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肇庆2013届高中毕业班第一次模拟试题理科数学


肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数 学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 2 B.2 ? i
2

2 ?z ? z
C.2 ? i D.2 ? 2i

2.集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 9} ,则 M ? N ? A. (1,3) B. [1,3) C. (1,3] D. [1,3]

3. 已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) . ? 为实数,(b ? ?a) ? c , 若 则? ? A. ?

3 11

B. ?

11 3

C.

1 2

D.

3 5

4.公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a4 a10 ? 16 ,则 a6 = A.1 B.2 C.4 D.8

5.某程序框图如图 1 所示,则输出的结果 S= A.26 B.57 C.120 D.247

( 6.下列函数中,既是偶函数又在区间 0, ??) 上单调递增的函数为
A. y ? x
?1

B. y ? log 2 x

C. y ?| x |

D. y ? ? x

2

7.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图 2 所示,则其侧视图的面积为 A.

6 4


B.

6 2

C.

2 2


D. 2

8.在实数集 R 中定义一种运算“ ? ” ,具有性质:①对任意 a, b ? R, a ? b ? b ? a ;②对 任

a ? R, a ? 0 ? a









1 a, b, c ? R,(a ? b) ? c ? c ? (ab) ? (a ? c) ? (b ? c) ? 2c ;函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) x
的最小值为 A. 4 B.3 C. 2 2 D.1

1

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 | x ? 2 | ? | x |? 4 的解集是______________. 10. 2 个好朋友一起去一家公司应聘,公司人事主管通知他们面试时间时说: “我们公司要 从面试的人中招 3 个人,你们都被招聘进来的概率是 的人有______________个(用数字作答). 11.若圆 x 2 ? y 2 ? mx ?

1 ” .根据他的话可推断去面试 70

1 ? 0 与直线 y ? ?1 相切,其圆心在 y 轴的左侧,则 m=_______. 4

12.在 ?ABC 中, AC ? 7 ,BC=2,?B ? 60? ,则 ?ABC 的面积等于_______________.

? x ? 0, ? y ? 0, ? 13.已知不等式组 ? 表示一个三角形区域(包括三角形的内部及边界) ,则实数 a ? x ? y ? 2, ?x ? y ? a ?
的取值范围为_______________.

14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t 为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 ? y ? 2 ? 4t

相交于点 B ,又点 A(1, 2) ,则 AB ? ____________. 15. (几何证明选讲选做题)如图 4,已知圆 O 的半径为 2 , 从圆 O 外一点 A 引切线 AB 和割线 AD ,C 为 AD 与圆

O 的交点,圆心 O 到 AD 的距离为 3 , AB ? 15 ,
则 AC 的长为_____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(4 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的解析式; (3)若 ? ? ? ?

?
16

时取得最大值 2.

? ? ? ,0 , ? 2 ? ?

?? ? ? 6 ? ?1 f ? ? ? ? ? ,求 sin ? 2? ? ? 的值. 4? 16 ? 5 ? ?4

2

17.(本小题满分 13 分)因台风灾害,我省某水果基地龙眼树严重受损,为此有关专家提出 两种拯救龙眼树的方案,每种方案都需分四年实施.若实施方案 1,预计第三年可以使龙眼 产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4;第四年可以使龙眼产 量为第三年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案 2,预计第三年可以 使龙眼产量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5;第四年可以使龙 眼产量为第三年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案第三年与第四 年相互独立,令 ? i ? i ? 1, 2 ? 表示方案 i 实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数. (1)写出 ξ1、ξ2 的分布列; (2)实施哪种方案,第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大? (3)不管哪种方案,如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量, 预计利润分别为 10 万元、15 万元、20 万元.问实施哪种方案的平均利润更大?

18.(本小题满分 13 分) 如图 5,PA 垂直⊙O 所在平面 ABC,AB 为⊙O 的直径,PA=AB,
BF ? 1 BP ,C 是弧 AB 的中点. 4

(1)证明:BC?平面 PAC; (2)证明:CF?BP; (3)求二面角 F—OC—B 的平面角的正弦值.

19. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,直线 2 3 a b

l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切.
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F1 ,且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l 2 垂直于 l1 ,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同的两点 R、S 在 C2 上,且满足 QR ? RS ? 0 ,求 | QS | 的取 值范围.

