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原创平面向量基本定理


旧知复习
1.数乘向量的定义 ? ? ? ? 当 ? ? 0时, b 与 a同向, ? b ? ? b
? ? 当??0 时, b 与 a反向,
? ? ?b ? ? b

? ?a

? ? ? ? ? ? 2.共线定理 b ? ? a ? b∥a (a ? 0)

? ? 当? ? 0

时, b ? 0

情景1
火箭在升空的某一时刻,速度可以分解 成竖直向上和水平向前的两个分速度

情景2

F1 F2 G

情景3

合作探究

? 1.能否 a将沿
2.如何分解? 3.将结果用e1 和e2表示

? ? ? ? ? 和 e2方向进行分解? e1
a

e2

e1

N A B

? ? e1

?? ? e2

? a

O

C

??? ? ???? ? ???? ?如图 OC ? OM ? ON M ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?OM ? ?1OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

??? ? ? ? ? ? ? ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ? ? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

抽象概括 平面向量基本定理:
如果e1, e2是同一平面内两个不共线 存在唯一一对实数λ 1,λ 2,使

的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,

a=λ 1e1+λ 2e2.
不共线的向量e1,e2叫做表示这一

平面内所有向量的一组基底。

对定理的理解 1. “不共线”、“任一”、“唯一” 2. 平面向量基本定理实质是向量的 分解,即用基底将向量线性表示。
3. 这个定理体现了转化与化归的数学思想。

随堂练习

e1,e2是平面内一组基底, 判断下列说法的正误:

(1)零向量可以作为基底 (2)λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面 内的所有向量 (3)若λe1+μe2=0(λ,μ∈R) ,则 λ=μ=0

×) (

√) (
( √ )

(4)对于平面内任一向量a,使a=λe1+μe2 (λ,μ∈R) 的λ,μ有无数多对 ( ) ×

D
O

C
O是平行四边形 对角线的交点,下 列向量组:
??? ? ???? ② DA 与 BC
???? ??? ? ④ OD 与 OB

A

??? ? ???? ① AD 与 AB ??? ? ???? ③ CA 与 DC

B

能作为一组基底的是: ①③

例题解析

例1:

(3 )如图,已知 ABCD, 且 AB ? a , AD ? b , 1 1 DM ? DO , ON ? OC , 试用a , b表示MN . 3 3

???? ? 1? MN ? a ? b 2 6
A

D 1?

C

M
O

N

B

对应练习
( 2 )如图.在梯形ABCD中, AB ? 3 DC , 若 AB ? a , BC ? b, 则 AD ?

D

C

2? ? a?b. 3

A

B

注:向量的表示在解决向
量问题中非常重要,不仅 要熟练掌握向量的线性运 算,还要用到平面几何中 的性质、定理等。

例2:在平行四边形ABCD中,M
是AB的中点,N在对角线 BD上, 1 且 BN ? BD 3
D C

求证:M、N、C
三点共线
A
M N B

对应练习
在三角形ABC中,D、E分别是AB、

AC的中点,求证:DE ? 1 BC

2

A

B

C

注:根据平面向量基
本定理,将一个向量用 其它向量线性表示,从 而将问题转化。

课后

小结

本节课主要内容有: 1.对平面向量基本定理的探究

2.对平面向量基本定理的理解
3.对平面向量基本定理的应用

课后 作业

习题2-----3A组5.6题


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