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高中数学建模论文


易拉罐形状和尺寸的最优设计方案
摘要:
本文讨论的是兼顾圆台状易拉罐的不同壁厚,建立以易拉罐材料体积为目标 函数, 容积一定为约束条件的非线性规划模型。通过非线性规划与条件极值求得 结果。在此基础上,引入了黄金分割点,环保以及材料最省,设计了一种兼顾各 种优点的新型易拉罐,具有较强的实用性和推广性。 关键词:非线性规划 条件极值

正文
生活中稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。 看来,这并非偶然,而应该是某种意义下的最优设计。当然,对于单个的易拉罐 来说,这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的,但是如果是生产几亿,甚至 几十亿个易拉罐的话,可以节约的钱就很可观了。

一、提出问题
1、问题为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格? 2、易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优?从数学的 角度怎样给予合理的解释? 3、和现实中的实际情况有什么差异,为什么?

二、模型假设与符号约定 2.1 模型假设
1、易拉罐的容积是一定的; 2、易拉罐所有材料的密度都相同,材料的价格与其体积成正比; 3、各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定,不受易拉罐形状和尺寸的影响; 4、网上查的数据真实可靠

2.2 符号约定 符号
M V S

说明
规划的目标函数 罐体的体积 罐体的表面积 柱体的高度 被截面到球面的距 离 正圆柱体形易拉罐 底面的半径 圆台上表面的半径

符号
a b c d
P

说明
易拉罐上顶的厚度 易拉罐圆台部的厚度 易拉罐侧面的厚度 易拉罐底面的厚度 易拉罐底的弧面面积 易拉罐底面的圆弧角 易拉罐底的搭接角;

h
h1

r
r1

?

?

r2

圆台下表面的半径

三、问题分析与模型建立
对于问题 1:可以借助物理仪器,如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高 度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度等相关数据. 对于问题 2:将易拉罐看成正圆柱体,考虑到易拉罐的侧壁、顶盖、底面的 厚度均不相同且为常数, 以圆柱体材料的体积作为目标函数,其容积等于定值作 为约束条件,构建非线性规划模型并通过模型简化,得到解析的最优解,以此来 探讨最优形状的设计。此为模型 1。在此基础上,将易拉罐看成是圆台与圆柱的 组合体。 此时目标函数——材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成,因此目标 函数表达式变得比较复杂。 此时形状由圆柱的高和半径及圆台的高和上表面半径 决定,以此作为决策变量对模型一稍作修改建立模型 2。 对于问题 3:在容积一定的条件下,球体是最节省材料的,然后同样考虑人 们拿着易拉罐时的手感舒适度和放置时的稳定性。接着考虑“饮料”对易拉罐的 压力,把“易拉罐”的下底做成球冠一样的拱形,在这些条件下建立了多约束非 线性规划模型即模型 3。

四、模型求解
4.1、对于问题 1: 取一个市场上最常见的饮料量为 355 毫升的易拉罐为例 表格 1:易拉罐相关数据(注:单位均为 mm)
一测 顶盖到底部的高 上盖内径 顶盖的直径 中间圆柱的直径 中间圆柱的高度 中间圆柱壁厚度 顶部的厚度 下底的厚度 圆台的母线 123.14 54.84 59.72 66.02 109.52 0.16 0.42 0.21 14.52 二测 123.34 55.96 59.52 65.86 109.82 0.17 0.46 0.20 13.82 三测 123.42 57.22 59.34 65.94 110 0.17 0.39 0.20 13.58 四测 123.26 56.52 59.64 65.97 109.66 0.15 0.48 0.21 14.04 五测 123.39 56.93 59.47 65.9 109.74 0.15 0.45 0.21 14.5 六测 123.3 56.01 59.55 66.08 109.8 0.16 0.44 0.21 13.98 平均值 123.30 56.25 59.54 65.96 109.76 0.16 0.44 0.21 14.07

4.2、对于问题 2 建立模型一,正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型 在模型一中,又分为 4.2.1 易拉罐各点罐壁厚度相同的情形

图 1、各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐

如图所示,由图 1 可知:易拉罐的容积为 V ? ?r 2h ; 易拉罐的表面积为 M ? S ? 2?rh ? ?r 2 ? ?r 2 ? 2? ?r 2 ? rh ? ; 因此, 建立以表面积最小为目标函数,以体积一定作为约束条件的非线性规 划模型,即

min S ? 2? r 2 ? rh
2

?

?

?V ? ?r h s.t.? ?r , h ? 0 求解得 r/h=0.5,实际中 r/h=0.24;两者偏差太大,所以模型不符合事实,实际 上由于考虑了液体的压强等诸多因素,在生产过程中易拉罐的顶盖、侧壁和底面 的材料厚度是不同的,引入 a、d、c 分别表示易拉罐的顶盖、底面和侧壁的厚度, 加以改进模型 4.2.2 易拉罐有不同罐壁厚度的情形 易拉罐上、下底面,侧面的厚度不同,导致用料量也不相同。根据材料的用 量与其体积成正比, 那么在容积一定时,所用材料的体积最小时的尺寸即易拉罐 的最优尺寸。

图 2、有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐 如图 2 所示,做一个易拉罐所需要的材料为: Y ? ?r 2 h ? ? ?r ? c ? ?h ? a ? d ? ,
2

应使 Y 取得最小值。由此可得:
min M ? Y ? ?r 2 h ? ? ?r ? c ? ?h ? a ? d ?
2

?V ? ? ?r ? c ?2 ?h ? a ? d ? s.t.? a , c, d ? 0 ?



