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2016高考数学大一轮复习 7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理 苏教版


数学

苏(理)

第七章 不等式

§7.3 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高

? 练出高分

1.二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地,二元一次不等式A

x+By+C>0在平面直角坐标 系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 平面区域 . 我们把直线画成虚线以表示区域 不包括 边界直线.当我们在 坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此

区域应包括边界直线,则把边界直线画成 实线.

(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把 它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都 相同 ,

所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 (x0,y0)作为测
试点,由Ax0+By0+C的 符号 即可判断 Ax + By + C>0 表 示的直线是Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.

2.线性规划相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 意义 由变量x,y组成的一次不等式 由x,y的 一次 不等式(或方程)组成的 不等式组

目标函数
线性目标函数

欲求 最大值 或 最小值 的函数
关于x,y的 一次 解析式

可行解
可行域 最优解

满足 线性约束条件的解
所有可行解 组成的集合 使目标函数取得最大值 或 最小值 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题

线性规划问题

3.应用 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.

(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,

从而确定最优解.
(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

? 思考辨析

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+ C=0的上方.( × )

(2)不等式x2-y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线
和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.( √ )

?3x-y-6<0, ? (3)不等式组?x-y+2>0, ? ?x≥0,y≥0

表示的平面区域是如图所示的阴影部分.( × )

(4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( √ )

(5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边 界上.( √ )

(6)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax
+by-z=0在y轴上的截距.( × )

题号
1

答案

2 m>1 -2

解析

2
3

4

作出不等式组表示的平面区域,
如图中阴影部分所示,z=2x+y, 则y=-2x+z.易知当直线y=-2x+z过点A(k,k)时, z=2x+y取得最小值, 即3k=-6,

所以k=-2.

题型一
例1

二元一次不等式(组)表示的平面区域
所表示的平面区域被直

?x≥0, ? (1)若不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4

4 线 y=kx+3分为面积相等的两部分, 则 k 的值是_________.
解 析
思 维 升 华

解 析

思 维 升 华

解析 不等式组表示的平面区域如图所示.
? 4? 4 ? 由于直线 y=kx+3过定点?0,3? ?. ? ?

因此只有直线过AB中点时,

4 直线 y=kx+3能平分平面区域.
?1 5? ? , 因为 A(1,1), B(0,4), 所以 AB 中点 D? ?2 2?. ? ?

解 析

思 维 升 华

?1 5? 4 5 k 4 ? ? 当 y=kx+3过点?2,2?时,2=2+3, ? ?

7 所以 k=3. 7 答案 3

解 析

思 维 升 华

二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:

直线定界,测试点定域.
注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线, 有等号时直线画成实线.测试点可以选一个,也可以选多个,

若直线不过原点,则测试点常选取原点.

解析

答案

思维升华

例1

(2)如图阴影部分表示的

区域可用二元一次不等式组表
示为_________.

解析

答案

思维升华

例1

(2)如图阴影部分表示的

两直线方程分别为x-2y+ 2=0与x+y-1=0.

区域可用二元一次不等式组表
示为_________.

由 (0,0) 点在直线 x - 2y + 2
= 0 右 下 方 可 知 x - 2y + 2≥0, 又(0,0)点在直线x+y-1=

解析

答案

思维升华

例1

(2)如图阴影部分表示的
?x+y-1≥0, 即? ?x-2y+2≥0

区域可用二元一次不等式组表
示为_________.

为所表示的可行域.

解析

答案

思维升华

例1

(2)如图阴影部分表示的
?x+y-1≥0, 即? ?x-2y+2≥0

区域可用二元一次不等式组表
?x+y-1≥0, ? x-2y+2≥0 示为? _________.

为所表示的可行域.

解析

答案

思维升华

例1

(2)如图阴影部分表示的

区域可用二元一次不等式组表
?x+y-1≥0, ? x-2y+2≥0 示为? _________.

