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高考数学立体几何大题训练


高考数学立体几何大题训练
1.如图,平面 ABCD ? 平面 ADEF ,其中 ABCD 为矩形, ADEF 为梯形, AF / / DE , AF ? FE , AF ? AD ? 2DE , G 为 BF 中点.

B

C

A

G
F

D

E

(Ⅰ)求证: EG / / 平面 ABCD ; (Ⅱ)求证: AF ? DG .

2 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PD ? 平 面 ABCD , 底 面 ABCD 是 菱 形 ,

?BAD ? 60 , AB ? 2, PD ? 6 , O 为 AC 与 BD 的交点, E 为棱 PB 上一点.
P

E

D O A B

C

(Ⅰ)证明:平面 EAC ⊥平面 PBD ; (Ⅱ)若 PD ∥ 平面 EAC ,求三棱锥 P ? EAD 的体积.

1

3.如图,已知四边形 ABCD 是正方形, PD ? 平面 ABCD,CD=PD=2EA,PD//EA,F,G,H 分别为 PB,BE,PC 的中点.

(Ⅰ)求证:GH//平面 PDAE; (Ⅱ)求证:平面 FGH ? 平面 PCD.

4 . 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , 点 E 为 边 AD 上 的 点 , 点 F 为 边 CD 的 中 点 ,

AB ? A E ?

2 AD ? 4 , 现将 ?ABE 沿 BE 边折至 ?PBE 位置,且平面 PBE ? 平面 3
P

BCDE.

A

E

D

E

D

F
B

C

B

C

(Ⅰ)求证:平面 PBE ? 平面 PEF ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? BCFE 的体积.

2

5.如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,AB∥EF,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB=2,AD=EF=1.

(Ⅰ)求证:AF⊥平面 CBF; (Ⅱ)设 FC 的中点为 M,求证:OM∥平面 DAF; (Ⅲ)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 VF ? ABCD ,VF ?CBE ,求

VF ? ABCD : VF ?CBE .

6.如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、F 分别是棱 DD1、C1 D1 的中点. A1 B1 F C1 A B C E D D1

(Ⅰ)证明:平面 ADC1B1 ? 平面 A1 BE ; (Ⅱ)证明: B1 F //平面 A1 BE ; (Ⅲ)若正方体棱长为 1,求四面体 A1 ? B1BE 的体积.

3

7.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?PAB 是正三角形,四边形 ABCD 是矩形,且平面 PAB ? 平面 ABCD , PA ? 2 , PC ? 4 .

(Ⅰ)若点 E 是 PC 的中点,求证: PA / / 平面 BDE ; (Ⅱ)若点 F 在线段 PA 上,且 FA ? ? PA ,当三棱锥 B ? AFD 的体积为 数 ? 的值.

4 时,求实 3

8. 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱垂直底面,?ACB ? 90? ,AC ? BC ? D 是棱 AA1 的中点.

1 AA1 , 2

(1)证明: DC1 ? 平面 BDC ; (2)若 AA 1 ? 2 ,求三棱锥 C ? BDC1 的体积.

4

9.已知平行四边形 ABCD , AB ? 4 , AD ? 2 , ?DAB ? 60o , E 为 AB 的中点, 把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A ? 4 , F 是线段 AC 1 的中点. 1 DE 位置,使得 AC 1

A1 F

D

C D

C

A

E

B

E

B

(1)求证: BF // 面A 1DE ; (2)求证:面 A1DE ? 面 DEBC ; (3)求四棱锥 A 1 ? DEBC 的体积.

10.如图, 已知边长为 2 的的菱形 ABCD 与菱形 ACEF 全等,且 ?FAC ? ?ABC ,平面 ABCD ? 平面 ACEF ,点 G 为 CE 的中点.
E

G

F

C O D A

B

(Ⅰ)求证: AE / / 平面 DBG ; (Ⅱ)求证: FC ? BG ; (Ⅲ)求三棱锥 E ? BGD 的体积.

5

11 . 如 图 , 三 棱 柱 ABC? A 1 B 1 C 1中 , AB ? AC ? AA 1 ? BC1 ? 2 , ?AAC 1 1 ? 60? , 平 面

D. ABC1 ? 平面 AAC 1 1C , AC1 与 AC 1 相交于点
B1 B

C1 D A1 A

C

(Ⅰ)求证: BD ? 平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值.

12 . 如 图 , 已 知 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 , EA ? 平 面 ABC D , CF ∥ EA , 且

EA ? 2 AB ? 2CF ? 2

(1)求证: EC ? 平面 BDF ; (2)求二面角 E ? BD ? F 的余弦值.

6

13.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAB ? 底面 ABCD ,

PA ? AB ,点 E 是 PB 的中点,点 F 在边 BC 上移动.

(Ⅰ)若 F 为 BC 中点,求证: EF //平面 PAC ; (Ⅱ)求证: AE ? PF ;

11 (Ⅲ)若 PB ? 2 AB ,二面角 E ? AF ? B 的余弦值等于 11 ,试判断点 F 在边 BC
上的位置,并说明理由.

14.已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等 腰直角三角形,正视图为直角梯形.

(1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)求二面角 A-ED-B 的正弦值.

7

15. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 平面 A 且A A 1 ?A B 1 BC ? 侧面 A 1 ABB1 , (1) 求证: AB ? BC ; (2)若直线 AC 与平面 A 1 BC 所成的角为

?2

? ,求锐二面角 A ? AC ? B 的大小. 1 6

16.如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, AB ? 2 AD ? 2 , 点 E 为 AB 的中点. (1)求证: BD1 ∥平面 A1 DE ; (2)求证: D1 E ? A1 D ; (3)在线段 AB 上是否存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

? ?若存在,求 6

8

17.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1 A ? 平面 ABC ,?BAC ? 90? ,F 为棱 AA1 上的动点, A 1 A ? 4, AB ? AC ? 2 . ⑴当 F 为 A1 A 的中点,求直线 BC 与平面 BFC1 所成角的正弦值; ⑵当

AF 的值为多少时,二面角 B ? FC1 ? C 的大小是 45 ? . FA1

A1 B1

C1

F
A B

C

6

18 . 如 图 , 在 四 棱 锥

A ? BCDE
4 2

中 , 平 面

ABC ? 平 面

BCDE, ?CDE ? ?BED ? 900 , AB ? CD ? 2, DE ? BE ? 1, AC ? 2 .
(1)证明: DE ? 平面 ACD ; (2)求二面角 B ? AD ? E 的大小
20 15 10 5 5 10 15 20 2

4

A
6

8

D E

C
10 12

B

14

16

18

9

19. 如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD ? CD ,AB ∥ CD , AB ? AD ? 2 , CD ? 4 , M 为 CE 的中点. (1)求证: BM ∥平面 ADEF ; (2)求证:平面 BDE ? 平面 BEC ; (3)求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值.
E F M

D

C

A

B

20.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ?ACB ? 90 , EA ? 平面

ABCD , EF //AB , FG //BC , EG //AC , AB ? 2 EF .

(1)若 M 是线段 AD 的中点,求证: GM // 平面 ABFE ; (2)若 AC ? BC ? 2 AE ? 2 ,求二面角 A ? BF ? C 的余弦值.

10

参考答案 1. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析 【解析】 试题分析: 证明: (Ⅰ) 取 AB 的中点 O , 连接 OD , 可得 OG

1 AF , 又因为 AF / / DE , ? 2

AF ? 2 DE
所以 OG

?

