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高中数学 第三章《三角恒等变换》测试题 新人教A版必修4


第三章《三角恒等变换》测试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.) 1.下列命题中不正确 的是( ... ).

A.存在这样的 ? 和 ? 的值,使得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? si

n ? sin ? B.不存在无穷多个 ? 和 ? 的值,使得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? C.对于任意的 ? 和 ? ,都有 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? D.不存在这样的 ? 和 ? 值,使得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 2.在△ ABC 中,若 sin A ? sin B ? cos A cos B ,则△ ABC 一定为( A.等边三角形 3. cos
4

).

B.直角三角形 )

C.锐角三角形

D.钝角三角形

? ? ? sin 4 等于( 8 8
B.

A.0

2 2

C.1 ).

D.-

2 2

4. 3 tan11? ? 3 tan19? ? tan11? ? tan19? 的值是( A. 3 B.

3 3

C.0

D.1 ).

5.若 3sin x ? 3 cos x ? 2 3 sin(x ? ? ) , ? ? ( ??, ?) ,则 ? 等于( A.-

? 6

B.

? 6

C.

5? 6

D. ?

5? 6

2 6. 在△ ABC 中,已知 tan A , tan B 是方程 3x ? 8 x ? 1 ? 0 的两个根,则 tan C 等于



). B. ? 2 C. 2 D. 4 ) .D

A. ? 4

7.要得到函数 y ? 2sin 2 x 的图象, 只需要将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 的图象 (

? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 6
A.向右平移

B.向右平移

? 个单位 12 ? D.向左平移 个单位 12
1

用心 爱心 专心

8. sin 6 ? cos24 ? sin 78 ? cos48 的值为(
? ? ? ?

). C.

A.

1 16

B. ?

1 16
).

1 32

D.

1 8

9. 2 ? sin 2 2 ? cos 4 的值等于( A. sin 2 B. ? cos 2
2

C. 3 cos2

D. ? 3 cos 2

10.已知 ? 为第二象限角, 25sin ? ? sin ? ? 24 ? 0 ,则 cos

?
2

的值为(

).

A. ?

3 5

B. ?

3 5

C.

2 2

D. ?

4 5
).

2 cos2 x ? sin 2 x 11.设 (2 cos x ? sin x)(sin x ? cos x ? 3) ? 0 ,则 的值为( 1 ? tan x
A.

8 5

B.

5 8

C.

2 5

D.

5 2

12.已知不等式 f ? x ? ? 3 2 sin

x x x 6 cos ? 6 cos 2 ? ? m ? 0 对于任意的 4 4 4 2
). D. ? 3 ? m ? 3

?

5? ? ? x ? 恒成立,则实数 m 的取值范围是( 6 6
A. m ? 3 B. m ? 3 C. m ? ? 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13.

1 3 ? ? sin 10? cos10?

.

14.已知 ? , ? ? (

3? ? 12 ? 3 , ?) , sin(? ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) ? 4 4 13 4 5
. .

.

15.化简 sin(x ? 60?) ? 2 sin(x ? 60?) ? 3 cos( 120? ? x) 的结果是 16.已知 sin ? ? sin ? ?

1 1 ? ? ? ) 的值为 , cos ? ? cos ? ? ,则 tan( 4 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.)

17.(本小题满分 10 分)

用心 爱心 专心

2

已知 cos( ? ? 值.

?

1 ? 2 ? ) ? ? ,sin( ? ? ) ? ,0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? ,求 cos( ? ? ? ) 的 2 2 9 2 3

18.(本小题满分 12 分)

? sin(? ? ) 15 4 已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? ,求 的值. 4 sin 2? ? cos 2? ? 1
19. (本小题满分 12 分) (1)求值:

sin 65o +sin15o sin10 o ; sin 25o -cos 15o cos 80 o

(2)已知 sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,求

cos 2? ? sin 2? 的值. 1 ? cos 2 ?

20.(本小题满分 13 分)

0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图象经过点 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,

?π 1? M ? , ?. ? 3 2?
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? sin( ? ? x )sin(

? ? x ) ? cos2 x . 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? [ ?

? 3? , ] 时,求函数 f ( x) 的单调区间. 8 8

用心 爱心 专心

3

22.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 ? , ? ,它们的终边分

别与单位圆相交于 A , B 两点,已知 A , B 的横坐标分别为

2 2 5 , . 10 5

? ? ? ) 的值; (1)求 tan(
(2)求 ? ? 2? 的值.