二元一次不等式 ( 组 ) 表示 平面区域的判断方法: 直线定界,测试点定域. 注意不等式中不等号有无 等号,无等号时直线画成 虚线,有等号时直线画成 实线 . 测试点可以选一个, 也可以选多个,若直线不 过原点,则测试点常选取 原点.

跟踪训练 1
?x+y-1≥0, ? ?x-1≤0, ? ?ax-y+1≥0

(1) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 若 不 等 式 组

(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 4,

则 a 的值为________.

解析 直线ax-y+1=0过点(0,1), 作出可行域如图知可行域由点A(1,0),B(1,a+1),

C(0,1)组成的三角形的内部(包括边界),
1 且 a>-1,则其面积等于2×(a+1)×1=4,

解得a=7. 答案 7

(2)如图所示的平面区域(阴影部分) x+y-1>0 满足不等式__________.

解析 边界对应直线方程为x+y-1=0,且为虚线,区域中

不含(0,0),由以上可知平面区域(阴影部分)满足x+y-1>0.

题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014· 广东改编)若变量x,y
?y≤x, ? 满足约束条件 ?x+y≤1, ? ?y≥-1,

解析

答案

思维升华

且z=2x+y的最大值和最小值分别 为m和n,则m-n=________.

题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014· 广东改编)若变量x,y
?y≤x, ? 满足约束条件 ?x+y≤1, ? ?y≥-1,

解析

答案

思维升华

画出可行域, 如图阴影部分所示.

且z=2x+y的最大值和最小值分别 为m和n,则m-n=________. 由z=2x+y, 得y=-2x+z.

题型二 求线性目标函数的最值

解析

答案

思维升华

?y=x, ?x=-1, 得? 例2 (1)(2014· 广东改编)若变量x,y 由? ?y=-1, ?y=-1, ?y≤x, ? ∴A(-1,-1). 满足约束条件 ?x+y≤1, ? ?x+y=1, ?y≥-1, 由? ?y=-1, 且z=2x+y的最大值和最小值分别

为m和n,则m-n=________.

?x=2, 得? ?y=-1,

题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014· 广东改编)若变量x,y
?y≤x, ? 满足约束条件 ?x+y≤1, ? ?y≥-1,

解析

答案

思维升华

∴B(2,-1). 当直线 y =- 2x + z 经过点

A时,zmin=2×(-1)-1=
-3=n.当直线y=-2x+z 经过点B时,zmax=2×2-

且z=2x+y的最大值和最小值分别 为m和n,则m-n=________.

1=3=m,故m-n=6.

题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014· 广东改编)若变量x,y
?y≤x, ? 满足约束条件 ?x+y≤1, ? ?y≥-1,

解析

答案

思维升华

∴B(2,-1). 当直线 y =- 2x + z 经过点

A时,zmin=2×(-1)-1=
-3=n.当直线y=-2x+z 经过点B时,zmax=2×2-

且z=2x+y的最大值和最小值分别 为m和n,则m-n=________. 6

1=3=m,故m-n=6.

题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014· 广东改编)若变量x,y
?y≤x, ? 满足约束条件 ?x+y≤1, ? ?y≥-1,

解析

答案

思维升华

线性规划问题的解题步骤: (1)作图——画出约束条件 所确定的平面区域和目标 函数所表示的平行直线系 中过原点的那一条直线;

且z=2x+y的最大值和最小值分别 (2)平移——将直线平行移 为m和n,则m-n=________. 6 动,以确定最优解的对应 点的位置;

题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014· 广东改编)若变量x,y
?y≤x, ? 满足约束条件 ?x+y≤1, ? ?y≥-1,

解析

答案

思维升华

(3) 求值 —— 解方程组求

出对应点坐标(即最优解), 代入目标函数,即可求 出最值.

且z=2x+y的最大值和最小值分别 为m和n,则m-n=________. 6

解析

答案

思维升华

例2 (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知

a>0,x,y满足约束条件 ?x≥1,

? ?x+y≤3, 若z=2x+y的 ? ?y≥a?x-3?,

最小值为1,则a=________.