DE ,四边形 ODEG 为平行四边形,所以 EG / / OD ,在根据线面平行的判

定定理,即可证明结果. (Ⅱ)取 AF 的中点 H ,连接 DH 、 GH ,可得 GH / / AB , 因 ABCD ? ADEF 为平面 平面 , AB ? AD ,所以 AB ? 平面 ADEF , AB ? AF ,所以 AF ? GH ,因为 AF / / DE , AF ? 2 DE 所以四边形 EFHD 为平行四边形, EF / / DH ,又 AF ? FE ,所以 AF ? DH ,根据线 面垂直的判定定理,即可证明结果. 试题解析:证明: (Ⅰ)取 AB 的中点 O ,连接 OD

B

C

O

G
A

D
E

H F

因为 O, G 分别是 AB , BF 的中点,

1 AF , 2分 ? 2 又因为 AF / / DE , AF ? 2 DE
所以 OG 所以 OG

?

DE ,四边形 ODEG 为平行四边形

所以 EG / / OD 4分 因为 OD ? 平面 ABCD , EG ? 平面 ABCD 所以 EG / / 平面 ABCD (Ⅱ)取 AF 的中点 H ,连接 DH 、 GH 因为 G , H 分别是 BF , AF 的中点, 所以 GH / / AB , 7分 因为平面 ABCD ? 平面 ADEF , AB ? AD 所以 AB ? 平面 ADEF , AB ? AF 所以 AF ? GH 9分 AF / / DE AF ? 2 DE 因为 , 所以四边形 EFHD 为平行四边形, EF / / DH 又 AF ? FE ,所以 AF ? DH 因为 GH DH ? H 所以 AF ? 平面 DGH
11

5分

11 分

所以 AF ? DG

12 分

考点: 1.线面平行的判定定理;2.线面垂直的判定定理. 2. (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ) VP ? EAD ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)要证面面垂直需证线面垂直,根据题意,需证 AC ? 平面 PBD ,因为底面 为菱形对角线互相垂直,又因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 AC ? 平面 PBD 得证; (Ⅱ)根 ACE EO O PD PBD 据线面平行的性质定理可知: 平行平面 与平面 的交线 ,同时 为 BD 中 点 , 所以 E 为 PB 中点,所以三棱锥 P ? EAD 的体积等于三棱锥 E ? PAD 即为三棱锥 B ? PAD 体积的一半,进而求得三棱锥 P ? EAD 的体积. 试题解析: (Ⅰ)

2 . 2

PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,? AC ? PD .

PD BD ? D , AC ? 平面 PBD . 而 AC ? 平面 EAC ,? 平面 EAC ⊥平面 PBD . 6分 (Ⅱ) PD ∥ 平面 EAC ,平面 EAC 平面 PBD ? OE ,? PD ∥ OE , O 是 BD 中点,? E 是 PB 中点.
P

四边形 ABCD 是菱形,? AC ? BD ,又

E

D H O A B

C

取 AD 中点 H ,连结 BH ,

四边形 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60 ,

? BH ? AD ,又 BH ? PD, AD

PD ? D ,? BD ? 平面 PAD ,
9分

BH ?

3 AB ? 3 . 2

1 1 1 VP ? EAD ? VE ? PAD ? VB ? PAD ? ? ? S△ PAD ? BH 2 2 3

1 1 2 . ? ? ? 2? 6 ? 3 ? 6 2 2

12 分

考点:1.面面平行的判定定理;2.线面平行的性质定理;3.三棱锥的体积公式.

12

3. (1)证明详见解析; (2)证明详见解析. 【解析】 试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直等基础知识,考查学生 的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力.第一问,取 PD、EA

1 1 CD , NG / / AB ,而 AB / / CD ,∴ MN / / NG ,∴说明 ?? ?? ?? 2 ?? 2 GHMN 是平行四边形,∴ GH / / MN ,∴利用线面平行的判定 GH / / 平面 PDAE ;第二 问,先利用线面垂直的性质得 PD ? BC ,再利用线面垂直的判定得 BC ? 平面 PCD ,即 FH ? 平面 PCD ,最后利用面面垂直的判定得平面 FGH ? 平面 PCD .
中点,利用中位线得 MN / / 试题解析: (1)分别取 PD 的中点 M ,EA 的中点 N . 连结 MH ,NG,MN . 因为 G,H 分别为 BE,PC 的中点,所以 MN / /
??

1 CD 2

.

因为 AB / / CD ,所以 MN / / NG ,
?? ??

故四边形 GHMN 是平行四边形.所以 GH / / MN . 4分 又因为 GH ? 平面 PDAE , MN ? 平面 PDAE , 所以 GH / / 平面 PDAE . 6分

(2)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BC . 因为 BC ? CD, PD

CD ? D, 所以 BC ? 平面 PCD .

因为 F ,H 分别为 PB、PC 的中点,所以 FH / / BC 所以 FH ? 平面 PCD. 因为 FH ? 平面 FGH ,所以平面 FGH ? 平面 PCD . 考点:线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直. 4. (Ⅰ)见解析(Ⅱ)

12 分

28 2 3

【解析】 试题分析:对于第一问要证明面面垂直,关键是把握住面面垂直的判定定理,在其中一个平 面内找出另一个平面的垂线即可, 而在找线面垂直时, 需要把握住线面垂直的判定定理的内 容,注意做好空间中的垂直转化工作,对于第二问,注意在求棱锥的体积时,注意把握住有 关求体积的量是多少,底面积和高弄清楚后就没有问题. 试题解析: (Ⅰ)证明:在 RtΔDEF 中 Q ED ? DF , ??DEF ? 45 ,
o

13

在 RtΔABE 中, Q AE ? AB, ??AEB ? 45o ,

??BEF ? 90o ,? EF ? BE .
平面 PBE ? 平面 BCDE ,且平面 PBE

3分 平面 BCDE ? BE 6分

? EF ? 平面 PBE , Q EF ? 平面 PEF ,? 平面 PBE ? 平面 PEF . (Ⅱ)解:过 P 做 PO ? BE ,
P E

D

O
B

F

C
平面 BCDE ? BE

PO ? 平面 PBE, 平面 PBE ? 平面 BCDE 且平面 PBE
? PO ? 平面 BCDE ,
四棱锥 P ? BCFE 的高 h ? PO ? 2 2 . 8分

S四边形BCFE ? S矩形ABCD ? S?ABE ? S?DEF
1 1 ? 6 ? 4 ? ? 4 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 14, 2 2
则 VP ? BCFE ? 10 分

1 1 28 2 . S四边形BCFE ? h ? ?14 ? 2 2 ? 3 3 3

12 分

考点:面面垂直的判定,棱锥的体积. 5. (Ⅰ)参考解析; (Ⅱ)参考解析; (Ⅲ) 4 :1 【解析】 试题分析: (Ⅰ)要证线面垂直等价转化为线线垂直,由圆周角所对的弦为直径即可得 AF 与 BF 垂直,再根据面面垂直的性质即可得 CB 与 AF 垂直.由此即可得到结论. (Ⅱ)线面平行等价转化为线线平行,通过做 DF 的中点即可得到一个平行四边形,由此即 可得到线线平行,即可得到结论. (Ⅲ)根据四棱锥的体积公式,以及三棱锥的体积公式,其中有些公共的线段,由此即可求 出两个体积的比值. 试题解析: (Ⅰ)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,CB⊥AB,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴CB⊥平面 ABEF,∵AF ? 平面 ABEF,∴AF⊥CB, 又∵AB 为圆 O 的直径,∴AF⊥BF,∴AF⊥平面 CBF. (Ⅱ)设 DF 的中点为 N,则 MN∥

1 1 CD ,又 AO∥ CD , 2 2

则 MN∥ AO ,MNAO 为平行四边形,

14

∴OM∥AN,又 AN ? 平面 DAF,PM ? 平面 DAF,∴OM∥平面 DAF. (Ⅲ)过点 F 作 FG⊥AB 于 G,∵平面 ABCD⊥平面 ABEF, ∴FG⊥平面 ABCD,∴ VF ? ABCD ? ∵CB⊥平面 ABEF,∴ VF ?CBE ∴ VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 :1 考点:1.线面垂直.2.线面平行.3.棱锥的体积公式.

