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第二节 随机变量及其分布


第二节 随机变量及其分布
为了对随机试验进行全面和深入的研究,从中揭示出客观存在的 统计规律性,我们常把随机试验的结果与实数对应起来,即把随机试 验的结果数量化,引入随机变量的概念。随机变量的概率论与数理统 计的最基本的概念之一。 2.1 随机变量的概念 在随机现象中,许多随机试验的结果是可以用数量表示的。有些 随机试验的结果虽然与数量没有直接关系,但是却可以将其结要数

量 化。 例 1 设有 10 件产品,其中正品 5 件,次品 5 件。现从中任取 3 件产品,问这 3 件产品中的次品数是多少? 显然,次品数可以是 0,1,2,3,即试验结果是数量性的。我们 用 X 表示取到 3 件产品中的次品件数,则可以分别用 X ? 0, 1, 2, 3 表 示这 3 件产品中没有次品、有一件次品、有两件次品和有 3 件次品。 这里 X 是一变量,它究竟取什么值与试验的结果有关,即与试验的样 本空间的基本事件有关。用 ? 表示试验的样本空间,用 ? 表示样本空 间中的元素即基本事件,并记成 ? ? {?} 。例 1 中试验的样本空间为

? ? {?} ={没有次品,有 1 件次品,有 2 件次品,有 3 件次品},因此,
可把变量 X 看作定义在样本空间 ? 上的函数:

? 0, ? ?" 没有次品“ ? ? 1, ? ? “有1件次品” X ?? ?2, ? ? “有2件次品” ? ? 3, ? ? “有3件次品”
从而可以记为 X ? X (? ) 。 由于基本事件是随机出现的, 因此 X (? ) 的 取值也是随机出现的,称 X (? ) 为随机变量。 例 2 抛掷一枚硬币,观察出现的正反面的情况。 该试验只有两个可能的结果:出现正面和出现么面,即

? ? {?} ={出现正面,出现反面}
很明显,试验结果是非数量性的,与数量没有直接关系。为了研究的 需要,我们可以用一个数来代表一个试验结果,例如用 1 代表出现正 面,用 0 代表出现反面。可设

? 1, ? ?"出现正面” X ? X (? ) ? ? ?0, ? ? “出现反面”
X 是定义在样本空间 ? 上的函数,也是一随机变量。
下面我们给出随机变量的定义。 定义 2.1 设试验 E 的样本空间 ? ? {?} ,如果对每一个 ? ? ? , 有一个实数 X (? ) 与之对应,得到一个定义在 ? 上的单值实值函数

X (? ) ,称 X (? ) 为随机变量,并简记为 X 。
随机变量随着试验结果的不同而取不同的值,它是根据试验结果 取值的变量。现实中的随机变量很多,例如,某地区每年的降雨量; 掷一枚 子出现的点数;炮弹落地点与目标之间的距离;某工厂生的灯 泡的寿命等。 引入随机变量后,随机事件就可以用随机变量来表示。这样,对 随机事件的研究就转化为对随机变量的研究。由于有了数量化的随机 变量,从而就有可能帮助我们使用微积分和线性代数等工具来研究随 机试验。 随机变量按照其取值的不同,一般分为两类。一类称为离散型随 机变量,一类称为连续型随机变量。 2.2 离散型随机变量 1.基本概念 定义 2.2 对于随机变量 X ,如果它只可能取有限个或可列个值, 则称 X 为离散型随机变量。 如例 1 中的随机变量 X 所有可能的取值是 4 个,而例 2 中的随机 变量 X 可能的取值是 2 个,这是属于有限个值的情况,它们都是离散 型随机变量。又例如,一射手向某一目标射击,直到击中该目标时的 射击次数是个随机变量,它所有可能的取值是 1 , 2 , 3 ,? ,是属于可列

个值的情况,它也是离散型随机变量。 设离散型随机变量 X 所有可能的取值是 x1 , x2 ,?, xk ,? , 为了完 全地描述随机变量 X ,除了知道 X 可能的取值以外,还要知道 X 取 各个值的概率。设

P{X ? xk } ? pk (k ? 1, 2,?) ,
称(2.1)式为离散型随机变量的概率分布或分布律。 离散型随机变量的分布律具有下列性质: (1) p k ≥0, k ? 1, 2,? (2)

(2.1)

(2.2)

?p
k ?1

?

k

? 1。

(2.3)

分布律也可以用表格的形式表示:

X
P

x1

x2

x3
p3

? ?

xk pk

? ?

