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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(用) (1)


平面向量的数量积的物理背景 及其含义

复习回顾
向量的夹角

注意 : 两向量的夹角定义, 两向量必须 是同起点的,范围是0 ? ? ? ? .

两个非零向量a 和b ,作OA ? a ,OB ? b ,则 ?AOB ? ?
(0? ? ? ? 180? ) 叫做向量a 和b 的夹角. B

a b

b

O A a O A

?
O b B a

A B 若? ? 0?,a 与b 同向 B b O

? a

若? ? 180?,a 与b 反向

A 若? ? 90?,a 与b 垂直, 记作 a ? b

问题:如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一 般向量,其结果又该如何表述?

W ? F ? S ? cos ?
a ? b ? | a | | b | cos ?
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积; 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a · b ,即

a ? b ?| a || b | cos?

说明:
(1) 规定:零向量与任意向量的数量积为0,即
a ? 0 ? 0.

(2) a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略,也不能写 成a×b ,a×b 表示向量的另一种运算(外积).

问题3:向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的 结果有什么不同? 实数同向量积的线性运算的结果是向量 两向量的数量积是一个实数,是一个数量 问题4:影响数量积大小的因素有哪些?
a ? b ?| a || b | cos ?
这个数值的大小不仅和向量与的模有关,还和它们的夹角有关。

? 0? ? ? ? 90 ? 夹角 的范围 ? ? a ? b 的正负 正

? ? 90?
0

90? ? ? ? 180 ?



数量积符号由cos?的符号所决定

平面向量的数量积的运算性质
问题5:设a与b都是非零向量,若a⊥b,则a· b等于多少? 反之成立吗?

a⊥b

b =0 ? a·

问题6:当a与b同向时,a· b等于什么?当a与b反向时,a· b

等于什么?特别地,a· a等于什么?

当a与b同向时,a· b=︱a︱︱b︱; 当a与b反向时,a· b=-︱a︱︱b︱; a· a=a2=︱a︱2或︱a︱= a ? a .

问题7:︱a· b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何?为什么?

︱a· b︱≤︱a︱︱b︱
例:已知a,b 满足:a 2 =9,a ? b ? ?12,求 b 的取值范围。

问题8:对于向量a,b,如何求它们的夹角θ?

cos ? ?
例:已知 a ? 12,

a ?b a b

.

b ? 9, a ? b ? ?54 2, 求 a 与 b 的夹角.

平面向量的数量积的运算性质
设向量a、b为两非零向量,e是与b同向的单位向量:

(1)a⊥b ? a · b=0 . (判断两向量垂直的依据)
(2)当a与b同向时,a· b=|a|· | b |; 当a与b反向时,a· b= - | a | · | b |. 特别地, a ? a ?| a |2 或 | a |? a ? a . (3)a · b ≤| a | · | b |. (4) cos ? ? a ? b .

a?b

平面向量的数量积运算律

问题9: 我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些 运算 律对向量是否也适用?
类比实数的乘法运算律:
交换律:a ? b ? b ? a 结合律:a ? (b ? c) ? (a ? b) ? c 分配律:a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c

数量积的运算律: 交换律: 数乘结合律:

? ? ? ? a ?b ? b ?a

关于向量的数量积运算: 数量积运算不满足乘法结合律。

(λa)· b= λ(a b)= a·(λ b ) ? ? ?· ? ? ? ? 分配律:

(a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

思考1: a· b与b· a相等吗?为什么? 思考2:对于非零向量a,b,c,(a· b)· c表示什么意义?(a· b)· c 与a· (b· c)相等吗?为什么? 思考3:对于向量a,b,c,(a+b)· c表示什么意义?它与 a· c+b· c相等吗?为什么?

例1 . 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥ b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b. 解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ =0°, ∴a·b=|a|·|b|cos0°=3×6×1=18; 若a与b反向,则它们的夹角θ=180°, ∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1) =-18; ②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°, ∴a·b=0; ③当a与b的夹角是60°时,有 1 a·b=|a||b|cos60°=3×6× =9 2

练习:
1、已知?ABC中, AB ? a , AC ? b ,当a ? b ? 0 或a ? b ? 0时,试判断?ABC的形状。

变式:已知?ABC中, AB ? a, BC ? b,当a ? b ? 0时, 试判断?ABC的形状。

二、例题讲解
例2.已知 | a |? 6,| b |? 4 , a 与 b 的夹角60? , 求 (a ? 2b) ? (a ? 3b)。

解:   (a ? 2b) ? (a ? 3b) ? a ? a ? a ? b ? 6b ? b
?| a |2 ?a ? b ? 6 | b |2  

?| a |2 ? | a || b | cos? ? 6 | b |2
? 6 ? 6 ? 4 ? cos 60 ? 6 ? 4  
2 2 ?