1 2 S ABCD ? FG ? FG , 3 3 1 1 1 1 ? VC ?BFE ? S?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG , 3 3 2 6

1 6. (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ) 6
【解析】 试题分析:Ⅰ)证明面面垂直,一般利用面面垂直判定定理,即从证明线面垂直出发:因为

B1C1 ? 面 ABB1 A1 所以 B1C1 ? A1 B .又 A1B ? AB1 ,所以 A1B ? 面 ADC1B1 , 所以平面 ADC1B1 ? 面 A1 BE .(Ⅱ)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从证明线线平
行出发, 这一般可利用平面几何知识得以证明: 设 平行四边形,所以

AB1

A1B ? O , B OEF 为 则易得四边形 1
(Ⅲ)求棱锥体积,关键在于确

B1F // OE .所以 B1 F //面 A1 BE
1 1 S ?A1B1B ? B1C1 ? 3 6

定 其 高 。 可 以 利 用 等 体 积 法 将 其 转 化 为 可 确 定 高 的 棱 锥 :

VA1 ? B1BE ? VE ? A1B1B ?

试题解析: (Ⅰ)证明: 因为 ABCD ? A1B1C1D1 为正方体, 所以 因为

B1C1 ? 面 ABB1 A1 ; A1B ? 面 ABB1 A1 ,所以 B1C1 ? A1B . A1B ? AB1 , B1C1 AB1 ? B1 ,所以 A1B ? 面 ADC1B1
5分 2分

又因为 因为

A1B ? 面 A1 BE ,所以平面 ADC1B1 ? 面 A1 BE .

1 1 = C1 D C1 D (Ⅱ)连接 EF , EF // 2 ,且 EF 2 ,

15

A1 F B1 C1 A B C

D1

E D



AB1

A1B ? O ,

1 1 = C1 D C1 D BO BO 2 则 1 // 2 且 1 ,
所以 EF // 所以四边形 又因为

B1O 且 EF =B1O ,

B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F // OE .

9分

B1F ? 面A1BE , OE ? 面A1BE .
11 分

所以 B1 F //面 A1 BE

(Ⅲ)

VA1 ? B1BE ? VE ? A1B1B ?

1 1 S ?A1B1B ? B1C1 ? 3 6 2 3

14 分

考点:面面垂直判定定理,线面平行判定定理,棱锥体积 7. (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ) . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将证明线面平行转化为线线平行,通过做辅助线可证明出 EQ // PA ,线 面平行的判定定理可证出 PA / / 平面 BDE ; (Ⅱ) 如图所示作辅助线, 通过题意可先分

1 4 VB ? AFD ? VF ? ABD ? ? S ?ABD ? FM ? 将问题转化为求 BC ,由面面垂直的性质定理得 3 3

PO ? 平 面 ABCD , 进 而 FM ? 平 面 ABCD , 得 到 BC ? 平 面 PAB , 故
BC ? PC 2 ? PB 2 ? 2 3
, 进 而 确 定

FM ?

2 3 3







16

2 3 FM FA 2 = =? ? 3 =? ? ? = PO PA 3 3
试题解析: (Ⅰ)如图,连接 AC ,设 AC 则在 ?PAC 中,中位线 EQ // PA , 又 EQ ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE . 所以 PA / / 平面 BDE 5分

BD ? Q ,又点 E 是 PC 的中点,
3分

(Ⅱ)依据题意可得: PA ? AB ? PB ? 2 ,取 AB 中点 O ,所以 PO ? AB ,且 PO ? 又平面 PAB ? 平面 ABCD ,则 PO ? 平面 ABCD ; 作 FM / / PO 于 AB 上一点 M ,则 FM ? 平面 ABCD , 因为四边形 ABCD 是矩形,所以 BC ? 平面 PAB , 则 ?PBC 为直角三角形 所以 BC ?

3

6分

8分

1 PC 2 ? PB 2 ? 2 3 ,则直角三角形 ?ABP 的面积为 S ?ABP = AB ? AD ? 2 3 2
10 分

4 1 2 3 2 3 =VB ? AFD ? VF ? ABD ? S ?ABD ? FM ? FM ? FM = 3 3 3 3

2 3 FM FA 2 = =? ? 3 =? ? ? = 由 FM / / PO 得: PO PA 3 3

12 分

考点:1、线面平行问题与线线平行问题的互化;2、面面垂直与线面垂直问题的互化;3、 综合分析能力. 8. (1)见解析 (2)

1 3

【解析】 试题分析:对应第一问,关键是要掌握线面垂直的判定,把握线线垂直的证明方法,第二问 注意椎体的体积公式的应用. 试题解析:(1)由题设知 BC ? CC1 , BC ? AC , AC ∴ BC ? 平面 ACC1 A 1. (2 分)

CC1 ? C ,

17

又∵ DC1 ? 平面 ACC1 A 1 ,∴ DC1 ? BC . (3 分)
o o 由题设知 ?ADC ? ?A 1DC1 ? 45 ,∴ ?CDC1 ? 90 ,即 C1 D ? DC .

(4 分) (6 分)

∵ DC

BC ? C ,∴ DC1 ? 平面 BDC .
1 AA1 2

(2) ∵ AA 1 ? 2 ,D 是棱 AA 1 的中点, AC ? BC ? ∴ AC ? BC ? 1, AD ? 1 ∴ CD ?

(7 分) (9 分) (10 分) (11 分) (13 分)

AD2 ? AC2 ? 2 , DC1 ? 2
1 1 CD ? DC1 ? ? 2 ? 2 ? 1 2 2 1 1 1 ? S ? BC ? ? 1 ? 1 ? 3 3 3 1 1 ? V B ?CDC 1 ? ,即三棱锥 C ? BDC1 的体积为 . 3 3

∴ Rt?CDC1 的面积 S ? ∴ VB ?CDC1 ∴ VC ? BDC1

考点:线面垂直的判定,椎体的体积. 9. (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3)3. 【解析】 试题分析: (1)此题将线面平行转化为线线平行问题,可取 DA1 的中点 G ,连接 FG、GE 构造辅助线,得到 EB // GF ,进而证明出 BF // 平面 A (2)此题将面面垂直问题转化 1DE ; 为线面垂直问题,可取 DE 的中点 H ,连接 A1H、CH 构造辅助线,借助于余弦定理,得出 即 ?AH 由线面垂直的判定定理, 证明出 A A1H ? HC , 1 C 为直角三角形, 1H ? 面DEBC , 根据面面垂直的判定定理得出面 A1DE ? 面 DEBC ; (3) 由棱锥的体积公式得 V四棱棱 -A1 -DEBC ? 由(2) A 1H ? 3 ,代入上式即可求得. 试题解析: (1)证明:取 DA1 的中点 G ,连接 FG、GE