??? ?

3

20.(本小题满分 14 分)已知 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? 1 ,nan ?1 ? 2S n (n ? N ) .
*

(1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求数列 {an } 的通项 an ; (3)设数列 {bn } 满足 b1 ?

1 1 2 , bn?1 ? bn ? bn ,求证:当 n ? k 时有 bn ? 1 . 2 ak

21. (本小题满分 14 分)若 f ( x ) ? ?

? x 2 ? a (ln x ? 1)(0 ? x ? e) ? ,其中 a ? R . 2 ? x ? a (ln x ? 1)( x ? e) ?
2

(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 在区间 [e, e ] 上的最大值; (2)当 a ? 0 时,若 x ? ?1,??? , f ( x) ?

3 a 恒成立,求 a 的取值范围. 2

4

肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数
一、选择题

学(理科)参考答案
4 B 5 B 6 C 7 A 8 B
2

题号 答案

1 D

2 C

3 A

3 ?1? 7A 解析:侧视图的底边长为边长为 1 的正三角形的高,长度为 a ? 1 ? ? ? ? ,侧视图的 2? 2 ?

高为 2 ,所以其面积为 S ? ?

8B 解析: 根据条件③, 对于任意的 a, b, c 有 (a ? b) ? c ? c ? (ab) ? (a ? c) ? (b ? c) ? 2c , ∴取 c ? 0 得 (a ? b) ? 0 ? 0 ? (ab) ? (a ? 0) ? (b ? 0) ? 2 ? 0 得①②得 a ? 0 ? 0 ? a ? a 对任意实数 a 都成立,代入上式得: a ? b ? ab ? a ? b 这就是运算 ? 的定义,将其代入题目 检验符合①②③, ∴ f ( x) ? x ?

1 2

3 6 ? 2? 2 4

1 1 1 1 1 ? x ? ? x ? ? x ? ? 1 ? 2 x ? ? 1 ? 3 ,当且仅当 x ? 1 时“=”成立, x x x x x

即函数 f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) 的最小值为 3. x

二、填空题

9.

?? ?,?3? ? ?1,???
(??, ?2] ? [0, 2)

10. 21

11.

3
3

12.

3 3 2

13.

14.

5 2

15.

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) 的最小正周期为 T ?

2? ? ? 4 2

(2 分) (3 分)

(2)由 f ( x) 的最大值是 2 知, A ? 2 , 又 f ( x) max ? f ?

? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 2sin ? 4 ? ? ? ? ? 2 ,即 sin ? ? ? ? ? 1 , ? 16 ? ? 16 ? ?4 ?

(4 分)

∵ 0 ? ? ? ? ,∴

?
4

?

?
4

?? ?

5? ? ? ? ,∴ ? ? ? ,∴ ? ? 4 4 2 4

(5 分)

5

∴ f ( x) ? 2sin(4 x ?

?
4

)
? ?1 ? ? ?? 6 ? ? 2sin ? 4 ? ? ? ? ? ? ? , 16 ? 16 ? 4 ? 5 ? ?4

(6 分)

(3)由(2)得 f ? ? ? 即 sin(? ?

?1 ?4

? ?

?

3 3 ) ? ,∴ cos ? ? , 2 5 5
2

(7 分)

4 ?3? ? ? ? 2 ∵ ? ? ? ? , 0 ? ,∴ sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5? ? 2 ?
∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? ?
2

(8 分)

24 ? 4? 3 ?? ? ? 25 ? 5? 5

(9 分)

7 ?3? cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? 25 ?5?
2

(10 分)

∴ sin ? 2? ? 分)

? ?

??