p1

p2

它比较直观地表示了随机变量 X 取各个值的概率规律。 例 3 讨论例 1 中的随机变量 X 的概率分布。 解 X 是表示取出的 3 件产品中的次品数,它所有可能取的值是 0 , 1 , 2 , 3 。下面分别计算 P{ X ? 0} , P{X ? 1} , P{ X ? 2} 和

P{ X ? 3} 。
显然这是一古典概型,容易计算出
3 C5 1 P{X ? 0} ? 3 ? , C10 12 1 C52 C5 5 ? 3 12 C10 1 2 C5 C5 5 , P{X ? 1} ? ? 3 12 C10 3 C5 1 ? 3 C10 12

P{ X ? 2} ?

P{ X ? 3} ?

它们满足(2。2)和(2。3)式。 X 的概率分布写成表格形式为

X P

0

1

2

3

1 12

5 12

5 12

1 12

例 4 一射手对靶连续不断地进行射击,直到第一次击中为止,如 每次射击命中的概率为 p ,试求所需射击次数 X 的概率分布。 解 首先确定 X 的可能取值, 然后再定出取这些值的概率, 易知 X

的可能取值是 1,2,?,现计算 P{X ? i} 的值,由于事件 { X ? i} 表 示射手第 i 次射击首次命中目标,而前 i ? 1 次射击均未命中,所以

P{X ? i} ? pqi ?1 , i ? 1, 2, ?,
其中 q ? 1 ? p 。故 X 的概率分布为

X

1
p

2
pq

? ?

n
pq n ?1

? ?

P{X ? i}

2.常见离散型随机变量的概率分布 (1)两点分布 若随机变量 X 的概率分布为

P{ X ? 1} ? p , P{ X ? 0} ? 1 ? p ? q ,其中 0 ? p ? 1
则称随机变量 X 服从两点分布(或 (0 ? 1) 分布) ,记为 X ~ (0 ? 1) 。 例 5 袋内装有 5 个白球,6 个红球,从中摸出两球,记

两球全红, ?0 , X ?? ?1 , 两球非全红,
显然 X 服从两点分布,其概率分布为 P{ X ? 0} ?

3 , 11

P{ X ? 1} ?

8 。 11

(2)二项分布 设随机试验 E 重复进行 n 次,且满足: 1)每次试验只有两个可能的结果 A 和 A ,且

P( A) ? p,

P( A) ? 1 ? p ? q ,

(0 ? p ? 1) ;

2)每次试验的结果互不影响。 具有以上特点的试验称为 n 重贝努里试验。 n 重贝努里试验是一种很重要的数学模型,有着广泛的应用。以 X 表示 n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数,则 X 是一个随机变量,且 其概率分布为
k k P{X ? k} ? Cn p (1 ? p) n?k

k ? ( 0 , 1, 2 , n 。 , )

其中 0 ? p ? 1。我们称这种分布为以 n 、 p 为参数的二项分布,若随 机变量 X 服从以 n 、 p 为参数的二项分布,则可记为 X ~ b(n, p) 。 显然,两点分布就是二项分布在 n ? 1 时的特殊情况。 例 6 设一批产品共 2000 个,其中有 40 个次品。采取有放回抽样 的方式随机抽取 100 个样品,求样品中次品数 X 的概率分布。 解 从产品中任取一件为次品的概率 p ? 0.02 ,采用有放回抽样方 式,每一次是否取到次品是相互独立的,因此样品中次品数 X 的可能 取值为 0,1,2,?,40,且
k P{X ? k} ? C40 (0.02) k (1 ? 0.02) 40?k ,

k ? 0, 1, 2,?, 40。

3.泊松分布 若随机变量 X 的概率分布为

P{ X ? k} ?

?k
k!

e ??

(k ? 0, 1, 2,?, )

其中 ? ? 0 为常数,则称 X 服从参数为 ? 的泊松分布,记为

X ~ P(? ) 。
在客观世界中,服从泊松分布的随机变量是很常见的,如在一段时 间内,电话交换台收到的呼叫次数:一页书中印刷错误出现的个数; 公共汽车站到来的乘客数等都服从或近似服从泊松分布。 在前面的二项分布中,我们看到,当 n 很大, p 很小时,其概率 值计算起来会很困难,而此时我们有结论:当 n 很大, p 很小时,二 项分布 b(n, p ) 的概率函数近似等于泊松分布 P (? ) ( ? ? np) 的概率函 数,即
k k lim C n p (1 ? p) n ?k ? n ??