1 ?S ? A1 H , 梯形的底边为 2、 4, 高为 3 , 3 梯形DEBC

18

A1 G D F C

E
F 为 A1C 中点

B

1 2 E 为平行四边形 ABCD 边 AB 的中点 1 ? EB // DC ,且 EB ? DC 2 ? EB // GF ,且 EB ? GF ?四边形 BFGE 是平行四边形 ? BF // EG

? GF // DC ,且 GF ? DC

EG ? 平面 A1DE , BF ? 平面 A1DE

? BF // 平面 A1DE
(2)取 DE 的中点 H ,连接 A1H、CH

4分

AB ? 4 , AD ? 2 , ?DAB ? 60o , E 为 AB 的中点

? ?DAE 为等边三角形,即折叠后 ?DA1E 也为等边三角形

A1 F D H E B C

? A1H ? DE ,且 A1H ? 3
o 在 ?DHC 中, DH ? 1 , DC ? 4 , ?HDC ? 60

19

根据余弦定理,可得

HC 2 ? DH 2 ? DC 2 ? 2 DH ? DC cos 60o ? 12 ? 42 ? 2 ?1? 4 ?
, HC ? 13 AC ? 4, A1H ? 3 , 1
2 ? AC ? A1H 2 ? HC 2 ,即 A1H ? HC 1

1 ? 13 在 ?A1 HC 中 , 2



? A1 H ? DE ? A H ? HC 1 ? ? DE ? 面DEBC ,所以 A1H ? 面DEBC ? ? HC ? 面DEBC ? ? ? DE HC ? H



A1H ? 面A1DE
10 分

?面 A1DE ? 面 DEBC
(3)由第(2)问知 A 1H ? 面DEBC

A1 F D H E B
14 分

O

C

1 1 1 VA1 ? DEBC ? S底面DEBC ? h ? ? (2 ? 4) ? 3 ? 3 ? 63 3 3 2
考点:1、线面平行;2、面面垂直;3.棱锥的体积 10. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)

1 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 要证明线面平行, 只需证明这条直线以平面内的一条直线平行即可, 连结 OG , 易得 OG 为三角形 ?ACE 的中位线,所以, OG ∥ AE ,? AE / / 平面 DBE ;要证明线线 垂直,一般通过线面垂直得到,易得 BD ? 平面 ACEF ,? BD ? CF ,在菱形 ACEF 中 OG ? CF , ? CF ? 平面 BGD ? CF ? BG (Ⅲ)利用等体积法即可,即 VE ? BDG ? VA? BDG ? VC ? BDG ? 1 S?BDG ? h ? 1
3 2

试题解析: (Ⅰ)连结 OG , 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以, CO ? OA ,又 CG ? GE ,

..1 分

20

所以, OG 为三角形 ?ACE 的中位线 .2 分 所以, OG ∥ AE . 又 OG ? 平面 DBE , AE ? 平面 DBE 4分 ? AE / / 平面 DBE (Ⅱ)因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD 。 又平面 ABCD ? 平面 ACEF ,且交线为 AC 2分 ? BD ? 平面 ACEF , 又? FC ? 平面 ACEF 3分 ? BD ? CF AE ? CF OG // AE , ? 在菱形 ACEF 中, OG ? CF 4分 ?

? BD ? OG ? O, BD, OG ? 平面 BGD ? CF ? 平面 BGD ? CF ? BG
5分 6分 (Ⅲ)由题知, AB ? BC ? AC =2,故 ?ABC ? 60 , 在三角形 DAB 中, AD ? AB ? 2 , ?DAB ? 120 ,所以 BD = 2 3 . 又 ?ABC ? ?FAC ,所以 ?FAC ? 60 ,所以 ?FCA 是等边三角形, 所以 CF ? 2, AE ? 2 3 , 所以 S?BDG ? 1分

1 BD ? OG ? 3 2

2分

又 CF ? 面 BDG ,所以,点 C 到面 BDG 的距离 h ? CF ? 所以 VE ? BDG ? VA? BDG ? VC ? BDG ? S?BDG ? h ? 考点:立体几何的综合应用 11. (Ⅰ)见解析 ; (Ⅱ)

1 4

1 2

3分

1 3

1 2

4分

5 5

【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明直线和平面垂直的常用方法: (1)利用判定定理. (2)利用判定定理 的推论 ( a // b, a ? ? ? b ? ? ) . (3) 利用面面平行的性质 ( ? // ? , a ? ? ? a ? ? ) . (4) 利用面面垂直的性质.本题即是利用面面垂直的性质; (Ⅱ)求面面角方法一是传统方法, 作出二面角,难度较大,一般不采用,方法二是向量法,思路简单,运算量稍大,一般采用 向量法.

D 是 AC1 的中点 , 因为 BA ? BC 试题解析: (Ⅰ)依题意 , 侧面 AAC 1 1C 是菱形 , 1 , 所以

BD ? AC 1,
BD ? 平面 ABC1 ,平面 ABC1 又平面 ABC1 ? 平面 AAC 1 1C ,且
平面 AAC 1 1C ? AC1

21

所以 BD ? 平面 AAC 1 1C .

5分

CD ? 面 AAC CD ? BD , (Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知 BD ? 平面 AAC 1 1C , 1 1C ,所以
B1 B

C1 D A1 传统法图

H

C

A

又 CD ? AC1 , AC1

BD ? D ,所以 CD ? 平面 ABC1 ,

过 D 作 DH ? AB ,垂足为 H ,连结 CH ,则 CH ? AB , 所以 ?DHC 为二面角 C1 ? AB ? C 的平面角. 在 Rt?DAB 中, AD ? 1, BD ? 3, AB ? 2 , 所以 DH ? 9分

AD ? DB 3 15 , CH ? DH 2 ? DC 2 ? ? AB 2 2

12 分

所以 cos ?DHC ?

DH 5 5 ,即二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值是 . ? CH 5 5
6分

14 分

[向量法]以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示,
z B
1

B

C1 D A1 向量法图 A x

C

y

由已知可得 AC1 ? 2, AD ? 1, BD ? A 1D ? DC ? 3, BC ? 6 故 D ? 0, 0, 0 ? , A ?1, 0, 0 ? , B 0, 0, 3 , C1 ? ?1, 0, 0 ? , C 0, 3, 0 , 则 AB ? ?1, 0,

?

? 3 ? , BC ? ? 0,

?

?

?

3, ? 3 ,

?

8分

设平面 ABC 的一个法向量是 n ? ? x, y, z ? ,
22

则?

? AB ? n ? 0 ? ? ? BC ? n ? 0

,即 ?

? ?? x ? 3z ? 0 ? ? 3 y ? 3z ? 0

,解得 ?

? x ? 3z ? ? ?y ? z
11 分 12 分

令 z ? 1 ,得 n ?

?

3,1,1

?
?

显然 DC ? 0, 3, 0 是平面 ABC1 的一个法向量, 所以 cos ? n, DC ??

?