解析

答案

思维升华

例2 (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知

作出不等式组表示的可行 域,如图(阴影部分).

a>0,x,y满足约束条件 ?x≥1,

? ?x+y≤3, 若z=2x+y的 ? ?y≥a?x-3?,

最小值为1,则a=________.

易知直线z=2x+y过交点

A时,z取最小值,

解析

答案

思维升华

例2 (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知

a>0,x,y满足约束条件 ?x≥1,

?x=1, 由? ?y=a?x-3?, ?x=1, 得? ?y=-2a,

? ?x+y≤3, 若z=2x+y的 ? ?y≥a?x-3?,

最小值为1,则a=________.

∴zmin=2-2a=1,

1 解得 a=2.

解析

答案

思维升华

例2 (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知

a>0,x,y满足约束条件 ?x≥1,

?x=1, 由? ?y=a?x-3?, ?x=1, 得? ?y=-2a,

1 最小值为1,则a=________. 2

? ?x+y≤3, 若z=2x+y的 ? ?y≥a?x-3?,

∴zmin=2-2a=1,

1 解得 a=2.

解析

答案

思维升华

例2 (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知

线性规划问题的解题步骤: (1)作图——画出约束条件 所确定的平面区域和目标 函数所表示的平行直线系 中过原点的那一条直线; (2)平移——将直线平行移 动,以确定最优解的对应 点的位置;

a>0,x,y满足约束条件 ?x≥1,

1 最小值为1,则a=________. 2

? ?x+y≤3, 若z=2x+y的 ? ?y≥a?x-3?,

解析

答案

思维升华

例2 (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知

a>0,x,y满足约束条件 ?x≥1,

(3) 求值 —— 解方程组求

1 最小值为1,则a=________. 2

? ?x+y≤3, 若z=2x+y的 ? ?y≥a?x-3?,

出对应点坐标(即最优解), 代入目标函数,即可求 出最值.

跟踪训练 2

(1)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由

?0≤x≤ 2, ? 不等式组?y≤2, ? ?x≤ 2y

给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,

→ → 点 A 的坐标为( 2, 1), 则 z=OM· OA的最大值为________.

解析

?0≤x≤ 2, ? 由线性约束条件?y≤2, ? ?x≤ 2y

画出可行域如图阴影部分所示,

→ → 将其化为 y=- 2x+z, 目标函数 z=OM· OA= 2x+y,

结合图形可知,目标函数的图象过点( 2,2)时,z 最大,
将点( 2,2)代入 z= 2x+y 得 z 的最大值为 4. 答案 4

?x+y-2≥0, ? (2)(2014· 北京改编)若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0,

且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为________.
解析 作出可行域,如图中阴影部分所示,
2 直线 kx-y+2=0 与 x 轴的交点为 A(-k,0).

?x+y-2≥0, ? (2)(2014· 北京改编)若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0,

1 -2 且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为________.
2 ∵z=y-x 的最小值为-4,∴k =-4, 1 解得 k=-2.

题型三

线性规划的实际应用

例3 某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地 间的长途客运业务,每车每天往返一次 .A 、 B 两种车辆的 载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别 为1 600元/辆和2 400元/辆,公司拟组建一个不超过 21辆车

的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天运送人 数不少于 900 ,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小, 那么应配备A型车、B型车各多少辆?
解 析

思 维 升 华

解 析

思 维 升 华



设A型、B 型车辆分别为 x 、 y辆,相应营运成本为 z元,

则z=1 600x+2 400y.

?x+y≤21, ? ?y≤x+7, 由题意,得 x,y 满足约束条件? ?36x+60y≥900, ?x,y≥0,x,y∈N. ?

作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),

Q(7,14),R(15,6).

解 析

思 维 升 华

由图可知,当直线z=1 600x+2 400y 经过可行域的点P时, 直线z=1 600x+2 400y在y轴上的截 z 距 最小, 2 400 即z取得最小值. 故应配备A型车5辆、B型车12辆,可以满足公司从甲地去 乙地的营运成本最小.