?k
k!

e ?? 。

(2.4)

例 7 某箱子中有电子元件 400 只,已知次品率为 2%,求出此箱 中至少有两只次品的概率。 解 设次品数为 X , 则有 X ~ b(400,0.02) , 所求概率为 P{ X ≥

2} ,直接使用二项分布计算很困难,利用(2。4)式可得 (? ? np ? 8)
P{ X ≥ 2} = 1 ? P{ X ? 0} ? P{X ? 1} ? 1 ? e ?8 ? 8e ?8 =0.997。
2.3 连续型随机变量 1.基本概念 在实践中有很多随机现象所出现的试验结果是不可列的。例如, 测量的误差、排队等待的时间、元器件的使用寿命等。这些随机变量 是在一个区间内连续取值的,对这类随机变量不能像离散型随机变量 那样来建立其分布律,只有知道它取值于某一区间的概率,才能掌握 其取值的概率分布情况。 定义 2.3 对于随机变量 X ,若存在非负可积函数

f ( x) (?? ? x ? ??) ,使得 X 取值于任意区间 (a, b) 的概率为

P{a ? X ? b} ? ? f ( x)dx
a

b

(2.5)

则称 X 为连续型随机变量,称 f ( x) 为 X 的概率密度函数,简称为概 率密度。

由定义可知概率密度函数 f ( x) 具有下列性质: (1) f ( x) ≥0 (2)

(?? ? x ? ??) ;

?

??

??

f ( x)dx ? P{?? ? X ? ??} ? 1 。

这些性质表明, 概率密度函数的曲线位于 x 轴的上方, 且曲线与 x 轴之间的面积恒为 1,通常我们以此来确定概率密度函数中的待定系 数。反之,若满足以上两个条件的函数 f ( x) ,则一定是某个连续型随 机变量的概率密度函数。因此,概率密度函数全面地描述了连续型随 机变量取值的概率规律。 对于连续型随机变量 X ,对任何正整数 n ,都有事件

{a ?

1 1 ? X ? a ? } 包含事件 { X ? a} ,即有 n n

P{ X ? a} ≤ P{a ?

a? 1 1 ? X ? a ? } ? ? 1n f ( x)dx , a? n n n

1

由于上式对任何正整数 n 都是成立的,当 n ? ? 时,

P{ X ? a} ≤ lim ?

1 n 1 n?? a ? n a?

f ( x)dx ? 0 。

从而有 P{ X ? a} ≤0,但概率不能小于零,于是有 P{ X ? a} =0,即 连续型随机变量取任一指定实数值 a 的概率均为零。 这样,在计算连续型随机变量 X 取值于某一区间的概率时,可以 不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间,即有

P{X ? a ? b} ? P{a ≤ X ? b} = P{a ? X ≤ b} = P{a ≤ X ≤
b }= ? f ( x)dx 。
a b

例 8 设随机变量 X 的概率密度为

? Ae ?2 x , x ? 0, f ( x) ? ? x?0 ? 0,

确定常数 A ,并求 P{X ? 1} 。 解 由概率密度的性质(2)

?

??

??

f ( x)dx ? ?
??

??

0

Ae ? 2 x dx ? A? e ? 2 x dx ?
0

??

A ?1 2

从而 A ? 2 。由(2。5)式,

P{X ? 1} ? ?

1

f ( x)dx ? ? 2e ?2 x dx ? e ?2 ? 0.1353。
1

??

2.常见的连续型随机变量的概率密度 (1)均匀分布 如果随机变量 X 的概率密度为

? 1 ? , a ? x ? b, f ( x) ? ? b ? a ? 其它, ? 0,
则称 X 服从 (a, b) 上的均匀分布,记作 X ~ U (a, b) 。 若 X 服从 (0, 1) 上的均匀分布,则称 X 为随机数,它在蒙特卡洛 方法中起着重要的作用。 例 9 秒表刻度的分划值为 0.2 秒,如果计时的精度取到邻近的刻 度整数,求使用该秒表时的误差的绝对值大于 0.05 的概率。 解 设 X 为使用该秒表时的误差,则 X 在区间 (?0.1, 0.1) 上服从 均匀分布,其密度函数

? 1 ? , ? 0 .1 ? x ? 0 . 1 f ( x ) ? ? 0 .2 , ? 0 , 其它 ?
误差的绝对值大于 0.05 秒的概率为

P{| x |? 0.05} ? ?