?

n ? DC n DC

3 5 5 , 即二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值是 . ? 5 5 5? 3

14 分 考点:线面垂直、二面角 12. (1)详见解析; (2)二面角 E ? BD ? F 的余弦值为

10 . 10

【解析】 试题分析: (1) 因为 EA∥CF,所以 ACFE 是一个平面图形,在这个平面图形中,AC=AE=2, 所以Δ ACE 是等腰直角三角形.连接 AC 交 BD 于点 O,连接 FO.易得 OC=FC,所以Δ OCF 也是 等腰直角三角形.由此可证得 EC⊥OF.又由三垂线定理可证得 BD ? EC , 从而可得 EC ? 平 面 BDF .法二, 以点 A 为坐标原点,AD 所在的直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,AE 所在直线为 z 轴建立 直角坐标系,利用向量也可证得 EC ? 面 BDF .(2)由(1)知向量 EC 为平面 BDF 的法 向量,再用向量方法求出平面 EBD 的法向量即可求出二面角 E ? BD ? F 的余弦值. 试题解析: (1) (法一)连接 AC 交 BD 于点 O,连接 FO.过点 O 作 OH∥AE 交 EC 于点 H,连接 HF, 因为 O 是 AC 的中点, 所以 H 是 EC 的中点, 所以 OH ? 所以 OH∥CF 且 OH=CF,又因为 OC ?

1 EA ? 1 , 因为 EA∥CF, 且 EA=2CF, 2

1 AC ? 1 2

所以四边形 OCFH 为菱形,而 EA 垂直于平面 ABCD, 所以 EA ? AC 从而 OH ? OC ,从而四边形 OCFH 为正方形进而 OF ? CH ? OF ? CE 又因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD ? AC ; 又 EA ? BD 且 EA AC ? A 从而 BD ? 面 EAC , 则 BD ? EC 又 BD ? BDF , OF ? BDF 且 BD

OF ? O 所以 EC ? 平面 BDF .

..............6

分 (法二) 以点 A 为坐标原点,AD 所在的直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,AE 所在直线为 z 轴建立 直角坐标系,则

A(0,0,0); B(0, 2,0); D(? 2,0,0); C(? 2, 2,0); F (? 2, 2,1); E(0,0, 2) ,
所以 BD ? (? 2, ? 2,0); BF ? (? 2,0,1); EC ? (? 2, 2, ?2)
23

从而有 EC · BD =0, EC · BF =0 所以 EC ? BD, EC ? BF 又因为 BD

BF ? B, 从而 EC ? 面 BDF

(2)由(1)知向量 EC 为平面 BDF 的法向量 设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则?

? ?n ? BD ? 0 ? ?n ? ED ? 0

即?

? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?? 2 x ? 2 z ? 0 n ? EC n ? EC ?

;令 z ? 1 得 x ? ? 2, y ? 2

故 cos ? n, EC ??

2 10 ? 10 2 10
10 10

所以二面角 E ? BD ? F 的余弦值为

考点:1、空间线面间的位置关系;2、二面角. 13. (1)证明详见解析; (2)证明详见解析; (3)点 F 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点. 【解析】 试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、二面角、向量法等基 础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力.第一问,在

?PBC 中,E、F 分别是 BP、BC 中点,利用中位线的性质得 EF / / PC ,再根据线面平行的 判定得出结论;第二问,由正方形 ABCD 得出 BC ? AB ,利用面面垂直的性质,得 BC ? 平 面 PAB,利用线面垂直的性质,得 BC ? AE ,再从 ?PAB 中证出 AE ? PB ,利用线面垂
直的判定得 AE ? 平面 PBC,所以 AE 垂直面 PBC 内的线 PF;第三问,利用已知的这些条件 整理出 AD、AB、AP 两两垂直,建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,得出向量坐标, 分别求出平面 AEF 和平面 ABF 的法向量,利用夹角公式列出表达式,求出 m,即得到 BF 的 长,从而得到点 F 的位置. 试题解析: (1)在 ?PBC 中,∵点 E 是 PB 中点,点 F 是 BC 中点, ∴ EF / / PC , 又∵ EF ? 平面 PAC, PC ? 平面 PAC, ∴ EF / / 平面 PAC. (2)∵底面 ABCD 是正方形,∴ BC ? AB . 又∵侧面 PAB ? 底面 ABCD,平面 PAB 平面 ABCD=AB,且 BC ? 平面 ABCD, ∴ BC ? 平面 PAB. ∵ AE ? 平面 PAB, ∴ BC ? AE , 由已知 PA ? AB ,点 E 是 PB 的中点, ∴ AE ? PB , 又∵ PB BC ? B , ∴ AE ? 平面 PBC.

24

∵ PF ? 平面 PBC, ∴ AE ? PF . (3)点 F 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点. ∵ PA ? AB , PB ? ∴ PA ? AB , 由(2)可知, BC ? 平面 PAB. 又 BC / / AD , ∴ AD ? 平面 PAB,即 AD ? PA, AD ? AB , ∴ AD, AB, AP 两两垂直. 分别以 AD,AB,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系(如图).

2 AB ,

不妨设 AB ? 2, BF ? m ,则 A(0,0,0), B(0, 2,0), P(0,0, 2), E(0,1,1) , F (m, 2, 0) . ∴ AE ? (0,1,1) , AF ? (m, 2,0) . 设平面 AEF 的一个法向量为 n ? ( p, q, r ) , ∵?

? ? n ? AE ? 0 ? ?n ? AF ? 0

,得 ?

? q?r ?0 ,取 p ? 2 ,则 q ? ? m , r ? m ,得 n ? (2, ?m, m) . ?mp ? 2q ? 0
AD ? A ,

∵ AP ? AB , AP ? AD , AB ∴ AP ? 平面 ABCD.

即平面 ABF 的一个法向量为 AP ? (0,0, 2) . ∴

2 | n ? AP | | 2m | 11 ,解得 m ? . ? ? 3 | n | ? | AP | 4 ? 2m2 ? 2 11

25

∵ BC ? AB ? 2 , ∴ BF ?

1 BC ,即点 F 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点. 3
10 5

考点:线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、二面角、向量法. 14. (1)16; (2) 【解析】 ; (3)
5 3



? S BCED ? AC ? 16 ; (2)取 EC 的 3 中点是 F,连结 BF,可证∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角,在△BAF 中,利
试题分析: (1)由三视图易得 AC⊥平面 BCE,则体积 V ? 用余弦定理可求得异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为 于 G,连 AG,可证 DE⊥平面 ACG, 易知∠AGC 为二面角 A-ED-B 的平面角, 在△ACG 中, 可求得二面角 A-ED-B 的的正弦值为 AC⊥平面 BCE, 则 V ?
5 3
10 5

1

; (3)过 C 作 CG⊥DE 交 DE



试题解析: (1)

1 3

? S BCED ? AC ? 16

∴几何体的体积 V 为 16. (2)取 EC 的中点是 F,连结 BF,则 BF//DE,∴∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成 的角.

在△BAF 中,AB= 4 2 ,BF=AF= 2 5 .∴ cos ?ABF ?

10 5



∴异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

10 5

(3)AC⊥平面 BCE,过 C 作 CG⊥DE 交 DE 于 G,连 AG.可得 DE⊥平面 ACG, 从而 AG⊥DE,∴∠AGC 为二面角 A-ED-B 的平面角. 在△ACG 中,∠ACG=90°,AC=4,CG=

8 5 5

,∴ tan ?AGC ?

5 2

.∴ sin ?AGC ?