解 析

思 维 升 华

解线性规划应用问题的一般步骤:
(1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数; (3)作出可行域并利用数形结合求解; (4)作答.

跟踪训练3

某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲

产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料

1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润 5万元、每吨乙
产品可获得利润 3万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原

料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得的最
大利润是________万元. 解析 设生产甲产品x吨、乙产品y吨, 则获得的利润为z=5x+3y.

?x≥0, ? ?y≥0, 由题意得? ?3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18,

可行域如图阴影所示.
由图可知当x、y在A点取值时,z取得最大值,此时x=3,

y=4,z=5×3+3×4=27(万元). 答案 27

题型四

求非线性目标函数

解析

答案

思维升华

的最值
例 4 (1)设实数 x,y 满足
?x-y-2≤0, ? ?x+2y-4≥0, ? ? 2y-3≤0,

y 则 的最大值为________. x

题型四

求非线性目标函数

解析

答案

思维升华

的最值
例 4 (1)设实数 x,y 满足
?x-y-2≤0, ? ?x+2y-4≥0, ? ? 2y-3≤0,

y 表示点(x,y)与原点(0,0) x 连线的斜率,
3 在点(1, )处取到最大值. 2

y 则 的最大值为________. x

题型四

求非线性目标函数

解析

答案

思维升华

的最值
例 4 (1)设实数 x,y 满足
?x-y-2≤0, ? ?x+2y-4≥0, ? ? 2y-3≤0,

y 表示点(x,y)与原点(0,0) x 连线的斜率,
3 在点(1, )处取到最大值. 2

3 y 则 的最大值为________. 2 x

题型四

求非线性目标函数

解析

答案

思维升华

的最值
例 4 (1)设实数 x,y 满足
?x-y-2≤0, ? ?x+2y-4≥0, ? ? 2y-3≤0,

常见代数式的几何意义有

(1) x2+y2表示点(x,y) 与原点(0,0)的距离;
(2) ?x-a?2+?y-b?2 表 示 点(x,y)与点(a,b)之间的 距离;

3 y 则 的最大值为________. 2 x

题型四

求非线性目标函数

解析

答案

思维升华

的最值
例 4 (1)设实数 x,y 满足
?x-y-2≤0, ? ?x+2y-4≥0, ? ? 2y-3≤0,

y (3) 表 示点 (x , y) 与原 点 x (0,0)连线的斜率;

y-b (4) 表示点(x,y)与点 x-a (a,b)连线的斜率.

3 y 则 的最大值为________. 2 x

解析

答案

思维升华

例 4 (2)已知 O 是坐标原点,点 A(1,0),若点 M(x,y)为平面区域
?x+y≥2, ? ?x≤1, ? ?y≤2

上的一个动点,

→ → 则|OA+OM|的最小值是______.

解析

答案

思维升华

例 4 (2)已知 O 是坐标原点,点 A(1,0),若点 M(x,y)为平面区域
?x+y≥2, ? ?x≤1, ? ?y≤2

→ → 依题意得, OA+OM=(x+1, → → y) , | OA + OM | = ?x+1?2+y2可视为点(x,y) 与点(-1,0)间的距离,
在坐标平面内画出题中的

上的一个动点,

→ → 则|OA+OM|的最小值是______.

不等式组表示的平面区域,

解析

答案

思维升华

例 4 (2)已知 O 是坐标原点,点 A(1,0),若点 M(x,y)为平面区域
?x+y≥2, ? ?x≤1, ? ?y≤2

结合图形可知,在该平面

区域内的点中,

上的一个动点,

→ → 则|OA+OM|的最小值是______.

