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2012届高中数学教学 函数的基本性质-----函数的奇偶性课件 新人教A版必修1


观察下列函数图象,总结这些函数图象的共性
y y

1 -1 O 1 x
g?x? = x-2

y

-1
-1

0

1

x

y=x2

y=︱x︱-1

-1 -1

0

1

x

1 y? 2 x

图象关于y轴对称

y

y=x2

0

x

y
8 7 6 5 4 3 2

f(1)=_____ 1 f(-1)=_____ 1 f(2)=_____ 4 f(-2)=_____ 4
1 2 3

1
-3 -2 -1 0

f(x)=x2

2 f(x0)=_____ 0

x

x x

2 f(-x0)=_____ 0

f(x0)= f(-x0)

y

y = f(x)

A’
-x0 O

A(x0,f (x0))
x0
x

(-x0,f (x0)) 点A关于y轴的对称点A’的坐标是_____________.
点A’在函数 y = f (x) 的图象上吗? (-x0,f (-x0)) 点A’的坐标还可以表示为______________.

你发现了什么?

观察下列函数图象,总结这些函数图象的共性 y
y

p(x0 ,f(x0))
O

p(x0 ,f(x0))
x0
x

- x0

o

x0

x

-x0

p(-x0 ,f(-x0))

P/(- x0 ,f(- x0))

f(x)=x3 f(x0)=-f(-x0)

1 f ( x) ? ( x ? 0) x

根据下列函数图象,判断函数的奇偶性
y y

图象 法
2 1

y

-1

0

1

x

-1

0

1

x

-1

0

1

x

-1

-1

-1

奇函数

偶函数

偶函数

?如何用数学语言来准确表述函数的奇偶性?
?

函数 y=f(x) 的定义域为A,对任意的 x ? A,都 有 f (? x) ? f ( x) 则称函数 y=f(x) 是偶函数

?

函数 y=f(x) 的定义域为A,对任意的 x ? A,都 有 f (? x) ? ? f ( x) 则称函数 y=f(x) 是奇函数

?如果函数是奇函数或偶函数,就说此函数具有奇

偶性 偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于 原点对称 按函数奇偶性可以把函数分为四类:奇函数;偶 函数;非奇非偶函数;既奇又偶函数。

例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) = - f(x)

解: 定义域为R
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 =2x4+3x2
= f(x)

∴f(x)为奇函数 ☆ 小结:用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域,看是否关于原点对称;

∴f(x)为偶函数

⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。

练习2. 判断下列函数的奇偶性
1 (1) f(x)=x- x 解:定义域为﹛x|x≠0﹜ ∵f(-x)=(-x) = -x+ 1 1

(2) f(x)= - x2 +1
解:定义域为R

-x

∵f(-x)= -(-x)2+1
= - x2+1 = f(x) ∴f(x)为偶函数

x

= - f(x)

∴f(x)为奇函数

(3). f(x)=5
解: f(x)的定义域为R ∵ f(-x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数
y

(4). f(x)=0
解: 定义域为R ∵ f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 = -f(x) ∴f(x)为既奇又偶函数 y

5

o

x

o

x

结论: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称),为既奇又 偶函数。

(5) f(x)=x2+x 解: ∵f(-1)=0,f(1)=2

∴f(-1)≠f(1) ,f(-1)≠-f(1)
∴f(x)为非奇非偶函数
(6) f(x)= √x

解: 定义域为 [0 ,+∞)

∵ 定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数

判断下列函数的奇偶性:
1 (1) f ( x ) ? x ?1
(2)
2

(5) f ( x) ? x , x ?[?1,1) (6) f ( x) ? ( x ?1)2

定义 法

x ? x (3) f ( x) ? (7)f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | x ?1 (4) f ( x) ? x3 ? 5x
2

f ( x) ? x ? x
2

练习3.已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图象 如下图,画出在y轴左边的图象.

解:画法略

y

相等

0

x

y
相等

0

x

1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x, f(x)为奇函数 ? 如果都有f(-x)=f(x) ? f(x)为偶函数 2、两个性质: 一个函数为奇函数 ? 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 ? 它的图象关于y轴对称 3、判断函数的奇偶性: 如果都有f(-x)=-f(x)

本课小结

⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。 4、按函数奇偶性可以把函数分为四类: 奇函数;偶函数;非奇非偶函数;既奇又偶函数。

思考
函数 f ( x) ? x ? 1 ? 1 ? x
2 2

的奇偶性

说一说

思考题
1、当____时一次函数f(x)=ax+b是奇函数 2、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 是偶函数


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