?0.05

? 0.1

0.1 dx dx 1 ?? ? 。 0.2 0.05 0.2 2

(2)指数分布 如要随机变量 X 的概率密度为

??e ? ?x , x ? 0, f ( x) ? ? x ? 0, ? 0,
其中 ? ? 0 为常数,则称 X 服从参数为 ? 的指数分布,记为

X ~ E (? ) 。容易验证
(1) f ( x) ≥0;

(2)

?

??

??

f ( x)dx ? ? ?e ??x dx ? (?e ??x )
0

??

?? ? 1。 0

指数分布在研究有关“寿命”一类问题中有着重要的作用,如灯 泡的寿命、动物的寿命、电话的通话时间等,都可以近似地认为服从 指数分布。 例 10 设某种产品的使用寿命 X (单位:小时)服从参数 ? ? 0.0002 的指数分布,求该产品的使用寿命超过 3000 小时的概率。 解

}, 由(2。5)式可得 所求概率为 P{ X ? 3000

P{ X ? 3000 }? ?
这里 f ( x) ? ? 于是

??

3000

f ( x)dx,

?0.0002 e ?0.0002 x , x ? 0, ] x ? 0, ?0

P{X ? 3000 }? ?

??

3000

0.0002 e ?0.0002 x dx ? e ?0.6 ? 0.5488。

(3)正态分布 如果随机变量 X 的概率密度为

1 ? f ( x) ? e 2?

( x ? ? )2 2? 2

(?? ? x ? ??) ,

2 式中 ? ? 0 ,则称 X 服从参数为 ? , ? 的正态分布,记作 X ~ N ( ?, ? ) 。

特别地, 当 ? ? 0 、? ? 1 时, 此时的正态分布称为标准正态分布,

记为 N (0,1) ,标准正态分布的密度函数记作 ? ( x) ,

1 ? x2 ? ( x) ? e , ? ? ? x ? ?? 。 2?
正态分布又称为高斯分布或误差分布。在自然现象和社会现象中, 大量的随机变量都服从或近似服从正态分布,如测量某零件长度的误 差、炮弹落点距目标的偏差、一个地区成年男性的身高、某地区居民 的年收入、产品的重量等都可近似地看作服从正态分布。一般说来, 若某一随机变量是受多种相互独立的随机因素的影响,而每一种随机 因素所起的作用又是极其微小的,哪么该随机变量就近似服从正态分 布。正态分布在概率统计的理论与应用中占有特别重要的地位。

2

f ( x)

? ?1

? ?2
图 2.1

x

对于正态分布的密度函数 f ( x ) ,它具有以下性质: (1) f ( x ) 的曲线关于 x ? ? 对称,如图所示。这表明对于任意 的 h ? 0 ,有

P{? ? h ? X ≤ ?} = P{? ? X ≤ ? ? h} 。
(2)在 x ? ? 时, f ( x ) 取得最大值

1 。 2??

(3) x 离 ? 愈远, f ( x ) 的值越小,且 x ? ?? 时, f ( x) ? 0 。 (4)对于固定的 ? 值,改变 ? 值,则曲线 f ( x ) 的图形形状将发

生变化。因为 f ( x ) 的最大值为

1 ,所以当 ? 值较小时, f ( x ) 的 2??

最大值较大,曲线高而陡;当 ? 值较大时, f ( x ) 的最大值较小,曲线 低而平。如图所示:2.1 所示。 2.4 随机变量的分布函数 1.分布函数 定义 2.3 设 X 是一个随机变量, x 是一任意实数,称函数

F ( x) ? P{ X ≤ x} ,
称为 X 的分布函数。

?? ? x ? ??

(2。6)

由上述定义可看出,分布函数 F ( x) 是定义域为 (??, ? ?) ,值域 为 [0, 1] 的函数。它具有以下性质: (1)0≤ F ( x) ≤1, ??? x ? ?? ;

F ( x) 是 x 的单调不减函数, (2) 即当 x1 ? x2 时, F ( x1 ) ≤ F ( x2 ) ;
(3) lim F ( x) ? F (??) ? 0, lim F ( x) ? F ( ??) ? 1 ;
x ??? x ???