? ?72

例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2.
证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b =a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· b+b2.

例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2. 证明:(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b =a· a+b· a- a · b-b· b

=a2-b2.

二、例题讲解 例4.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 不共线,k为何值时,

向量 a ? kb 与

a ? kb 互相垂直。
2 2 2

解: a ? kb与a ? kb互相垂直的条件是 (a ? kb) ? (a ? kb) ? 0,即a ? k b ? 0
2 2

  a ? 3 ? 9, b ? 4 2 ? 16
2

  ? 9 ? 16k 2 ? 0 3 ?k ? ? 4
3 也就是说, 当k ? ? 时, a ? kb与a ? kb互相垂直. 4

平面向量数量积的几何意义
作OA ? a, OB ? b ,过点B作 BB1 垂直于直线OA,垂足为 B ,则 OB1 ? | b | cosθ 1

B b

| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影. 向量a在b方向上的投影 是什么?

?
O
C

a

B1

A

︱a︱cosθ

投影一定是正数吗?

说明:
( 1)

B

B

B

b

b

b

?
O a

?
B1
A O a A B1 θ为钝角时, | b | cosθ<0

θ为锐角时, | b | cosθ>0

? A O( B1 ) a θ为直角时, | b | cosθ=0

当? = 0?时投影为|b| 当? = 180?时投影为-|b|. (2)投影也是一个数量,不是向量。

问题4:根据投影的概念,数量积a· b=︱a|︱b︱ cosθ的几何意义是什么?

数量积a· b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ 的乘积,或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ 的乘积.

练一练:
若 | a |? 4 , | b |? 8 , a与b夹角为 ? (1)当 ? ? 30 时a在b上的投影为 2 3
0

(2)当 ? ? 90 时a在b上的投影为
0 0

0

(3)当 ? ? 120 时a在b上的投影为 ? 2 (4)当 ? ? 120 时b在a上的投影为 ? 4
0

3:已知 a ? 5, b ? 4,向量a与b的夹角为 , 3 如果(k a ? b)( ? a ? 2b),求实数k的值.

?

4:已知 a ? 6,向量a与b的夹角为 , 3 且(a ? 3b) (a ? 2b)=-72,求 b .

?

练习: 1.若a =0,则对任一向量b ,有a · b=0. √
2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. × 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 × × 4.若a · b=0,则a ·b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c × 6.若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 × 时成立. 2 2 7.对任意向量 a 有 a ?| a | √

2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义





1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算,它与向量的加 法、减法、数乘运算一样,也有明显的物理背景和几何 意义,同时还有一系列的运算性质,但与向量的线性运 算不同的是,数量积的运算结果是数量而不是向量.
2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致,应用 时不要似是而非. 3. 常用︱a︱= a ? a 求向量的模. 常用 cos ? ?
a ?b 求向量的夹角. a?b

一、平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为? , 我们把数量 a b cos? 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积),记作 a ? b .

a ? b ? a b cos?
规定:零向量与任意向量的数量积为0.

a?0 ? 0

向量的数量积是一个数量,那么 它什么时候为正,什么时候为负?

a ? b ? a b cos?
当0°≤θ<90°时 a· b>0 当θ =90°时 a· b=0 当90°<θ≤180°时 a· b<0

二、投影:
b
? A1 B b B

O

? a A O
a

B1 A

a cos?

b cos?

a cos? ( b cos? )叫做向量 a 在 b 方向上
(向量 b 在 a 方向上)的投影.

a 上的投影是数量,不是向量, 什么时候为正,什么时候为负? b cos?
B b
?

向量 b 在方向

B b
?

B b

O

a

B1 A

B1

O

aA

? O( B1 )

a

A

b cos? ? 0
a

b cos? ? 0
b

b cos? ? 0
a

O

b

B

A

B

O

A

b cos? ? b

b cos? ? ? b

三、平面向量数量积的几何意义:
B

b
?
O

a

a ? b ? a b cos?
A

| b | cos?

数量积a ? b等于a的长度 a 与b在a的 方向上的投影数量 b cos ?的乘积.

四、平面向量数量积的运算率:
(1)交换律:a ? b ? b ? a
(? a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b) (2)数乘结合律:

(3)分配律: (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c 数量积不满足结合律和消去率

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
a?c ? b?c ? a ? b

1.a ? a ? a ? a

2

2

2. a ? b ? a ? b ? a ? b

?

??
2

?

