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2015人教版高中数学选修4-5学案:3.2一般形式的柯西不等式


§3.2 一般形式的柯西不等式(学案)

教学目标: 1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义; 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题,体会运用经典不等式的一般方法 教学重点:一般形式柯西不等式的证明思路,运用这个不等式证明不等式。 教学难点:应用一般形式柯西不等式证明不等式。 教学过程: 一、复习引入: 定理 1: (二维柯西不等式的代数形式)设 a, b, c, d 均为实数,则

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 ,其中等号当且仅当 ad ? bc 时成立。
变式 1、

变式 2、

定理 2: (柯西不等式的向量形式)设 ? , ? 为平面上的两个向量,则 | ? | ? | ? |?| ? ? ? | , 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。

定理 3: (三角形不等式)设 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 为任意实数,则:

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x2 ? x3 ) 2 ? ( y 2 ? y3 ) 2 ? ( x1 ? x3 ) 2 ? ( y1 ? y3 ) 2

二、讲授新课: 类似的,从空间向量的几何背景业能得到|α .β |≤|α || β | .将空间向量的坐标代入, 可得到

-1-

(a1 ? a 2 ? a 3 )(b1 ? b 2 ? b 3 ) ? (a1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 )2 当 且 仅 当 α

2

2

2

2

2

2

, β 共线时,

即 β ? 0 , 或 存 在 一 个 实 数 k, 使 得 ai ? kb i ( i ? 1,2,3)时 , 等 号 成立.
这就是三维形式的柯西不等式. 对比二维形式和三维形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗? 定理 4: (一般形式的柯西不等式) :

三、应用举例:

例 1、 已知 a1,a2,…, an 都是实数,求证: 1 (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a12 ? a2 2 ? ? ? an 2
n

变式 1、 已知 a, b, c, d 是不全相等的正数, 求证:a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

-2-

例 2、 、已知 x ? 2 y ? 3z ? 1,

求x2 ? y 2 ? z 2的最小值 .

1 4 9 变式 2、已知 x, y, z ? R? , 且 x ? y ? z ? 1, 求证: ? ? ? 36 x y z

-3-


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