解析

答案

思维升华

例 4 (2)已知 O 是坐标原点,点 由点(-1,0)向直线x+y=2 A(1,0),若点 M(x,y)为平面区域 引垂线的垂足位于该平面
?x+y≥2, ? ?x≤1, ? ?y≤2

区域内,

上的一个动点,

且与点 ( - 1,0) 的距离最小, → → 因此 |OA+ OM |的最小值是
|-1+0-2| 3 2 = . 2 2

→ → 则|OA+OM|的最小值是______.

解析

答案

思维升华

例 4 (2)已知 O 是坐标原点,点 由点(-1,0)向直线x+y=2 A(1,0),若点 M(x,y)为平面区域 引垂线的垂足位于该平面
?x+y≥2, ? ?x≤1, ? ?y≤2

区域内,

上的一个动点,

3 2 → → 则|OA+OM|的最小值是______. 2

且与点 ( - 1,0) 的距离最小, → → 因此 |OA+ OM |的最小值是
|-1+0-2| 3 2 = . 2 2

解析

答案

思维升华

例 4 (2)已知 O 是坐标原点,点 A(1,0),若点 M(x,y)为平面区域
?x+y≥2, ? ?x≤1, ? ?y≤2

常见代数式的几何意义有

(1) x2+y2表示点(x,y) 与原点(0,0)的距离;
(2) ?x-a?2+?y-b?2 表 示 点(x,y)与点(a,b)之间的 距离;

上的一个动点,

3 2 → → 则|OA+OM|的最小值是______. 2

解析

答案

思维升华

例 4 (2)已知 O 是坐标原点,点 A(1,0),若点 M(x,y)为平面区域
?x+y≥2, ? ?x≤1, ? ?y≤2

y (3) 表 示点 (x , y) 与原 点 x (0,0)连线的斜率;

上的一个动点,

y-b (4) 表示点(x,y)与点 x-a (a,b)连线的斜率.

3 2 → → 则|OA+OM|的最小值是______. 2

区域是 Ω1,平面区域 Ω2 是与Ω1 关于直线 3x - 4y- 9 = 0 对称 的区域,对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B,AB的 最小值为________. 解析 由题意知,所求的AB的最小值,

?x≥1, ? 跟踪训练4 (1)设不等式组 ?x-2y+3≥0, 所表示的平面 ? ?y≥x

即为区域Ω1中的点到直线 3x-4y-9=0的距离的最小值的两

画出已知不等式表示的平面区域, 如图所示, 可看出点(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离最小,

|3×1-4×1-9| 故 AB 的最小值为 2× =4. 5
答案 4

?5x+2y-18≤0, ? (2)设变量x,y满足 ?2x-y≥0, ? ? x+y-3≥0,

若直线kx-y+2=0经过该可行域,则k的最大值为________. 解析 画出可行域如图,

k为直线y=kx+2的斜率,
直线过定点(0,2),并且直线过可行域,

?5x+2y-18≤0, ? (2)设变量x,y满足 ?2x-y≥0, ? ? x+y-3≥0,

若直线kx-y+2=0经过该可行域,则k的最大值为________. 1

要使k最大,此直线需过B(2,4)点,

4-2 所以 k= =1. 2-0

思想与方法系列10 的最值

利用线性规划思想求解非线性目标函数

?x-4y+3≤0, ? 典例:(14分)变量x、y满足 ?3x+5y-25≤0, ? ? x≥1,

y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x
思 维 点 拨 规 范 解 答

思 维 点 拨

规 范 解 答

y y-0 点(x, y)在不等式组表示的平面区域内, = 表示点 ( x , x x-0 y)和原点连线的斜率;

思 维 点 拨

规 范 解 答



?x-4y+3≤0, ? 由约束条件?3x+5y-25≤0, ? ? x≥1,

作出(x,y)的可行域如图所示.
?x=1, 由? ?3x+5y-25=0,

思 维 点 拨

规 范 解 答

解得

? 22? ? ? A?1, ?. 5? ?

?x=1, 由? 解得 C(1,1). ?x-4y+3=0,
?x-4y+3=0, 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0,

y y-0 ∵z= = . x x-0

4分

思 维 点 拨

规 范 解 答

∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.

