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基本不等式1


这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个 风车,代表中国人民热情好客。

思考:这会标中含有 怎样的几何图形? 思考:你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系?

D

探究1:
1、正方形ABCD的

a ?b
2

2

b
G F E C H

a ?b 面积S=_____
2

2

2、四个直角三角形的

A

a

2ab 面积和S’ =__
3、S与S’有什么

样的不等关系?
B

S___>__S′

问:那么它们有相等的情况吗?

D b G A H

D

a 2 ? b2
F
E a a C A E(FGH) b C

B

B

重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有 2 2

a ? b ? 2ab

当且仅当a=b时,等号成立。

思考:你能给出不等式 a 2 ? b 2≥2ab 的证明吗?

证明:(作差法) a ? b ? 2ab ? (a ? b)
2 2

2

当a ? b时
当a ? b时
2

(a ? b) ? 0
2
2

(a ? b) ? 0

所以(a ? b) ≥0
所以a ? b ≥2ab.
2 2

结论:一般地,对于任意实数a、b,总有

a ? b ≥2ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立
适用范围: a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?
2 2 ( a ) ? ( b ) ≥2 a ? b 替换后得到:

即:

a ? b≥2 ab

a?b 即: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?

a?b 证明:要证 ≥ ab 2
只要证

a?b 证明不等式: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2
分 析 法
① ②
2

a ? b≥ _______ 2 ab _____ 要证①,只要证 a ? b ? 2 ab ≥0
2

(a ? 0, b ? 0, a ? ( a ) , b ? ( b ) )
要证②,只要证

(___ a ? ___) b ≥0
2



显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

基本不等式
特别地,若a>0,b>0,则
≥ a ? b _____ 2 ab

a?b 通常我们把上式写作: ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围: a>0,b>0

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______

BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB, 所以 ? DC AC

所以DC 2 ? BC ? AC ? ab

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______
≥ OD_____CD >

③OD与CD的大小关系怎样?

a?b ≥ ab 2

几何意义:半径不小于弦长的一半

填表比较:

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围 文字叙述 “=”成立条件

a,b∈R

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号 ). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号 (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4 ).

利用基本不等式求最值时,要注意
①各项皆为正数; ②和或积为定值; ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”

小结:
1. 两个重要的不等式

(1)a, b ? R,那么a 2 ? b2≥2ab ,当且仅当a ? b时,等号成立

a?b (2) ab≤ (a >0,b>0),当且仅当a ? b时,等号成立。 2 2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号 ). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号 (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4 ).

求最值时注意把握 “一正,二定,三相等”

五 、小结
1、本节课主要内容?

你会了 吗?

2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。

a?b 2 即 : (1)a ? b ? 2 ab ; (2)ab ? ( ) .当且仅当a ? b时, ? 号成立. 2


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