=0;得 r/h=c/(a+d),由问题 1 中数据得,r/h=0.2461,与实际结果 0.24

相比,结果更优。 4.3 对于问题 3 建立模型二,圆柱体加圆台形易拉罐尺寸的最优设计模型 4.3.1 各点罐壁厚度相同的含圆台易拉罐

图 3、各点罐壁厚度相同的含圆台易拉罐 由图 3 得:圆台的上面、侧面的面积为 S1 ? ? ?r1 ?l ? r1 ? ? r2 l ? ? ?r1 ? ?l ?r1 ? r2 ?
2

圆柱侧面的面积为 S 2 ? 2?r2 h 圆柱底面的面积为 S3 ? ?r2
2 2

此时易拉罐的表面积为: S ? S1 ? S 2 ? S 3 ? ?r1 ? ?l ?r1 ? r2 ? ? 2?r2 h ? ?r2
min M ? S ? ?r1 ? ?l ?r1 ? r2 ? ? 2?r2 h ? ?r2
2 2

2

? ? 2 2 2 ?V ? ?r2 h ? 3 m r1 ? r2 ? r1r2 ? ? s.t.? ?r1 , r2 , l , h ? 0 ? ? ?r2 ? r1
4.3.2 各点罐壁厚度相同的含圆台易拉罐

?

?

图 4 有不同罐壁厚度易拉罐的圆台 如图 4 所示,易拉罐所需材料量为
Y ? ?r2 h ?
2

?
3

m r1 ? r2 ? r1 r2 ? ? ?r2 ? c ? ?h ? d ? ?
2 2 2

?

?

?
3

?m ? a ???r1 ? b?2 ? ?r2 ? c ?2 ? ?r1 ? b??r2 ? c ??
?
3

由此可得
min M ? Y ? ?r2 h ?
2

?
3

m r1 ? r2 ? r1 r2 ? ? ?r2 ? c ? ?h ? d ? ?
2 2 2

?

?

?m ? a ???r1 ? b?2 ? ?r2 ? c ?2 ? ?r1 ? b??r2 ? c ??

? V ? ? ?r2 ? c ?2 ?h ? d ? ? ? ?m ? a ? ?r1 ? b ?2 ? ?r2 ? c ?2 ? ?r1 ? b ??r2 ? c ? 3 ? ? ? s.t.? r1 , r2 , l , h ? 0 ? r2 ? r1 ? ? ? a , b, c , d ? 0

?

?

4.4 对于问题 4 建立模型三,圆柱体加圆台形易拉罐尺寸的最优设计模型 通过对易拉罐实物的观察我们发现其底部有凹进的球面(如图 3 所示) ,球 面的设计会增加材料的体积, 但从物理的角度, 在内部压强增大时, 凹面会外凸, 增加内部空间从而减小压强,避免了罐体的开裂造成的危险。

图 5、底部有球冠 与此同时,底部的上拱必然会引起所用材料的增多

图 6、易拉罐的底面积示意图 易拉罐的底面积为: P ? 此时所用材料量为:
Y ? ?r2 h ?
2

?r2 2 cos ?
?
3

m r1 ? r2 ? r1 r2 ? ? ?r2 ? c ? ?h ? d ?
2 2 2

?

?

?

?
3

?m ? a ???r1 ? b ?2 ? ?r2 ? c ?2 ? ?r1 ? b ??r2 ? c ??
2

? ?r2 b ?

?r2 2 b cos ?

? ? 2 2 2 ?V ? ? ?r2 ? c ? ?h ? d ? ? 3 ?m ? a ? ?r1 ? b ? ? ?r2 ? c ? ? ?r1 ? b ??r2 ? c ? ? ? r1 , r2 , l , h ? 0 ? s.t. ? r2 ? r1 ? ? ? 4 ,? 5 ,? 6 ,? 7 ? 0 ? ? ? ?? 2 ?

?

?

五、结论及模型的评价
1、本文中所建立的模型,在不断将理论值与实际值比较的基础上,逐步完 善,最终在最节省材料的基础上得到了易拉罐形状和尺寸的最优设计, 2、在模型建立过程中,只考虑了易拉罐容量作为约束条件,但实际除此之 外,还应该有其他的约束条件,例如,顶盖有拉环,从而顶盖的直径也是有限制 的;要能够用手握住,因此,罐体的直径是有限制的。

参考文献
[1] [2] [3] [4] [5] [6] 王兵团,数学建模基础,北京,清华大学出版社,2004 于义良,刘振航,梁邦助,数学建模,北京,中国人们大学出版社,2004 边馥萍,梁冯珍,数学模型方法与算法,北京,高等教育出版社,2005 周文国,易拉罐的设计方案,中学数学教学,第 12 页,2002 年第 1 期 王工一,易拉罐的尺寸,中学数学月刊,第 9~10 页,1999 年第 4 期 方财子,陈道军,邱细,易拉罐形状和尺寸的最优设计.空军雷达学院.2006.


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