5 3



∴二面角 A-ED-B 的的正弦值为

5 3



考点:1.空间几何体的结构特征与三视图;2.空间几何中的线面角与二面角

26

15. (1)详见解析; (2) 【解析】

? 3

试题分析: (1) 取 A1 B 的中点 D ,连接 AD ,要证 A1 ABB1 ,只要证 BC ? 平面 A1 ABB1 由直三棱柱的性质可知 AA1 ? BC ,只需证 BC ? AD ,因此只要证明 AD ? 平面 A 1BC 事实上,由已知平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB1 , AD ? 平面 A 1 ABB1 ,且 AD ? A 1B 所以 AD ? 平面 A 1BC 成立,于是结论可证. ( 2 ) 思 路 一 : 连 接 CD , 可 证 ?A C D 即 为 直 线 AC 与 平面A1BC 所 成 的 角 , 则

?ACD =

?
6

? AC ? 2 2

过点 A 作 AE ? AC 1 于点 E ,连 DE ,可证 ?AED 即为二面角 A ? AC 1 ? B 的一个平面角. 在直角 ?A1 AC 中 ?AED =

?
3

,即二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为

? 3

思路二:以点 B 为原点,以 BC、BA 、BB 1 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

B ? xyz
设平面 A1 BC 的一个法向量 n1 ,平面 A1 AC 的一个法向量为 n2 ,利用向量的数量积求出这 两个法向量的坐标,进而利用法向量的夹角求出锐二面角 A ? AC ? B 的大小. 1 试题解析:.解(1)证明:如图,取 A1 B 的中点 D ,连接 AD , 因 AA 1 ? AB ,则 AD ? A 1B 由平面 A 1 BC 1 BC ? 侧面 A 1 ABB1 ,且平面 A 侧面 A1 ABB1 ? A1 B ,

BC ? 平面 A1 BC , 所以 AD ? BC . 得 AD ? 平面A 1BC ,又
因为三棱柱 ABC —A1B1C1 是直三棱柱,则 AA 1 ? BC . 1 ? 底面ABC ,所以 AA 又 AA1

AD=A ,从而 BC ? 侧面 A1 ABB1 ,又 AB ? 侧面 A1 ABB1 ,故 AB ? BC .

27

解法一:连接 CD ,由(1)可知 AD ? 平面A1BC ,则 CD 是 AC 在 平面A1BC 内的射影 ∴ ?ACD 即为直线 AC 与 平面A1BC 所成的角,则 ?ACD =

?
6 1 A1 B ? 2 ,且 2

在等腰直角 ?A1 AB 中, AA 1 B 中点,∴ AD ? 1 ? AB ? 2 ,且点 D 是 A

?ADC =

?
2

, ?ACD =

?
6

∴ AC ? 2 2

过点 A 作 AE ? AC 于点 E ,连 DE ,由(1)知 AD ? 平面A 1 1 C ,且 1 BC ,则 AD ? A

AE

AD ? A

∴ ?AED 即为二面角 A ? AC 1 ? B 的一个平面角 且直角 ?A1 AC 中: AE ?

? A1 A AC 2 ? 2 2 2 6 ,又 AD= 2 , ?ADE = ? ? 2 AC 3 2 3 1



sin ?AED =

AD 2 3 , ? ? AE 2 6 2 3

且二面角 A ? AC 1 ? B 为锐二面角 ∴ ? AED =

?
3

,即二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为

? 3

解法二(向量法) :由( 1 )知 AB ? BC 且 BB1 ? 底面ABC ,所以以点 B 为原点,以
28

BC、BA、BB1 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 B ? xyz ,如图所示,且设
BC ? a , 则 A( 0 , 2 , 0 )
,B(0, 0, 0) , C (a, 0, 0) ,A1 (0, 2, 2) ,BC ? (a,0,0) ,BA1 ? (0,2,2) ,

AC ? (a, ?2,0) ,

AA1 ? (0,0,2)

设平面 A1 BC 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z) ,由 BC ? n1 , BA 1 ? n1 得:

? xa ? 0 令 y ? 1 ,得 x ? 0, z ? ?1,则 n1 ? (0,1, ?1) ? ?2 y ? 2 z ? 0
设直线 AC 与 平面A1BC 所成的角为 ? ,则 ? ? 得 sin

?
6

?
6

?

AC n1 AC n1

?

?2 4 ? a2 2

?

1 ,解得 a ? 2 ,即 AC ? (2, ?2,0) 2

又设平面 A1 AC 的一个法向量为 n2 ,同理可得 n2 ? (1,1,0) , 设锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为 ? ,则

cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

n1 n2 n1 n2

?

? 1 ? ,且 ? ? (0, ) ,得 ? ? 2 2 3

∴ 锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为

? . 3

考点:1、空间直线、平面的位置关系;2、空间向量在立体几何问题中的应用.

29

16. (1)祥见解析; (2)祥见解析; (3)存在满足条件的 AM ? 2 ?

3 . 3

【解析】 试题分析:( 1 ) O 是 AD 1 的中点,连接 OE ,由中位线定理可得 EO ∥ BD 1 ,再由线面平 行的判定定理可得 BD 1 ∥平面 A 1 DE ; ( 2 )由正方形 AA 1 D 1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,根据面面垂直的性质定理可得 AB ⊥平面 ADD 1 A 1 ,进而线面垂直的性质定理得到 AB ⊥ A 1 D ,结合 A 1 D ⊥ AD 1 及线面垂直 的判定定理,可得 A 1 D ⊥平面 AD 1 E ,进而 D 1 E ⊥ A 1 D ; ( 3 )以点 D 为原点, DA , DC , DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系,设 M( 1 , a , 0 )( 0 ≤ a ≤ 2 ),分别求出平面 D 1 MC 的法向量和平 面 MCD 的一个法向量,根据二面角 D 1 -MC-D 的大小为

? ,结合向量夹角公式,构造关 6

于 a 的方程,解方程可得 M 点的坐标,进而求出 AM 长.

F ,连结 EF ,因为四边形 AA1D1D 为正方形,所以 F 为 试题解析: (1)连结 AD1 交 A 1D 于

AD1 的中点,又点 E 为 AB 的中点,在 ?ABD1 中,有中位线定理有 EF // BD1 ,而 BD1 ?
EF ? 平面 A1DE , 平面 A 1DE ,
所以, BD1 //平面 A 1DE . ( 2 ) 因 为 正 方 形 AA1 D1 D 与 矩 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 , 所 以 AD1 ? A 1D ,

AE ? A1D ,
而 AD1

AE ? A ,所以 A1D ? 平面 A1DE ,又 D1E ? 平面 A1DE ,所以 D1E ? A1D .
3 . 3

D1 (0,0,1) (3)存在满足条件的 AM ? 2 ?

x 依题意,以 D 为坐标原点, DA 、 DC 、 DD1 分别为轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标
系,因为 AB ? 2 AD ? 2 ,则 D(0, 0, 0) , C (0, 2,0) , , , A1 (1,0,1) ,所 DD1 ? (0, 0,1) ,

DC 1 ? (0,2, ?1)
易知 DD1 为平面 MCD 的法向量,设 M (1, a,0)(a ? 0) ,所以 MC ? ( ?1, 2 ? a , 0) 平面

? ?( x, y, z) ? (?1, 2 ? a,0) ? 0 ?n ? D1C ? 0 ,即 ? ,所以 D1 MC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,所以 ? ( x , y , z ) ? (0, 2, ? 1) ? 0 n ? MC ? 0 ? ? ?