? ? 24 2 7 2 17 2 ? ? ?? ? ? sin 2? cos ? cos 2? sin ? ? ? 4? 4 4 25 2 25 2 50

( 12

17. (本小题满分 13 分) 解: (1)ξ1 的分布列为

ξ1 P1

0.8 0.2

0.9 0.15

1.0 0.35

1.125 0.15

1.25 0.15
(3 分)

ξ2 的分布列为

ξ2 P2

0.8 0.3

0.96 0.2

1.0 0.18

1.2 0.24

1.44 0.08
(6 分)

(2)由(1)可得 ξ1>1 的概率 P(ξ1>1)= 0.15 + 0.15 = 0.3, ξ2>1 的概率 P(ξ2>1)= 0.24 + 0.08 = 0.32, ∵P(ξ2>1)>P(ξ1>1) ,∴实施方案 2,第四年产量超过灾前概率更大. (3)设实施方案 1、2 的平均利润分别为利润 A、利润 B,根据题意, 利润 A =(0.2 +0.15)×10 + 0.35×15 +(0.15 + 0.15)×20 = 14.75(万元) 利润 B =(0.3 + 0.2)×10 + 0.18×15 + (0.24 + 0.08)×20 = 14.1(万元) ∵利润 A>利润 B,∴实施方案 1 平均利润更大.

(7 分) (8 分) (9 分)

(10 分) (11 分) (13 分)
6

18. (本小题满分 13 分) (1)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC?PA. (1 分) ∵?ACB 是直径所对的圆周角, ∴ ?ACB ? 90o ,即 BC?AC. (2 分) 又∵ PA ? AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC . (3 分) (2)证明:∵PA?平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC?PA. (4 分) ∵C 是弧 AB 的中点, ∴?ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又 O 是 AB 的中点,∴OC?AB. (5 分) 又∵ PA ? AB ? A ,∴ OC ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴ BP ? OC . (6 分) 设 BP 的中点为 E,连结 AE,则 OF // AE , AE ? BP ∴ BP ? OF . (7 分) ∵ OC ? OF ? O ,∴ BP ? 平面 CFO . 又 CF ? 平面 CFO ,∴ CF ? BP . (8 分) (3)解:由(2)知 OC ? 平面 PAB ,∴ OF ? OC , OC ? OB , ∴ ?BOF 是二面角 F ? OC ? B 的平面角. 又∵ BP ? OF , ?FBO ? 450 ,∴ ?FOB ? 450 , ∴ sin ?FOB ?
2 2 ,即二面角 F ? OC ? B 的平面角的正弦值为 . 2 2

(9 分) (10 分) (12 分) (13 分)

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由直线 l : y ? x ? 2 与圆 x ? y ? b 相切,得
2 2 2

|0?0?2| ? b ,即 b ? 2 . (2 分) 2
(3 分)

由e ?

b2 2 3 2 ,得 2 ? 1 ? e ? ,所以 a ? 3 , 3 a 3

x2 y 2 所以椭圆的方程是 C1 : ? ? 1. 3 2

(4 分)

(2) 由条件, | MF2 |?| MP | , 知 即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距离, 由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y ? 4 x .
2

(7 分)

(3)由(2) ,知 Q(0,0) ,设 R ?

? y12 ? ? y2 ? , y1 ? , S ? 2 , y2 ? , ? 4 ? ? 4 ?
(8 分)

∴ QR ? ?

??? ?

? ? y12 ? ??? ? y 2 ? y12 ? , y1 ? , RS ? ? 2 , y2 ? y1 ? ? 4 ? ? 4 ?

7

由 QR ? RS ? 0 ,得

2 y12 ? y2 ? y12 ?

16
? ?

? y1 ? y2 ? y1 ? ? 0

(9 分)

∵ y1 ? y2 ,∴ y2 ? ? ? y1 ?

16 ? ?, y1 ?

∴ y2 ? y1 ?
2 2

256 256 256 ? 32 ? 2 y12 ? 2 ? 32 ? 64 ,当且仅当 y12 ? 2 ,即 y1 ? ?4 时等号成 2 y1 y1 y1

立. (11 分)
2 2 ??? ? ? y2 ? 1 2 又 | QS |? ? ? ? y2 ? 4 ? 4 ?

?y

2 2

? 8? ? 64
2

(12 分)

2 2 ∵ y2 ? 64 ,∴当 y2 ? 64 ,即 y2 ? ?8 时, | QS |min ? 8 5

??? ?

(13 分) (14 分)

故 | QS | 的取值范围是 ?8 5, ?? .

??? ?

?

?

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 a1 ? 1, nan ?1 ? 2S n (n ? N ) 得 a2 ? 2a1 ? 2 ,
?

