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数列通项公式求法及其在高考中的应用


解题技巧与方法
J IETIJ IQIAO YU FANGFA

数列通项公式求法及其在高考中的应用
◎陈海涛 (广东惠州市仲恺中学
【摘要】 数列是高考的热点,历年在全国各地的高考题中所 占 的 分 量 都 较 大 ,不 但 有 一 大 题 ,还 有 一 部 分 小 题 ,都 是 考 查 数 列通项公式的求法及其应用 . 现就对数列通项公式的求法及其 应用作如下的讨论 . 【关键词】 数列;方法;高考

516000)
1 2 n

又 d ≠ 0 , ∴ a1 = d,a3 = 3d. 又 a1, a3, ak ,ak ,…,ak ,…成等比数列,

当一个数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的函数 关 系 可 以 用 一 个 公 式 an = f (n )来 表 示 时 ,我 们 就 把 这 个公式叫做这个数列的通项公式 . 但并不是所有的数列 都能写出它的通项公式, 而且数列的通项公式在形式 上不唯一,如 an = (-1 )n,可表示成 an = cosnπ. 数列通项 —观 公 式 的 常 用 求 法 有 :不 完 全 归 纳 法 (猜 想 法 )—— 察 数列各项与其序号间的关系, 探索各项与序号间的关 系,从而归纳出构成规律写出通项公式;公式法—— —利 用等差、 等比数列的通项公式直接求 an 或利用已知数 S1, (n = 1 ), 列 的 前 n 项 和 公 式 an = 来 达 到 求 an Sn - Sn-1,(n ≥ 2 ) 的目的; 迭加法—— —数列相邻两项之间的差组成等差 或等比数列时,就可用迭加法进行消元,转化成为只含 有 an 及 a1 的有限项,并用等差或等比数列的求和公式 —数列相邻 求得其和,从而达到求 an 的目的;迭积法—— 两项的商组成等比数列时,就可用迭积法进行消元,转 化成为只含有 an 及 a1 的有限项, 从 而 达 到 求 an 的 目 —若 的 ;待 定 系 数 法—— 数 列 {an}为 等 差 数 列 ,可 设 an = bn + c , Sn = bn2 + cn (b ,c 为常数),若数列{an}为等比数 列 ,可 设 an = Aqn-1,Sn = A (qn - 1)(Aq≠0 ,q ≠ 1) ,利 用 所给条件求出相关系数, 从而达到求 an 的目的; 换元 —当数列是递推关系时,对递推关系变形,通过引 法—— 进辅助数列、 构造出一个与所求数列有关的等差或等 比数列的形式进行求 an;讨论法—— —有些数列问题,是 要对 n 的奇偶性进行分类讨论来处理, 才能达到求 an 的目的 . 现在就通过一些例题和近几年的高考题等实例 来说明这些求数列通项公式方法的一些应用 . 例 1 (2007 年 高 考 重 庆 卷 第 22 题 )设 各 项 均 为 正 数的数



列{an}满足 a1 = 2,an = an+1 an+2(n∈N*),若 a2 = 1 ,求 a3,a4,并 猜 想 an

-3 2

4

的通项(不需证明). 解 因为 a1 = 2,a2 = 2 ,故 a3 = a a
-2 -3 2 1 2
(-2 )
3

= 2 , a4 = a a
, a4 = 2
(-2 )
3

4

-3 2 2 3

=2 .

-8

由此有 a1 = 2

(-2 )

0

, a2 = 2

(-2 )

1

, a3 = 2
(-2 )
n-1

.

故猜想{an}的通项为 an = 2

(n∈N*)(不完全归纳法).