用心 爱心 专心

4

第三章《三角恒等变换》测试题参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.) 1.B 由两角差的余弦公式易知 C,D 正确,当 ? ? ? ? 0 时,A 成立,故选 B. 2.D 由 sin A ? sin B ? cos A cos B 得 cos(A ? B) ? 0 , 即 cosC ? cos[? ? ( A ? B)] ? ? cos(A ? B) ? 0 ,故角 C 为钝角.

3.B

cos4

? ? ? ? ? ? ? 2 . ? sin 4 ? (cos2 ? sin 2 )(cos2 ? sin 2 ) ? cos ? 8 8 8 8 8 8 4 2

4.D 原式 ? 3(tan11? ? tan19?) ? tan11?? tan19?

? 3 tan30?(1 ? tan11?? tan19?) ? tan11?? tan19?
? 1 ? tan 11? ? tan 19? ? tan 11? ? tan 19? ? 1 .
5.A

3sin x ? 3 cos x ? 2 3(
8 3

? 3 1 ? sin x ? cos x) ? 2 3 sin( x ? ) ,故 ? ? ? . 6 2 2 6 1 , 3

6.C ∵ tan A ? tan B ? ? , tan A tan B ? ?

8 tan A ? tan B ∴ tanC ? tan[ ? ? ( A ? B)] ? ? tan(A ? B) ? ? ? ? 3 ? 2. 1 1 ? tan A tan B 1? 3 ?
7.D

y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2(
8.A

3 1 ? ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 2sin(2 x ? ) ? 2sin 2( x ? ) . 2 2 6 12

sin 6? ? cos24? ? sin 78? ? cos48? ? sin 6? cos12? cos24? cos48?

?
9.D

2 4 cos6? sin 6? cos12? cos 24? cos 48? sin 96? 1 ? ? . 4 16cos6? 16 2 cos6?
2 ? sin 2 2 ? cos 4 ? (1 ? sin 2 2) ? (cos 4 ? 1) ? cos 2 2 ? 2 cos 2 2

? 3 | cos2 |? ? 3cos2 . 24 2 10.B 由 25sin ? ? sin ? ? 24 ? 0 得 sin ? ? 或 sin ? ? ?1 (∵ ? 为第二象限角,故舍 25

用心 爱心 专心

5

去) ,∴ cos ? ? ? ∴ 2 cos
2

7 ? ,且 为第一或者第三象限角, 25 2 7 ? 3 , 故 cos ? ? . 25 2 5

?
2

?1 ? ?

11.C 由 (2 cos x ? sin x)(sin x ? cos x ? 3) ? 0 得 sin x ? 2 cos x , cos x ? 0 ,故 tan x ? 2 ,

2 cos 2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 2 2 cos x ? sin 2 x 2 sin 2 x ? cos 2 x ? ? tan x ? 1 ? . 1 ? tan x 1? 2 3 5
2

12.A

x x x 6 3 2 x 6 x f ? x ? ? 3 2 sin cos ? 6 cos2 ? ?m ? sin ? cos ? m , 4 4 4 2 2 2 2 2

x ? x ? ? 6 sin( ? ) ? m ? 0 , ∴ m ? 6 sin( ? ) , 2 6 2 6 5? ? ? x ? ? ? x ? , ∴? ? ? ? , ∵? 6 6 4 2 6 4 x ? ∴ ? 3 ? 6 sin( ? ) ? 3 , ∴ m ? 3 . 2 6
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.)

1 3 1 3 cos10? ? 3 sin10? 2( 2 cos10? ? 2 sin10?) 13. 4 ? ? ? 1 sin10? cos10? sin10? cos10? sin 20? 2 4sin(30? ? 10?) ? 4. sin 20? 56 4 ? 5 14. ? 由已知可得 cos( ? ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? ? , 4 13 65 5 ? ? 故 cos(? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? ( ? ? )] 4 4 ? ? 56 ? cos(? ? ? ) cos( ? ? ) ? sin(? ? ? )sin( ? ? ) ? ? . 4 4 65
15. 0 原式 ? sin(x ? 60?) ? 3 cos[ 180? ? ( x ? 60?)] ? 2 sin(x ? 60?)

