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山东省菏泽市13校联考2013-2014高二数学上学期期末考试(B卷)


高二数学(理)试题(B)
第Ⅰ卷 一、选择题(共 12 道小题,每题 5 分,共 60 分) 1.若命题 p : ?x ? R, 2 x2 ? 1 ? 0 ,则该命题的否定是( A. ?x ? R, 2 x 2 ? 1 ? 0 C. ?x ? R, 2 x 2 ? 1 ? 0 )

B. ?x ? R, 2 x 2 ? 1 ? 0 D. ?x ? R, 2 x 2 ? 1 ? 0

2.对于任意实数 a,b,c,d,下列五个命题: ① 若 a ? b, c ? 0 ,则 ac ? bc ;② 若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 ;③ 若 ac 2 ? bc 2 ,则 a ? b ; ④若 a ? b, 则
1 1 ? ; a b

⑤若 a ? b ? 0, c ? d ,则 ac ? bd . ) B.2 C.3 D.4 )

其中真命题的个数是( A.1

x2 y2 4 3.“双曲线 C 的渐近线方程为 y=± x”是“双曲线 C 的方程为 — =1”的( 3 9 16

A.充要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.不充分不必要条件

x+y≥3, ? ? 4.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤3.
A.6 5.函数 y=x+ A.5 B.7 1 +5(x>1)的最小值为( x-1 B.6

则 z=2x+3y 的最小值为(



C.8 ) C.7

D.23

D.8 )

6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,S5 等于( A.-36 B.-30 C.30

D.20 )

7.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,c?cosA=b,则△ABC( A.一定是锐角三角形 C.一定是直角三角形 B.一定是钝角三角形 D.一定是斜三角形 ) D. ?
1 9

8.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( A.
1 3

B. ?

1 3

C.

1 9

-1-

9.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知∠A=60°, b ? 4 3 ,为使此三 角形只有一个,则 a 满足的条件是( A. 0 ? a ? 4 3 C. a ? 4 3 或 a ? 6 10.若 m 是 5 和 A.
3 2

) B. a ? 6 D. 0 ? a ? 4 3 或 a ? 6 ) D.
3 5 2 或

x2 16 的等比中项,则圆锥曲线 ? y 2 ? 1 的离心率是( m 5

B. 5

C.

3 5 或 2 2

11.从圆 O: x2 ? y 2 ? 4 上任意一点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 P′,点 M 是线段 PP′的中点,则点

M 的轨迹方程是(
A.
9x2 y 2 ? ?1 16 4

) B.
x2 ? y2 ? 1 4

C. x 2 ?

y2 ?1 4

D.

9 y 2 x2 ? ?1 16 4
? an ? ? ?n?

12.下面是关于公差 d ? 0 的等差数列{an}的两个命题:p1:数列{nan}是递增数列;p2:数列 ? 是递增数列. 其中的真命题为( A. p1 ? p2 ) B. p1 ? p2 第Ⅱ卷 二、填空题(共 4 道小题,每题 4 分,共 16 分) C. ?p1 ? p2 D. p1 ? ?p2

13. 已知 f ? x ? 为一元二次函数, f ? x ? ? 0 的解集为 ?x x ? ?1或x ? 2? ,则 f ? 2 x ? ? 0 的解集 为 . .

14.△ABC 中,AB= 3 ,AC=1,∠C=60°,则△ABC 的面积等于
x2 y 2 . ? ? 1的焦点到其渐近线的距离等于 4 12 1 1 1 ? ? ? ? 16.已知数列 ?bn ? 的通项公式是 bn ? n ,则 b1b3 b3b5 b2 n ?1b2 n ?1

15.双曲线 C :

.

三、解答题(本题共 6 小题,共 76 分,写出必要的文字说明,推理、演算步骤) 17. (本题满分 12 分) (Ⅰ)双曲线与椭圆
x2 y 2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程; 27 36

(Ⅱ)求焦点在 x ? 2 y ? 4 ? 0 上的抛物线的标准方程.

-2-

18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p:关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 ? ;命题 q:双曲线
x2 y 2 ? ?1 a2 4

(a>0)的离心率不小于 3 .若命题“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 如图,为了计算菏泽新区龙湖岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上 选取 A 和 D 两个测量点, 现测得 AD⊥CD, AD=5km, AB=7km, ∠BDA=60°, ∠BCD=135°, 求两景点 B 与 C 的距离. (假设 A,B,C,D 在同一平面内)

20. (本小题满分 12 分) 甲、 乙两地相距 200 千米,小型卡车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 150 千米/小时, 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速 度 v (单位:千米/小时)的平方成正比,且比例系数为 使全程运输成本最小,卡车应以多大速度行驶?
1 ;固定部分为 40 元,为了 250

21. (本小题满分 12 分)

-3-

? ? 1 ?n ? 设数列 ?an ? 为等差数列, 且 a3 ? 5, a5 ? 9 ; 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? 2 ?1 ? ? ? ? . ? ?2? ? ? ?

(Ⅰ)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ?
an ( n ? N ? ) ,Tn 为数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. bn

22. (本小题满分 14 分) 设椭圆
2 x2 y 2 ,椭圆与 x 轴左交点与点 F 的距 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,离心率为 2 a 2 b2

离为 2 ? 1 . (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) 过点 P (0, 2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B, 当△OAB 面积为
2 时, 求 AB . 2

高二数学(理)试题(B)参考答案 一、选择题: 1.C 2.A 3.C 4.B 二、填空题
1 13. {x ? ? x ? 1} 2 三、解答题

5.D
3 2

6.A 7.C 8.C 9.B 10.D
n 2n ? 1

11.B

12.C

14.

15. 2 3

16.