2

2

3. a ? b ? c ? d ? a ? c ? a ? d ? b ? c ? b ? d
2 2
金榜112.7.8.9

? ?? ? 4. ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b

平面向量数量积的重要性质: ? ? ? ? 是非零向量, e 是与 b 方向相同的 设 a 、b ? ? 单位向量, ?是 a 与 e 的夹角,则:

?1?a ? e ? e ? a ? a cos?
?2?a ? b ? a ? b ? 0
判断两个向量垂直的依据

? | a || b |, 当a与b同向时 ? ?3?a // b ?a ? b ? ? ? ? | a || b |, 当a与b反向时 ?

平面向量数量积的重要性质:

? ? ?2 ? 2 ?4?a ? a ? a ? a ? ? ? ?2 或a ? a?a ? a

求向量模的依据
0 0

?5?cos? ?

a ?b ab

? ? ?0 ,180

?

求向量夹角的依据

?6? a ? b

? ab

? ? 已知 a ? ( x , y ), b ? ( x , y ),你能得出
1 1 2 2

? ? 的坐标吗? a?b

一、利用向量的垂直解题:
o

例 31: 、已知 a ? 5, b ? 4, a与b的夹角为60 ,问当k为何值时, 例 向量ka ? b与a ? 2b垂直?

? (k a ? b ) ? (a ? 2b ) ?0 ? (k a ? b ) ? (a ? 2b ) 解:
王新敞
奎屯 新疆

?k a ? (2k ?1 ) a ? b ? 2b ? 0
?k a ? (2k ?1 ) a b cos60 ? 2 b ? 0
o 2 2

2

2

1 ? 25k ? (2k ? 1 ) ? 5 ? 4 ? ? 2 ? 4 2 ? 0 ? k ? 14 2 15
14 ?当k ? 时 , 向 量 k a ? b与a ? 2b垂 直 。 15

二、利用 a ?
2 2

a ? a?a

2

求模:
2

? 例 2、已知 a ? b ? 5,向量a与b的夹角为 ,求 a ? b , a ?b ? 例 2: 3

解:因为 a ? a ? 25, b ? b ? 25

2

25 a ? b ? a ? b cos ? ? 5 ? 5 ? cos ? 3 2

?

? a?b ?

?a ? b?

2

? a ? 2a ? b ? b ? 5 3
2

2

2

a ?b ?

?a ? b?

? a ? 2a ? b ? b ? 5

2

2

三、利用 a ? b ? a b cos? 求夹角:

例3 3: 例 、设m和n是两个单位向量,其夹角为 , 3 求a=2m+n, b=2n-3m的夹角? 解:a ? b ? 2m ? n ? 2n ? 3m
2 2

?

?

??

?

? 4m ? n ? 2n ? 6m ? 3m ? n

? m ? n ? 2n ? 6m 2 2 ? 7 ? m ? n cos ? 2 n ? 6 m ? ? 3 2

2

2

三、利用 a ? b ? a b cos? 求夹角:

例3 3: 例 、设m和n是两个单位向量,其夹角为 , 3 求a=2m+n, b=2n-3m的夹角? 解:a ? 2m ? n ?
2

?

? 2m ? n ?
?

2

? 4m ? 4m ? n ? n
2

2

2

7 ? a ?b 1 2 ? 2 ? cos ? ? ? ? ? ?? ? ?0, ? ??? ? 2 7? 7 3 a b

? 4 m ? 4 m ? n cos ? n ? 7 同理 b ? 7 3

练习:已知 a ? 2, b ? 3, a与b的夹角为 120 ,求
o

?1?a ? b?2?a

2

? b ?3? 2a ? b ? a ? 3b
2
o

?

??

? ?4? a ? b ?5? a ? b

?3??2a ? b ?? ?a ? 3b ? ? 2a
2

?2?a

1 ?1?a ? b ? a b cos 120 ? 2 ? 3 ? (? ) ? ?3 解: 2 2 2
2

? b ? a ? b ? 4 ? 9 ? ?5
2

2

? 5a ? b ? 3b
2

2

? 2 a ? 5 a b cos120 ? 3 b ? 8 ?15 ? 27 ? ?34
o

?4? a ? b ?
?5? a ? b ?

( a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 7
2

2

2

(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 19
2

2

2

【总一总★成竹在胸】
对功W=|F||s|cos?结构分析
抽 象

几何 意义

数形

结合

向量数量积的定义 → → a· b=| a | | b | cos ?

公 式 变 形

特 殊 化

重 要 性 质

(1)如何用坐标表示平面向量数量积;
(2)如何运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.


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