x y y x ? ?1 ? ?1或 ⑵ 100 64 100 64

y
B 例 5 如图2.1 ? 11, 一种 反射镜面 E 电影放映灯泡的反射镜 O F A 是旋转椭圆面(椭圆绕 F x D 其对称轴旋转一周形成 透明窗 C 的曲面)的一部分.过对 称轴的截口BAC 是椭圆的一部分 , 灯丝位于椭圆 一个焦点 F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆 一个焦点 F1 发出的光线 , 经过旋转椭圆面反射后 集中到另一个焦点F2 . 已知 BC ? F1 F2 , | F1 B |? 2.8 cm, | F1 F2 |? 4.5cm, , 求截口BAC 所在的椭圆方程 .
1 2

y

操作打开的几何画板 ,演 示椭圆镜面工作原理 .

B E

反射镜面
O

解 建立图 2.1 ? 11所示 的直角坐标系 , 设所求椭 x y 圆方程为 2 ? 2 ? 1. a b 在Rt ?BF1 F2 中,
2 2

A

F1
D C

F2

x

2

2

透明窗

图2.1 ? 11
2 2

| F2 B |? | F1 B | ? | F1 F2 | ? 2.8 ? 4.5 .

由椭圆的性质知 , | F1 B | ? | F2 B |? 2a, 所以
1 1 a ? ( | F1 B | ? | F2 B | ) ? 2.8 ? 2.8 2 ? 4.5 2 ? 4.1; 2 2

?

?

y
B E

反射镜面
O

A

F1
D C

F2

x

透明窗

图2.1 ? 11

b ? a 2 ? c 2 ? 4.12 ? 2.252 ? 3.4 .
x2 y2 所以 , 所求的椭圆方程为 ? ? 1. 2 2 4.1 3.4

例 6.点 M ? x , y ? 与定点F ? 4, 0 ? 的距离和它到直线

y
M

25 4 l : x ? 的距离的比是常数 , 求点M的轨迹 . 4 5 O F 25 解.设d 是点M 到直线l : x ? 的距离, 根据题意, 4 | MF | 4 ? 图2.1 ? 12 ? 点M的轨迹就是集合 P ? ? M | ? ?.

d

H

x
l

?

d

5?

直接法:

25 ?x 建→设→限→代→化 4 将上式两边平方, 并化简, 得 9 x 2 ? 25 y 2 ? 225, x2 y2 即 ? ? 1. 25 9

由此得

?x ? 4?

2

? y2

4 ? . 5

所以, 点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、的椭圆 6

M(x,y)与定点F(c,0)的距离 和它到定直线 拓展 点 2
a c l : x ? 的距离比是常数 ( a ? c ? 0). 求M点的轨迹。 c a

解:如图,设d是点M到直线L的距离,根据题意,所求轨
迹的集合是: MF c? P ? {M | ? ? d a? 由此得 :

? x ? c? ? y2
2

2 2 2 令 a ? c ? b , 可化得 : (a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ).
2 2 2 2 2 2 2 2

a2 ?x c

c ? , 平方,化简得 : a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

这是一个椭圆的标准方程,所以点M的 轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。

思考上面问题,并回答下列问题: (1)给椭圆下一个新的定义

(2)若点M ( x, y)与定点F ?(?c,的距离和它到定直线 0)
a2 c l ? : x ? ? 的距离的比是常数 (a ? c ? 0),此时点M 的 c a 轨迹还是同一个椭圆吗 ?
2 a ? c ),定直线改为 l ? : y ? ? 时,对应 (3)当定点改为 F ?( 0, c

的轨迹方程又是怎样呢 ?

二、椭圆的第二定义:
平 面 内 与一 个 定 点 的 距 离 和它 到一 条 c 定直线的距离 的 比 是 常 数e ? (0 ? e ? 1) a 的点的轨迹叫椭圆。
注:我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义, 定点是椭圆的焦点,定直线 叫做椭圆的准线。 而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。

椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1
平面内与

图形

定义 2
平面内与
一个定点的距

两个定点 F1、 F2的距离的和
等于常数(大
焦点: F1 (?c,0)、F2 (c,0) a2 准线: x?? c

离和它到一条 定直线的距离 的比是常数
e? c (0 ? e ? 1) a

于 F1F2 )的点
的轨迹。

的点的 轨迹。
焦点: F1 (0,?c )、F2 (0, c ) a2 准线: y?? c

三、椭圆的焦半径公式
x2 y2 已 知 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)上 一 点 P的 横 坐 标 是 x0 , a b F1、F2分别是椭圆的左、右焦 点,且 e为离心率,则 Y PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 。
P (x0,y0)

说明:

F1

O

F2

X

x2 y2 ? ?1 (a>b>0)左焦点为F1,右焦点为F2,P0(x0,y0)为椭圆上一点, a2 b2

则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径. 则|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.
y2 x2 ? 2 ?( 1 a>b>0)下焦点为F ,上焦点为F ,P (x ,y )为椭圆上一点, 2 1 2 0 0 0 a b

(第二定义 )
? PF1 c ? 2 a a x0 ? c

c a2 ? PF1 ? ( x0 ? ) ? a ? ex0 a c

同 理 :?

PF2 a2 ? x0 c

?

c a

c a2 ? PF2 ? ( ? x0 ) ? a ? ex0 a c

x2 y2 ? 1 的焦点为F1 、F2 ,点 P 为其上的 思考: 椭圆 ? 9 4 动点, 当 ?F1 PF2 为钝角时, 则点 P 的横坐标的取值范围 是____________.

5 5 设 P(x,y), 则 | PF1 |? a ? ex ? 3 ? x, | PF2 |? a ? ex ? 3 ? x 解: 3 3 5 2 x ?1 | PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos ?F1 PF2 ? ? 9 5 2 | PF1 | ? | PF2 | 2(9 ? x 2 ) 9 5 2 x ?1 ??F1PF2为钝角??1 ? cos ?F1 PF2 ? 0,即 ? 1 ? 9 ?0 2 5x 2(9 ? ) 9 3 5 3 5 解之得 ? ? x ? . 5 5

本堂检测

练习:P42 T2、3、5
1.椭圆
A

y2 x2 ) ? ? 1 的准线方程为(D 9 25
B
16 y?? 5

25 x?? 4

C

16 x?? 5

D

y??

25 4

2.设点P为椭圆

y2 x2 ? ?1 100 36

上一点,P到左准线的距离为10,则

P到右准线的距离为(D )
A.6; B .8 ; C.10 ; D.15

本堂总结
1. 椭圆的几何性质

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b

-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c 的关系

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)

长半轴长为a,短半轴长为b. (a>b)

c e ? a

(a ? b ? 0) a2=b2+c2 ,

2.通过探究,我们获得了椭圆的第二定义, 学习了准线,焦半径等新概念。 3.通过练习我们了解了椭圆第二定义的应 用

作业

? P49A组 T3、4、5 ? 选作:B组 3


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