30

?z ? 2 y ,取 y ? 1 , ? ? x ? (2 ? a) y
则 n ? (2 ? a,1, 2) ,又二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 所以 cos

? , 6

?
6

?

| DD1 ? n | | (0, 01) ? (2 ? a,1, 2) | 3 ,解得 a ? 2 ? . ? 3 | DD1 | ? | n | 12 ? (2 ? a) 2 ? 1 ? 22

故在线段 AB 上是存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为

3 ? ,且 AM ? 2 ? . 3 6

考点:1.空间中直线与直线之间的位置关系;2.直线与平面平行的判定;3.空间向量 求平面间的夹角. 17. (1)

6 AF 5 , (2) ? . 3 FA1 3

【解析】 试题分析: (1)此小题考查用空间向量解决线面角问题,只需找到面的法向量与线的方向向 量,注意用好如下公式: sin ? ?| cos ? BC , n ? | ,且线面角的范围为: [0,

]; (2)此小 2 题考查的是用空间向量解决面面角问题,只需找到两个面的法向量,但由于 F 点坐标未知,
可先设出,利用二面角 B ? FC1 ? C 的大小是 45 ? ,求出 F 点坐标,从而可得到 AF , FA 1的 长度,则易求出其比值. 试题解析:

?

?

?

z A1

C1

B1

F A
C
y

x

B

如 图 , 以 点

A 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 依 题 意 得

A(0,0,0), B(2,0,0), C(0, 2,0), A1 (0,0, 4), C1 (0, 2, 4) , ⑴ 因 为 F 为 中 点 , 则

F( 0 , 0 B , ? 2 F)? ,

( 1B 2C ? , 0?, 2 ) , B ? C ( ?, 2 , 2 , 4 ) ,

(

2 , 2 , 0 )

31

设 n ? ( x, y, z) 是 平 面 BFC1 的 一 个 法 向 量 , 则 ?

? ?n ? BF ? ?2 x ? 2 z ? 0 ? ?n ? BC1 ? ?2 x ? 2 y ? 4 z ? 0

,得

x ? ?y ? z ,取 x ? 1 ,则 n ? (1, ?1,1) ,设直线 BC 与平面 BFC1 的法向量 n ? (1, ?1,1) 的
夹角为 ? ,则 cos ? ?

BC ? n ?4 6 ,所以直线 BC 与平面 BFC1 所成角的 ? ?? 3 | BC | ? | n | 2 2 ? 3

正弦值为

6 ; 3

⑵设 F (0,0, t )(0 ? t ? 4), BF ? (?2,0, t ), BC1 ? (?2,2,4) ,设 n ? ( x, y, z) 是平面 BFC1 的 一个法向量, 则?

? ?n ? BF ? ?2 x ? tz ? 0 ? ?n ? BC1 ? ?2 x ? 2 y ? 4 z ? 0

, 取z ? 2, 则 n ? (, tt ? 4 ,2 )

,AB ? (2,0,0)

是平面 FC1C 的一个法向量, cos ? n, AB ??

n ? AB 2t 2 ? ? ,得 2 | n | ? | AB | 2 t 2 ? (t ? 4) 2 ? 4

t?

5 5 3 AF 5 ,即 AF ? , FA1 ? ,所以当 ? 时,二面角 B ? FC1 ? C 的大小是 45 . 2 2 2 FA1 3

考点:运用空间向量解决线面角与面面角问题,要掌握线面角与面面角的公式,要注意合理 建系. 18. (1)详见解析; (2)二面角 B ? AD ? E 的大小是 【解析】 试题分析: (1)求证: DE ? 平面 ACD ,证明线面垂直,先证线线垂直,即证线和平面内 两条相交直线垂直,由已知可得 DE ? DC ,只需证明 AC ? DE ,或 AD ? DE ,由已知 平面 ABC ? 平面 BCDE ,只需证明 AC ? BC ,就得 AC ? 平面 BCDE ,即 AC ? DE ,

? . 6

? 2, 在 直 角 梯 形 B C D E中 , 易 求 BC ? 2 , 从 而 满 足 而 由 已 知 A C? 2 , A B
2 2 A B2 ? A C ? BC ,即得 AC ? BC ,问题得证; (2)求二面角 B ? AD ? E 的大小,可用

传统方法, 也可用向量法, 用传统方法, 关键是找二面角的平面角, 可利用三垂线定理来找, 但本题不存在利用三垂线定理的条件, 因此利用垂面法, 即作 BF ? AD , 与 AD 交于点 F , 过点 F 作 FG DE , 与 AE 交于点 G , 连结 BG , 由 (1) 知,DE ? AD , 则 FG ?AD , , 所以 ?BFG 是二面角 B ? AD ? E 的平面角,求出 BFG 的三条边,利用余弦定理,即可

32

求出二面角 B ? AD ? E 的大小,用向量法,首先建立空间坐标系,先找三条两两垂直的直 线作为坐标轴,观察几何图形可知,以 D 为原点,分别以射线 DE , DC 为 x , y 轴的正半轴, 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz , 写 出 个 点 坐 标 , 设 出 设 平 面 ADE 的 法 向 量 为

m ? ? x1 , y1 , z1 ?

,平面 ABD 的法向量为

n ? ? x2 , y2 , z2 ?

,求出它们的一个法向量,利用法

向量的夹角与二面角的关系,即可求出二面角 B ? AD ? E 的大小.

? 1 , CD ? 2 得 , B D ? B C ( 1 ) 在 直 角 梯 形 BCDE 中 , 由 D E ? B E ? 2 ,由
2 2 2 ,则 AB ? AC ? BC ,即 AC ? BC ,又平面 ABC ? 平面 BCDE , A C? 2 , A B ? 2

从而 AC ? 平面 BCDE ,所以 AC ? DE ,又 DE ? DC ,从而 DE ? 平面 ACD ; (2)方法一:作 BF ? AD ,与 AD 交于点 F ,过点 F 作 FG DE ,与 AE 交于点 G , 连结 BG ,由(1)知, DE ? AD ,则 FG ? AD , ,所以 ?BFG 是二面角 B ? AD ? E 的
4 6

平面角,在直角梯形 BCDE 中,由 CD ? BD ? BC 2 ,得 BD ? BC ,又平面 ABC ? 平
2 2
2

AC ? CD , BD ? AB , 面 BCDE , 得 BD ? 平面 ABC , 从而, 由于 AC ? 平面 BCDE , 得:
20 15 10 5 5 10 15

20

在 Rt ACD 中,由 CD ? 2 , AC ? 2 ,得 AD ? 6 ,
2 4

A
6

F D G E B C

8

10

12

14

16

t A B D 在 Rt AED 中,DE ? 1 ,AD ? 6 , 得 AE ? 7 , 在R
18

中,BD ? 2 ,AB ? 2 ,

AD ? 6 ,得 BF ?

2 2 2 3 , AF ? AD ,从而 GF ? ,在 ABE , ABG 中,利用余弦 3 3 3












c

5 7 ? oB s A ? E 1 4

2 , B?,G 在 3

BFG





2 ? GF 2 ? BF ?2BG 3 ,所以 ?BFG ? ,即二面角 B ? AD ? E 的大小 c ? o BFG s ? ? 6 2 BF ? GF 2



? . 6
33

方法二: 以 D 为原点, 分别以射线 DE , DC 为 x , y 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系 D ? xyz 如 图 所 示 , 由 题 意 可 知 各 点 坐 标 如 下 :

D ?0

, ? 0? E ,

?0 ?

, C

?

1

?

,

0A ,

?

?

0

?