(1 分) (2 分) (3 分)

a3 ? S2 ? a1 ? a2 ? 3 ,
由 3a4 ? 2S3 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) 得 a4 ? 4 (2)当 n ? 1时,由 nan ?1 ? 2S n ① ,得 (n ? 1) an ? 2 Sn ?1 ②

(4 分)

①-②得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 2( Sn ? Sn ?1 ) ,化简得 nan ?1 ? (n ? 1)an ,



an ?1 n ? 1 ? ( n ? 1). an n a3 3 a n ? ,……, n ? a2 2 an ?1 n ? 1

(5 分)

∴ a2 ? 2 ,

(6 分)

以上( n ? 1 )个式子相乘得 a n ? 2 ? 又 a1 ? 1 ,∴ an ? n(n ? N )
?

3 n ? ?? ? n ( n ? 1) 2 n ?1

(7 分)

(8 分)
8

(3)∵ a n ? n ? 0 , b1 ?

1 2 1 bn ? bn , ? 0 , bn ?1 ? ak 2

∴ {bn } 是单调递增数列,故要证:当 n ? k 时, bn ? 1 ,只需证 bk ? 1 . (9 分) (i)当 k ? 1 时 , b1 ? (ii)当 k ? 2 时, ∵ bn ?1 ? bn ? 0 , bn ?1 ?

1 ? 1 ,显然成立; 2

(10 分)

1 2 bn ? bn , ak

∴ bn ?1 ?

1 1 1 1 ? ?? . bn?1bn ? bn ,∴ bn ?1 bn k k

(11 分)



?1 1? 1 1 ?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?? ? ? ? ??? ??? ? ??? ? ? ? ? bk ? bk bk ?1 ? ? bk ?1 bk ? 2 ? ? bk ? 2 bk ?3 ? ? b2 b1 ? b1

??

k ?1 k ?1 ?2? k k
(12 分)

∴ bk ?

k ?1. k ?1

(13 分) (14 分)

综上,当 n ? k 时有 bn ? 1 .

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? ?2 , x ? [e, e ] 时, f ( x) ? x ? 2ln x ? 2 ,
2 2

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

∵ f ?( x) ? 2 x ?

2 2 ,∴当 x ? [e, e ] 时, f ?( x) ? 0 , x
2
2

∴函数 f ( x) ? x ? 2ln x ? 2 在 [e, e ] 上单调递增,
4 故 f ( x) max ? f (e ) ? (e ) ? 2ln e ?2 ? e ? 2
2 2 2 2

(2)①当 x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?
2

a , x
(5 分) (6 分)

? a ? 0 , f ?( x) ? 0 ,∴f(x)在 [e,?? ) 上增函数,
故当 x ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? e ;
2

9

②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?
2

a 2 a a ? (x ? )( x ? ) , 分) (7 x x 2 2

(i)当

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f (x) 在区间 [1, e) 上为增函数, 2
2

当 x ? 1时, f ( x) min ? f (1) ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e) ? e ; (ii)当 1 ?

(8 分)

? ? a ? a a? ? e ,即 2 ? a ? 2e2 时, f (x) 在区间 ?1, ? 上为减函数,在区间 ? ? ? 2 , e? 2 2? ? ? ?
(9 分)

上为增函数, 故当 x ?

a a a 3a a a ) ? f (e) ? e 2 ; 分) )? ? ln ,且此时 f ( 时, f ( x) min ? f ( (10 2 2 2 2 2 2
a ? e ,即 a ? 2e2 时, f ( x) ? x 2 ? a ln x ? a 在区间[1,e]上为减函数, 2
2

(iii)当

故当 x ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? e .

(11 分)

综上所述,函数 y ? f (x) 的在 ?1,?? ? 上的最小值为 f ( x ) min

?1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 ?2 2 2 ?e 2 , a ? 2e 2 ?

(12 分)

?2 ? a ? 2e 2 , ?a ? 2e 2 , ?0 ? a ? 2, ? ? ? 由? 由 3 得 0 ? a ? 2 ; ? 3a a a 3a 得无解;? 2 3a 得无解; , , ? ? ln ? ?1 ? a ? 2 a, ?e ? ? 2 ?2 2 2 2 ?
分) 故所求 a 的取值范围是 ?0,2? . (14 分)

(13

10


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