以上是用不完全归纳法求数列通项公式的类型 题,用不完全归纳法求数列通项公式的这种方法 ,只从 数列的有限项来归纳数列所有项通项公式是不一定可 靠的,如 2 ,4 ,8 ,…可归纳成 an = 2n 或 an = n2 - n + 2 两 个不同的数列(但 a4 便不同),虽然不可靠,但不完全归 纳法是发现问题的有效办法,所以还是得到广泛的应用. 例 2 (2005 年 高 考 全 国 卷 III 理 第 20 题 )在 等 差 数 列 {an} 中, 公 差 d ≠ 0 , a2 是 a1 与 a4 的 等 比 中 项 . 已 知 数 列 a1 , a3 , a k , a k , … ,ak ,…成等比数列,求数列 {kn} 的通项 .
1 2 n

∴ 该数列的公比 q = a3 = 3d = 3 ,用等比数列通项公式有 a1 d · ak = a1 + (kn-1)da1 3n+1. 又用等差数列通项公式有 ak = a1 + (kn - 1)d = a· n+1. 1 3 又 a1 = d,得 kn = 3n+1,∴ 数列{kn}通项公式为 kn = 3n+1. 此题巧妙运用最基本的等差、 等比数列的通项公 式求出新的数列通项公式 . 例 3 (2007 年 高 考 北 京 试 题 理 第 15 题 ) 数 列 {an}中 ,a1 = 2,an+1 = an + cn ,(c 是常数,n = 1 ,2 ,3 ,…),且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列 . (1 ) 求 c 的值;(2 )求{an}的通项公式 . 解 (1 ) a1 = 2 ,a2 = 2 + c ,a3 = 2 + 3c. ∵ a1,a2,a3 成等比数列, ∴(2 + c )2 = 2 (2 + 3c ),解得 c = 0 或 c = 2. 当 c = 0 时,a1 = a2 = a3 ,不符合题意,舍去,故 c = 2. (2) 当 n ≥ 2 时,由于 a2 - a1 = c,a3 - a2 = 2c,…,an - an-1 = (n - 1)c, 把上面 n - 1 个式子左右两边对应相加(迭加法)得 an - a1 = [1 + 2 + … + (n - 1)]c = n(n - 1) c. 2 又 a1 = 2,c = 2,故 an = 2 + n(n - 1) = n2 - n + 2(n = 2,3 ,…). 当 n = 1 时,上式也成立,所以数列{an}通项公式为 an = n2 - n + 2 (n = 1 ,2, … ). 例 4 设 数 列 {cn}的 各 项 是 一 个 等 差 数 列 与 一 个 等 比 数 列 对应项的和,若 c1 = 2 ,c2 = 4 ,c3 = 7 ,c4 = 12 ,求通项公式 cn. 解 依 题 意 设 cn = a + (n - 1)d + bqn-1,将 c1 = 2 ,c2 = 4 , c3 = ≠ 圯 a q ≠ + b = 2, ≠ = 2, ≠ ≠ ≠ ≠ a d ≠ + d + bq = 4, ≠ = 1, ≠ 圯 7,c4=12 代入上式得 ≠ 圯≠ a + 2d + bq2 = 7, b ≠ ≠ = 1, ≠ ≠ 3 ≠ ≠ a a ≠ + 3d + bq = 12 , 圯 = 1. 所以数列{cn}通项公式为 cn = n + 2n-1.(待定系数法) 例 5 (2008 年高考湖南卷第 18 题){an}满足 a1 = 1,a2=2,…, 1 + cos2 nπ an + sin2 nπ ,n = 1,2,3,… ,求 a3,a4, 并 求 数 列 an+2= 2 2 {an}的通项公式 . 解 ∵a1 =1,a2 =2, π ∴ a3 = 1 + cos2 a +sin2π = a1+1=2, 2 1 2 a4 = (1 + cos2π)a2 + sin2π = 2a2 = 4. (2k-1)π 当 n=2k-1(k∈N*)时,a2k+1 = 1+cos2 a2k-1+sin2 2k-1 π= 2 2 a2k-1 + 1,即 a2k+1 - a2k-1 = 1, ∴ 数列{a2k-1}是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2k-1 = k. 2kπ 当 n = 2k(k∈N*)时,a2k+2 = 1+cos2 a2k +sin2 2kπ =2a2k, 2 2 ∴ 数列{a2k}是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2k = 2k, ∴ 数列{an}通项公式为 圯 2n + 1 ,当 n = 2k - 1 (k∈N*)时, 2 2 2 ≠ (讨论法). an = 2 n
n n

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2 ≠

2 ,当 n = 2k (k∈N*)时 .

2

解 由题意得 a2 = a1a4,由等差数列通项公式有(a1 + d)2 = a1(a1 +

2

3d),化 简 得 a1d = d2.
2009.3
▲ ▲

99

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