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函数、极限与连续总习题


第一章总习题
1.思考题 (1)你是怎样理解函数的定义的? (2)函数

f?

X?

在 x 0 处没有定义, lim
x? x0

f ? ? 可以存在吗?
x

(3) lim f ?x ? 与 lim f ?x? 有什么关系? (4)无界变量是否一定是无穷大? (5)初等函数连续性的结论对计算极限有什么帮助? 2.设 f ? x ?1? ? x ,求 f ?x ? 表达式. 3.判断下列各对函数是否相同,并说明理由. (1)y=x 与 y= 3
log 3 x

;

( 2 )y=arcsin(sinx)与 y=x; ( 3 )y=

f ? ? 与 x= f ? ? ;
x

y

( 4 )y=ln(1-x 2 )与 y=ln(1-x)+ln(1+x); 4.已 知 f ?x ? ={
2 x ?1, x ?1 x 2 ?1, x ?1

. 作 出 判 断

f ?x ? 的 图 形 , 并 求

?3? f ?0?, f ?? 1?, f ? ?及f ? f ?x ??. 。 ?2?

5.已知 f ?x ? 是以 2 为周期的周期函数,在 ?0,2? 上的表达式 f ?x ? =x 2 ,试 写出 f ?x ? 在 ?0,4? 上的表达式。 6.设 f ?x? ? lim ( x ?1) arctanx .求 f ?x ? 表达式并指出其间断点。
n n??

7.求下列极限. (1) lim
x?

?

1 ? sin 2 x ; 1 ? cos 4 x

(2)

?3x ? 1?5 ?2 x ? 5?10 ; (3) lim lim ?5x ? 3?15 x ?1 x ??

3

x ?1 ; x ?1

4

(4) (6)

lim
x ?2

12 ? ? 1 ? 3 ? ? ; ? x ? 2 x ?8?

(5)

lim
x ?0

? ax ? bx ? cx ? x ? ? (a>0,b>0,c>0); ? ? 3 ? ?

1

lim ?
x ? ??

ln 1 ? 2 x ln 1 ? 3x

?

? ?
x

[提示:1+a x =a x ?1 ? a ? x ? ]

8.已知 lim ? x ? k ? ? e4 ,求 k 的值。 ? ? x ?? ? x ? k ? 9.证明当 x ? 0 时,下列各对无穷小是等价的。 (1)x 与 arcsinx ; ( 2 ) x 与 arctanx ; ( 3 ) 1-cosx 与 ( 4 ) a x ?1与x ln a?a ? 0, a ? 1?; 10.利用等价无穷小计算 lim
x ?0

x2 ; 2

(5)

n

1 ? x ? 1与

x . n

cos x ? 1
3

1 ? sin 2 x ? 1



11.设 有 数 列 { xn }, 其 各 项 由 递 推 公 式 xn?1 ? xn ?1 ? 2xn ? 给 出 , 证 明 当
0 ? x1 ? 1 时,数列{ xn }收敛并求其极限。 2

12.证明题 (1)证明函数 f ?x? ? x3 ? ax2 ? bx ? c(a,b,c 为常数)至少有一个零点; (2) 已知 f ?x?? C?a, b? 且无零点, 证明 f ?x ? 在[a,b]上保持恒定的符号。 13.连续复利问题. 设 A0 是本金,年利率为 r,则一年末本息之和为 A0 ?1 ? r ? .如果每 年
1 n

r 结算一次,则一年后的本息之和为 A0 ?1 ? ? ,连续复利即为 n ? ? 时 ? ? ? n?

n

的情形.某慈善基金欲在 t 年后支付 A 元的善款, 存款利率为 r, 按连 续复利计息,现在应存款多少元?


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