, 0 面 , ADE 2 的 , 法0向 量 ,为 ,B 设平

0

,

2

,

m ? ? x1 , y1 , z1 ? , 平 面 ABD 的 法向 量为 n ? ? x2 , y2 , z2 ? , 可 算 得 AD ? 0,? 2,?
? ?0 ?m ? A D DB ? ?1,1, 0 ? , AE ? 1, ?2, ? 2 , 由 ? 得, m ? A E ? 0 ? ?

?

2,

?

?

?

? ? 0 ? 2 y1 ? 2 z1 ? 0 ,可取 ? x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 1 1 1

?n ? A D? 0 ? 0 ? 2 y2 ? 2 z 2 ? 0 ? ? m ? 0,1, ? 2 , 由 ? 得, ? , 可 取 n ? 1, 1, 2 , 于 是 x ? y ? 0 ? n ? B D ? 0 ? ? 2 2 ?

?

?

?

?

3 ,由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角 B ? AD ? E 的大小 cos? m, n? ? ? 2 m n
2

m? n

4



? . 6
20

15

10

5

5

10

15

20

2

Z

4

A
6

8

D E x

C
10

Y
12

B

14

点评:本题主要考查空间点,线,面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用 ,同 时考查空间想象能力,与推理论证,运算求解能力.
18

16

19. (1)证明过程详见解析; (2)证明过程详见解析; (3)

6 . 6

【解析】 试题分析:本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二 面角等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,作出辅助

1 CD ,结合 2 已知条件, 可证出四边形 ABMN 为平行四边形, 所以 BM / / AN , 利用线面平行的判定, 得 BM
线 MN,N 为 DE 中点,在 ?EDC 中,利用中位线得到 MN / / CD ,且 MN ? ∥平面 ADEF ;第二问,利用面面垂直的性质,判断 ED ? 面 ABCD ,再利用已知的边长, 可证出 BC ? BD ,则利用线面垂直的判定得 BC ? 平面 BDE,再利用面面垂直的判定得平 面 BCE ? 平面 BDE ;第三问,可以利用传统几何法证明二面角的平面角,也可以利用向 量法建立空间直角坐标系,求出平面 BEC 和平面 ADEF 的法向量,利用夹角公式计算即可. (1)证明:取 DE 中点 N ,连结 MN , AN .
34

在△ EDC 中,

M , N 分别为 EC, ED 的中点,所以 MN ∥ CD ,且

1 1 CD .由已知 AB ∥ CD , AB ? CD ,所以 2 2 MN ∥ AB ,且 MN ? AB .所以四边形 ABMN 为平行四边形, 所以 BM ∥ AN . 又因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF , 所以 BM ∥平面 ADEF . 4分 (2)证明:在正方形 ADEF 中, ED ? AD .又因为 平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD .所以 ED ? BC . 6分 MN ?
在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,可得 BC ? 2 2 . 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2 2, CD ? 4 ,所以 BC ? BD . 所以 BC ? 平面 BDE . 8分 又因为 BC ? 平面 BCE ,所以平面 BDE ? 平面 BEC . (3) (方法一)延长 DA 和 CB 交于 G . 7分

9分

在平面 ADEF 内过 A 作 AK ? EG 于 K ,连结 BK .由平面 ADEF ? 平面 ABCD ,

AB ∥ CD , AD ? CD ,平面 ADEF ? 平面 ABCD = AD ,
得 AB ? 平面ADEF,于是 AB ? EG . 又 AB ? AK ? A , EG ? 平面 ABK ,所以 BK ? EG ,
35

于是 ?BKA 就是平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的 平面角. 12 分 由 Rt ?AKG

Rt ?EDG,

AK AG 2 5 ? , ED ? AG ? 2, GE ? 2 5 ,得 AK ? . DE GE 5

又 AB ? 2 ,于是有 KB ?

AK 2 ? AB2 ?

2 30 . 5

2 5 AK 6 ? 5 ? 在 Rt ?AKB 中, cos?BKA ? . BK 2 30 6 5
所以平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为

6 . 6

14 分

(方法二)由(2)知 ED ? 平面 ABCD ,且 AD ? CD . 以 D 为原点, DA, DC , DE 所在直线分别为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系.

易得

平 B( 2 , 2 , 0 C ) , ( 0 , 4 ,E 0 ) , ( 0. ,0 ,面 2 ) A D E F的 一 个 法 向 量 为 m ? (0,1,0) . 设

n ? ( x, y, z ) 为 平 面 BEC 的 一 个 法 向 量 , 因 为 BC ? (?2, 2,0), , CE ? (0, ?4, 2) 所 以

??2 x ? 2y ? 0 ,令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? 2 . ? ??4 y ? 2 z ? 0
所以 n ? (1,1, 2) 为平面 BEC 的一个法向量. 设平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角为 ? . 则 cos ? ? 12分

| m ?n| 1 6 . 所以平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余 ? ? | m | ? | n | 1? 1 ? 1 ? 4 6
14 分
36

弦值为

6 . 6

考点:中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角. 20. (1)详见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1)连接 AF ,利用平行线的传递性结合 AB ? 2 EF 得到 FG //

1 . 2

1 AD ,再利用 2

点 M 为 AD 的中点得到 FG// AM ,从而证明四边形 AFGM 为平行四边形,从而得到

GM //AF ,最终结合直线与平面的判定定理证明 GM // 平面 ABFE ; (2)建立以点 A 为坐
标原点,以 AC 、 AD 、 AE 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴的空间直角坐标系 A ? xyz ,利 用空间向量法来求二面角 A ? BF ? C 的余弦值. 试题解析: (1)

EF //AB , FG //BC , EG //AC , ?ACB ? 90 ,

??EGF ? 90 , ?ABC

?EFG ,

由于 AB ? 2 EF ,因此 BC ? 2FG . 连接 AF ,由于 FG //BC , FG ?

1 BC , 2

1 BC , 2 因此, FG //AM 且 FG ? AM ,所以四边形 AFGM 为平行四边形,? GM //FA , 又 FA ? 平面 ABFE , GM ? 平面 ABFE ,? GM // 平面 ABFE ;
在平行四边形 ABCD 中, M 是线段 AD 的中点,则 AM //BC ,且 AM ? (2)

?ACB ? 90 ,??CAD ? 90 ,

又 EA ? 平面 ABCD ,? AC 、 AD 、 AE 两两垂直。 分别以 AC 、 AD 、 AE 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系

A ? xyz ,

37

则 A? 0,0,0? 、 B ? 2, ?2,0 ? 、 C ? 2,0,0? 、 D ? 0,0,1? , 故 AB ? ? 2, ?2,0 ? , BC ? ? 0, 2,0 ? ,又 EF ? 设平面 BFC 的法向量 m ? ? x1 , y1 , z1 ? , 则?

1 AB ,? F ?1, ?1,1? , BF ? ? ?1, 1, 1? . 2

? ?m ? BC ? 0 ? ? m ? BF ? 0

,? ?

? y1 ? 0 ,取 z1 ? 1,得 x1 ? 1 ,所以 m ? ?1,0,1? , x ? z ? 1 1

设平面 ABF 的法向量 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

? ? x2 ? y2 ? n ? AB ? 0 ,∴ ? ,取 y2 ? 1 ,得 x2 ? 1 ,所以 n ? ?1,1,0? , ? z ? 0 n ? BF ? 0 ? 2 ? ?
所以 cos m , n ?

m?n m?n

?

1 2
1 . 2

故二面角 A ? BF ? C 的余弦值为

考点:1.直线与平面平行;2.利用空间向量法求二面角

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