(4) P{a ? X ≤ b} ? P{ X ≤ b} ? P{X ≤ a} ? F (b) ? F (a) 。 特别地,

P{X ? a} ? 1 ? P{X ≤ a} ? 1 ? F (a) 。
分布函数的引入,使得某些作为概率论方面的问题有可能得到简 化而转为普通函数的运算,从而高等数学中的许多结果可以作为讨论 概率规律性的有力工具。 若 X 是连续型随机变量,其概率密度为 f ( x ) ,则 X 的分布函数 为

F ( x )? ?
这是因为

x

??

f ( t) d t 。

F ( x) ? P{ X ≤ x} ? P{?? ? X ≤ x} ? ?

x

??

f (t )dt 。

可见,连续函数随机变量的分布函数 F ( x) 是以 f ( x ) 为被积函数 的为上限的广义积分,因而当 f ( x ) 给定时,通过逐段积分的方法即可 求得它的分布函数 F ( x) 。 反之,由于在 f ( x ) 的连续点上有

F ?( x) ? f ( x) ,
故当分布函数 F ( x) 给定时,通过逐段求导的方法可求得相应的概率密 度。此时 F ( x) 实际上是 f ( x ) 的原函数。 例 11 设随机变量 X 的分布律为

X
P

-1

2

3

1 2 1 2 5 求 X 的分布函数,并求 P{ X ≤ } , P{ ? X ≤ } 。 2 3 2


1 4

1 4

X 仅在 x ? ?1, 2, 3 三点处的概率不为零,而 F ( x) 的值是

X ≤ x 的累积概率值,故有

x ? ?1, ? 0, ?1 ? , ? 1 ? x ? 2, ? F ( x) ? ? 4 ? 3 , 2 ? x ? 3, ?4 ? 1, x ? 3, ?
并且

1 1 1 P{ X ≤ } ? F ( ) ? , 2 2 4

2 5 5 3 3 1 1 P{ ? X ≤ ) ? F ( ) ? F ( ) ? ? ? 。 3 2 2 2 4 4 2
例 12 已知随机变量 X 在区间 [ a, b] 上服人均匀分布, 其概率密度 为

? 1 , a ? x ? b, ? f ( x) ? ? b ? a ? 其它. ? 0
试求分布函数 F ( x) 。 解 当 x ? a 时,有

F ( x) ? ?
当 a ? x ? b 时,有

x

??

f (t )dt ? 0 ;
1 x?a dt ? ; b?a b?a
b

F ( x) ? ?
当 x ? b 时,有

x

??

f (t )dt ? ?

x

a

F ( x) ? ?
故分布函数为

x

??

f (t )dt ? ?

a

1 dt ? 1 。 b?a

F ( x) ? ?

x

??

? 0, ?x?a ? f (t )dt ? ? , ?b ? a ? ? 1,

x ? a, a ?? b, x ? b.

2.正态分布概率的计算 对于连续型随机变量,要求其落入某区间的概率,可用分布函数或 者密度函数的积分两种方法求得。但对于正态分布,由于其概率密度 函数是不可积的,所以正态分布的概率计算需采用其他方法。 (1)标准正态分布概率的计算 通常用 ? ( x) 表示标准正态分布 N (0, 1) 的密度函数, ? ( x ) 表示

N (0, 1) 的分布函数,即

1 ? x2 ? ( x) ? e , 2?
?( x) ? P{ X ≤ x} ? ? ? (t )dt ? ?
?? x x

2

??

1 ? t2 e dt , 2?

2

这说明若随机变量 X ~ N (0, 1) , 则事件 { X ≤ x} 的概率是标准正 态分布密度曲线下小于 x 的区域面积,如图 2.2 所示的阴影部分面积。

f ( x)

? ( x)

0
图 2.2

x

x

对于事件 {a ≤ x ≤ b} ,其概率为

P {a ≤ x ≤ b} ? ?

b

a

1 ? t2 e dt ? ?(b) ? ?(a) ] 2?

2

由于 ? ( x ) 是偶函数,如图 所示,故有

?( ? x ) ? 1 ? ? ( x)
显然,若随机变量 X ~ N (0, 1) ,则求 { X ≤ x} 、 {a ≤ x ≤ b} 等 事件的概率就转化为求 ? ( x ) 的值,而 ? ( x ) 的计算是很困难的,它的 值可以通过查表来获得。 例 13 设随机变量 X ~ N (0, 1) ,求 P{ X ? 1.65} , P{1.65 ≤

X ? 2.09} 。


P{ X ? 1 . 6 5 ?(1.65) ? 0.9505 , =}

P{1.65 ≤ X ? 2.09} = ?(2.09) ? ?(1.65) ? 0.9817 ? 0.9595 ? 0.0312 。
(2)一般正态分布的概率计算 设 X ~ N ( ? , ? ) ,对任意的 x1 ? x2 ,由概率密度的定义,有
2

P{x1 ≤ X ≤ x2 } ? ?x
引入变换 y ?

x2
1

? 1 e 2??