? sin(x ? 60?) ? 3 cos(x ? 60?) ? 2 sin(x ? 60?)
? 2 sin(x ? 60? ? 60?) ? 2 sin(x ? 60?) ? 2 sin(x ? 60? ? 180?) ? 2 sin(x ? 60?) ? ?2 sin(x ? 60?) ? 2 sin(x ? 60?) ? 0 .
16.

24 7

易知 ? ?

? ??
2

?

? ??
2

,? ?

? ??
2

?

? ??
2



用心 爱心 专心

6

由 sin ? ? sin ? ? 由 cos ? ? cos ? ?

1 ? ?? ? ?? 1 cos ? , ,得 2 sin 4 2 2 4

1 ? ?? ? ?? 1 cos ? , ,得 2 cos 3 2 2 3 3 2? ? ?? 3 4 ? 24 . ? , tan( 两式相除,得 tan ? ? ?) ? 3 2 4 7 1 ? ( )2 4
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.) 17.解:由已知

? ? ? 1 ? 4 5 , ? ? ? ? ?, 又 cos(? ? ) ? ? 故 sin(? ? ) ? 4 2 2 9 2 9

? 1 ??? ? ? 7 5 同理 cos( ? ? ) ? , 5 , 故 cos ? cos[( ? ? ) ? ( ? ? )] ? 2 3 2 2 2 27 ??? 239 故 cos(? ? ? ) ? 2 cos 2 . ?1 ? ? 2 729

? 2 sin(? ? ) (sin ? ? cos ? ) 2 (sin? ? cos? ) 4 2 ? 18.解: , ? 2 sin 2? ? cos 2? ? 1 2sin ? cos ? ? 2 cos ? 4 cos? (sin? ? cos? )
当 ? 为第二象限角,且 sin ? ?

1 15 时, sin ? ? cos ? ? 0 , cos ? ? ? , 4 4

? sin(? ? ) 2 4 所以 ? ?? 2. sin 2? ? cos 2? ? 1 4 cos?
19.解: (1)原式 ?

sin(800 ? 150 ) ? sin150 sin100 sin 800 cos150 cos150 ? ? ? 2? 3 . sin(150 ? 100 ) ? cos150 cos800 sin150 cos100 sin150

(2)由 sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,得 sin ? ? ?2 cos ? ,又 cos ? ? 0 ,则 tan ? ? ?2 , 所以

cos 2? ? sin 2? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 1 ? cos2 ? sin 2 ? ? 2 cos2 ?

1 ? tan2 ? ? 2 tan? 1 ? (?2) 2 ? 2(?2) 1 ? ? ? . 6 tan2 ? ? 2 (?2) 2 ? 2
? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2 ? 5 ? ? 而 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x ) ? sin( x ? ) ? cos x . 3 6 2 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 2 5 13

s i n ( x ? )? , 20. 解: (1) 依题意有 A ? 1 , 则 f (x) ? 将点 M (

? 1

用心 爱心 专心

7

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65 1 1 1 1 1 21.解: (1) f ( x) ? sin x ? cos x ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2
2? ??. 2

∴函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)当 x ? [ ?

? 3? ? , ] 时, 2 x ? ? [0, ?] , 8 8 4 ? ? ? ? ∴当 2 x ? ? [0, ] 即 x ? [ ? , ] 时,函数 f ( x ) 单调递增; 4 2 8 8 ? ? ? 3? 当 2 x ? ? [ , ?] 即 x ? [ , ] 时,函数 f ( x ) 单调递减. 4 2 8 8

22.解:由条件得 cos? ?

2 5 2 , cos ? ? ,∵ ? , ? 为锐角, 5 10
2

∴ sin ? ? 1 ? cos

? ?

7 2 5 2 , sin ? ? 1 ? cos ? ? , 10 5

因此 tan ? ?

sin ? sin ? 1 ? 7 , tan ? ? ? . cos ? cos ? 2

1 2 ? ?3 . 1 1? 7? 2 1 2? 2 tan ? 2 ? 4, (2)∵ tan 2? ? ? 2 1 3 1 ? tan ? 1 ? ( )2 2 4 7? tan? ? tan2? 3 ? ?1 , ∴ tan( ? ? 2? ) ? ? 4 1 ? tan? tan2? 1? 7 ? 3 3? 3? ∵ ? , ? 为锐角, ∴ 0 ? ? ? 2? ? , ∴ ? ? 2? ? . 2 4 tan? ? tan ? (1) tan( ? ? ?) ? ? 1 ? tan? tan ? 7?

用心 爱心 专心

8


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