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2012线性代数试卷A答案


安徽农业大学经济技术学院 2011-2012 学年第二学期
教师: 线

《 线性代数

》试卷(A 卷)标准答案
四 五 总 分

考试形式: 闭卷笔试,2 小时 适用专业: 工科 学时: 40 题 号 一 二 三 得 分

得分

评阅人

/>一.选择(共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

学号:

1. 设方阵 A 可逆,则下面陈述不正确的是( D) . (A)A 的行列式不为零; (B)A 的列向量线性无关;

(C)用初等变换可以把 A 变为单位矩阵;

订 姓名:

(D)若 B 是 A 的逆矩阵, AB ? BA . 2.设 A 为 m ? n 矩阵,齐次线性方程组 Ax ? 0 仅有零解的充分条件是( A). (A) A 的列向量组线性无关;(B) A 的列向量组线性相关; (C) A 的行向量组线性无关;(D) A 的行向量组线性相关. 3.设向量组 ? 1 , ? 2 , ?? r 线性相关,则( A ). (A) (B) (C) (D) 向量组中存在某一向量可由其余向量线性表示; 向量组中任一向量可由其余向量线性表示; 向量组中只有一个向量可由其余向量线性表示; 上述三种说法皆不正确. C ).

4. 设 M 是 n 阶方阵,若 M ? 0 ,则矩阵 M 中(

专业班级:

(A) 必有一行元素全为 0 (B) 必有两行元素对应成比例 (C) 必有一行向量是其余行向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行向量 的线性组合。
? a11 5. 设 A ? ? ?a 21 ? ? a 31 a12 a 22 a 32 a13 ? ? a11 ? a 23 ? , B ? PA ? ? ? a 31 ? a 33 ? ? ?a 21 a12 a 32 a 22 a13 ? a 33 ? ?则P ? a 23 ? ?





B



学院:

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?1 ? ? ? (A) P ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ?1 ? ? (C) P ? ? 1 1? ? ? ? 1 1 ? ?

?1 ? ? (B) P ? ? 0 1? ? ? ? 1 0 ? ? ?1 1 ? ? (D) P ? ? ? 0 ? ? 0? ?1 ?

得分

评阅人

二.填空(共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
?1 ?1 ? ?1 1? T ? ? 1? ,则 A A ? ?1 1 ? ?

1.设 A 为 3 ? 1 矩阵,若 AAT ? ? ??1 1
0 ?1 0 1

3

.

1

2. 已知 3 阶行列式 aij ? 1
?1

元素 a 21 的代数余子式 A21 = ?1 ,
0

1

.

3.设向量组 ? 1 =( k ,1,1), ? 2 =(1,-2,1), ? 3 =(1,1,-2),线性相关,则数

k =-2__.
4.已知四阶方阵 A ? (? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) 且 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,? 4 ? 2?1 ? ? 2 。则方 程组 Ax ? 0 的通解为
k (2,?1,0,?1)T . ? 1 3

5. 设 A 为 5 阶方阵,且|A|=3,则 | ? A ?1 | = 评阅人

.

得分

三.计算(共 3 小题, ,共 42 分)
1? a 1 1? a 1 1 1 1 1? a 1 1 1 1 1? a

1.(10 分)计算行列式

D4 ?

1 1 1

.

第 2页共 4页

1 解: D 4 ? (4 ? a) 1 1

1 1 1

1 1 1? a 1

1 1 1 1? a ? (4 ? a)

1 1 1 1 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a ? a 3 (4 ? a)

1 1? a

? 1 -1 0 ? ? ? 2.(10 分)设 A ? ? 0 1 - 1? ,且 AX ? 2 X ? A, 求 X . ? -1 0 1 ? ? ? 解: 由 AX ? 2X ? A 得: ?1 ?1 A - 2E ? 0 ?1 0 0 故 (A - 2E )可逆, X ? (A - 2E) -1 A ?1 1 0 0 ? ?1 0 0 ? ? ? 1? ? ? 0 1 0 ? 1? ? ?0 0 1 ? 1? ? ?1 0 1? 1 ?1 0 ? ? 0 1 ?1 1 0 ?1 ? 1 ? 1 ? ?2, (A - 2E)X ? A

??1 ?1 0 ? ( A - 2E A) ? ? 0 ? 1 ? 1 ??1 0 ?1 ? 1 ? 1? ?0 ? ? 从而 X ? ? ? 1 0 1? ? 1 ?1 0 ? ? ?

? x1 ? x 2 ? ax3 ? ?1 ? 3.(15 分)已知方程组 ? x1 ? x 2 ? 2 x3 ? ?1 有无穷多解,求 a ,并求其通解. ?? x ? ax ? x ? a 2 2 3 ? 1 1 1 a ?1 ? 1 a ? 1? ? ?1 ? ? ? ? a 解: (A ? b) ? ? 1 ? 1 2 ? 1? ? ? 0 1 ?1 0 ? 2 ? ? ?1 a 1 a2 ? ? 2 ? ? ? ? 0 0 ( a ? 4 )( a ? 1 ) a ? 1 ? ? 当a ? ?1时, R(A) ? R(A ?b) ? 2 ? 3, 方程组有无穷多解,且 1 ? 1 ? 1? ? 1 1 ?1 ? ? ? (A ? b) ? ? 1 ? 1 2 ? 1? ? ? 0 1 ? ? ?1 ?1 1 1? ? ? ? ?0 0 1 3 通解为: x ? (?1 ? k , k , k ) T 2 2
得分

?1 ?3 2 0

? 1? ? 0 ?, ? 0? ?

评阅人

四.证明(共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分)

1. 设方阵 A 满足

第 3页共 4页

A 2 ? A ? 2 I ? 0, 证明:A及A ? 2 I都可逆, 并求A ?1及( A ? 2 I ) ?1。

2.已知向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,证明 ? 1 ? ? 2 , ? 2 ? 2? 3 , ? 3 ? 3? 1 线性无关.
证明:设一组数 k1,k 2,k 3,使k1 (? 1 ? ? 2 ) ? k 2 (? 2 ? 2? 3 ) ? k 3 (? 3 ? 3? 1 ) ? 0 即 (k1 ? 3k 3 )? 1 ? (? k1 ? k 2 )? 2 ? (?2k 2 ? k 3 )? 3 ? 0 ? k1 ? 3k 3 ? 0 ? 因为? 1,? 2,? 3线性无关,故有其次方 程? ? k1 ? k 2 ? 0 ?? 2 k ? k ? 0 2 3 ? 1 0 ?3 其系数行列式 ? 1 0 1 ?2 0 ? ?5 1

故齐次方程只有零解 k1 ? k 2 ? k 3 ? 0, 所以向量组 ? 1 ? ? 2,? 2 ? 2? 3,? 3 ? 3? 1线性无关

第 4页共 4页


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