( x ? ? )2 2? 2

dx

x??

?

,则

?

x2

x1

? 1 e 2??

( x ? ? )2 2? 2

dx ? ?

? x1 ? ? ?

x2 ? ?

x ?? x ?? 1 ? y2 e dy ? ? ( 2 ) ? ?( 1 ) ? ? 2?
x2 ? ?

2



P{x1 ≤ X ≤ x2 } ? ? (

?

) ? ?(

x1 ? ?

?

)。

因此,一般正态分布的概率的计算可以转化成标准正态分布的概率来 计算。
2 例 14 设 X ~ N (1, 0.2 ) ,求 P{ X ? 1.2} 及 P{0.7 ≤ X ? 1.1} 。



1.2 ? 1 )? ? ( 1? ) P{X ? 1 . 2? } ?( 0.2

0 . 8, 413

P{ 0 . 7 ≤
1.1 ? 1 0.7 ? 1 ) ? ?( ) ? ? (0.5) ? ? (?1.5) X ? 1.1} ? ? ( 0.2 0.2

? ?(0.5) ? 1 ? ?(1.5) ? 0.6915 ? 1 ? 0.9332
? 0.6247 。

例 15 由某机器生产的螺栓长度(单位:mm)服从参数为

? ? 100.5 ,? ? 0.6 的正态分布,规定长度范围在 100.5 ? 1.2 内为合
格品,求该机器生产的螺栓的合格率。 解 设该机器生产的螺栓长度为 X ,则 X ~ N (100.5, 0.62 ) 。因

此所求螺栓的合格率为

P{100.5 ? 1.2 ? X ? 100.5 ? 1.2} ? ?(

1.2 ?1.2 ) ? ?( ) 0.6 0.6

? 2?(2) ?1 ? 2 ? 0.9772 ? 1 ? 0.9544
习题二 1.思考并回答以下问题: (1)一个事件的概率为零,这个事件一定是不可能事件,这种说 法对吗?为什么? (2)随机变量与普通变量有什么不同?并作出随机变量的直观解 释。 (3)离散型随机变量的特点是什么?它的概率分布有什么性质? 2.有人求得一离散型随机变量的分布律为

X
P

0

1

2

1 2

1 3

1 4

试说明这个结果是否正确。 3.盒中有 5 只乒乓球,分别编号为 1,2,3,4,5 号,从中同时 取出 3 只球, 用 X 表示取出的 3 只球中的最大编号, 求 X 的概率分布。 4.设随机变量 X 的概率密度为

f ( x) ?

A 1? x2

(?? ? x ? ?? ) ,

确定常数 A ,并求 P{?1 ? X ? 1}。 5.设 X ~ N (0,1) ,求: (1) P{1.4 ? X ? 2.4} , (2) P{X ? ?1} 。 6.设打一次电话所用的时间 X (分钟)服从参数 ? ? 0.1 的指数 分布,如果某人刚好在一前面走进电话间,求你等待的时间: (1)超过 10 分钟的概率;

(2)在 10 分钟到 20 分钟之间的概率。 7.设随机变量 X 的概率密度为

?2(1 ? x), f ( x) ? ? ? 0

0 ? x ? 1, 其它.

(1)求 X 的分布函数 F ( x) ; (2)计算 P{1 / 3 ? X ? 2} 和

P{ X ? 4} 。
8.设随机变量 X 的分布函数为

?1 ? e ? x , F ( x) ? ? ?0,

x ? 0, x ? 0.

(1)求 X 的概率密度 f ( x) ; (2)计算 P{ X ? 2} 和 P{ X ? 3} 。 9.设随机变量 X 的概率分布为

X
P

0

1

3

1 4

2a

a

(1)求常数 a ; (2)求 P{ X ? 0.5} 及 P{1 ? X ? 5} ; (3)求 X 的分布函数 F ( x) 。 10.设测量从某地到某一目标的距离时,发生的误差 。 X ~ N (20,402 ) (单位:m) (1)求测量一次产生的误差的绝对值不超过 30 m 的概率; (2)如果接连测量三次,各次测量是相互独立进行的,求至少有 一次误差不超过 30 m 的概率。


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第二章 随机变量及其分布
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第2章 随机变量及其分布
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第2章随机变量及其分布习题答案
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二、随机变量及其分布(答案)
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第二章随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其概率分布
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第二章随机变量及其分布知识点
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