17.解: (Ⅰ)椭圆 设双曲线方程为

y 2 x2 ? ? 1 的焦点为 (0, ?3), c ? 3 ,??????????????2 分 36 27
16 15 y2 x2 ? 1 ,得 a 2 ? 4, 或36 , ? ? 1 ,因为过点 ( 15, 4) ,得 2 ? 2 a 9 ? a2 a 9 ? a2

y 2 x2 ? ? 1 .???????????????6 分 4 5 (Ⅱ)由题意知抛物线的焦点在坐标上,又焦点在 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,

而 a 2 ? 9 ,? a 2 ? 4 ,双曲线方程为

,求得抛物线为 x2 ? ?8 y ?????? 8 分 ? 令 x ? 0, 得y ? ?2, 此时 焦点为(0,-2) 令 y=0,得 x=4,焦点为(4,0)求得抛物线为 y 2 ? 16 x

? 所求抛物线为 x2 ? ?8 y 和 y 2 ? 16 x .???????????????????12 分
18.解:命题 p:关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为空集 ? , 所以 (a ? 1)2 ? 4 ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 3 ? 0, 所以 ?1 ? a ? 3, ????????? 2 分
-4-

则 p 为假命题时: a ? ?1或 a ? 3 ; ??????????????????? 4 分
a2 ? 4 x2 y 2 ? 3 ,解得; 0 ? a ? 2 , ? ? 1 的离心率不小于 3 ,所以 2 a 4 a 则 q 为假命题时: a ? 2 ; ???????????????????????6 分 命题 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,所以 p、q 中一真一假, ???????? 8 分

由命题 q:

若 p 真 q 假,则 2 ? a ? 3 ; 若 p 假 q 真,则 a 不存在, 所以实数 a 的取值范围为 2 ? a ? 3 .???????????????????? 12 分 19.解:在△ABD 中,设 BD= x, 则 BA2 ? BD 2 ? AD 2 ? 2 BD ? AD ? cos ?BDA ,??????????????????2 分 即 72 ? x2 ? 52 ? 10 x cos 60 , ????????????????????????4 分 整理得: x 2 ? 5 x ? 24 ? 0 ,解之:x1=8 , x2 ? ?3 (舍去) , ??????????6 分 由正弦定理,得: ∴ BC ?
BC BD , ? sin ?CDB sin ?BCD

????????????????8 分

8 sin 300 = 4 2 (km). ????????????????????11 分 sin1350

?????????????????12 分 200 20.解:设全程运输成本为 y 元,卡车从甲地到乙地所用时间为 小时,每小时的运输成本 v 为:
1 2 v ? 40 元,???????????????????????????2 分 250
200 ? 1 2 8000 4 8000 ? 4 v ? 40 ? ? v ? ? 2 v? ? 2 6400 ? 160 ,??????10 分 ? v ? 250 v 5 v ? 5

答:两景点 B 与 C 的距离约为 4 2 km.

所以 y ?

4 8000 当且仅当 v ? ,即 v ? 100 时等号成立. 5 v

所以卡车以 100 千米/小时的速度行驶时,全程运输成本最小. ????????12 分
1 21.解: (Ⅰ)数列{an}为等差数列,则公差 d ? (a5 ? a3 ) ? 2 2 因为 a3=5,所以 a1=1. 故 an=2n-1,???????????????????3 分 当 n=1 时, S1 ? b1 ? 1 , 1 1 ? 1 ? 1 ? ? 当 n≥2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? 2 ?1 ? ( )n ? ? 2 ?1 ? ( )n?1 ? ? ( )n?1 ,? bn ? ( )n ?1 . 2 2 ? 2 ? 2 ? ?

???6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ?

an ? (2n ? 1) bn

2 n ?1 ,

? Tn ? 1 20 ? 3 21 ? 5 22 ? ??? ? (2n ? 3) 2n ? 2 ? (2n ?1) n ?1 2Tn =1 2 ? 3 21 ? ??? ? (2n ? 3) 2n ?1 ? (2n ? 1) 2n ???????????????9 分

? ?Tn ? 1 ? 2 21 ? 2 22 ? ??? ? 2 2n ?1 ? (2n ?1) 2n ? 1| 2

2(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ?1)2n 1? 2

? 1 ? 4 ? (3n ? 2n) 2n ????????????????????????11 分 ? Tn ? 3 ? (2n ? 3) 2n .??????????????????????????12 分

-5-

22. (Ⅰ)由题意可得 所以椭圆方程为

c 2 ? , a ? c ? 2 ? 1 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 b 2 ? 1, a 2 ? 2 , a 2

x2 ? y2 ? 1 2

???????????????????????6 分

(Ⅱ)根据题意可知,直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) ,
? y ? kx ? 2 ? 消去 y 得关于 x 的方程 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 ,??8 分 B ? x2 , y2 ? 由方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?2

由直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,则有 ? ? 0 ,即 64k 2 ? 24(1 ? 2k 2 ) ? 16k 2 ? 24 ? 0 ,
8k ? x1 ? x2 ? ? ? 3 ? 1 ? 2k 2 , 得: k 2 ? ,由根与系数的关系得 ? 2 ?x ? x ? 6 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
16k 2 ? 24 1 ? k 2 ,????????????????10 分 1 ? 2k 2 2 又因为原点 O 到直线 l 的距离 d ? , 1? k 2

故 AB ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?

故△OAB 的面积 S ?

1 16k 2 ? 24 2 2 ? 2k 2 ? 3 AB ? d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 , ?????????12 分



2 2 ? 2k 2 ? 3 2 3 14 ? 得k ? ? ,此时 AB ? . 2 2 , 1 ? 2k 2 2

????????????14 分

-6-


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