2 观察图形可知 zmin=kOB= . 5

7分

(2)设z=x2+y2,求z的取值范围;
思 维 点 拨

规 范 解 答

(2)设z=x2+y2,求z的取值范围;
思 维 点 拨

规 范 解 答

点(x, y)在不等式组表示的平面区域内, x2+y2 表示点(x, y)和原点距离的平方;

(2)设z=x2+y2,求z的取值范围;
思 维 点 拨

规 范 解 答



z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离

的平方.

结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,

d min=OC= 2,dmax=OB= 29.
∴2≤z≤29.
11分

(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.
思 维 点 拨

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.
思 维 点 拨

规 范 解 答

温 馨 提 醒

点(x,y)在不等式组表示的平面区域内, x2 +y2 +6x-4y +13=(x+3)2+(y-2)2 表示点(x,y)和点(-3,2)的距离的 平方.

(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.
思 维 点 拨

规 范 解 答

温 馨 提 醒



z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义

是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.
结合图形可知,可行域上的点到点(-3,2)的距离中,

dmin=1-(-3)=4,

d max= ?-3-5?2+?2-2?2=8.
∴16≤z≤64.
14分

(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.
思 维 点 拨

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1) 本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函 数的最值的求法. (2) 解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给 目标函数赋于一定的几何意义. (3)本题错误率较高.出错原因是,很多学生无从入手,缺 乏数形结合的应用意识,不知道从其几何意义入手解题.

1.平面区域的画法:线定界、点定域(注意实虚线).

方 法 与 技 巧

2.求最值:求二元一次函数 z=ax+by (ab≠0)的最值, a z 将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ , b b z 通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值.最优解在 b 顶点或边界取得.

3.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最 好列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件; 写出要研究的函数,转化成线性规划问题.

方 法 与 技 巧

4.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义 可以解决一些非线性规划问题.

1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元

失 误 与 防 范

一次不等式标准化.
z 2.在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时, 要 b z 注意:当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值; b z z 截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取 b b z 最大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值. b

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?y≤x+1, ? 1.在直角坐标平面内,不等式组?y≥0, ? ?0≤x≤t

所表示的平面

3 区域的面积为 ,则 t 的值为________. 2 ?y≤x+1,

解析

? 不等式组?y≥0, ? ?0≤x≤t

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所表示的平面区域如图中阴影部分所示. ?y=x+1, 由? 解得交点 B(t,t+1), ?x=t,

在y=x+1中,令x=0得y=1,
即直线 y = x + 1 与 y 轴的交点为 C(0,1) , ?1+t+1?×t 3 由平面区域的面积 S= = , 得 t2+2t-3=0, 2 2 解得t=1或t=-3(不合题意,舍去). 答案 1

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2.在平面直角坐标系 xOy

? ?|x |≤ |y |, 中,满足不等式组? ? ?|x |<1

的点

(x,y)的集合用阴影表示为下列图中的________.

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解析 |x|=|y|把平面分成四部分,

|x|≤|y|表示含y轴的两个区域;
|x|<1表示x=±1所夹含y轴的带状区域. 答案 ③

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?x≥1, ? 3.不等式组?x+y-4≤0, ? ?kx-y≤0

表示面积为 1 的直角三角形区域,

1 则 k 的值为________. 解析 画出平面区域如图所示: 直线y=kx一定垂直x+y-4=0,即k=1,只有这样才可使 围成的区域为直角三角形,且面积为1.

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?x+y-2≤0, ? 4.(2014· 安徽改编)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ? 2x-y+2≥0.

若z

= y - ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为 ________.
解析 如图,由y=ax+z知z的几 何意义是直线在y轴上的截距,

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故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一, 则a=2;

当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,
则a=-1. 答案 2或-1

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5.(2014· 课标全国Ⅱ改编)设 x,y 满足约束条件
?x+y-7≤0, ? ?x-3y+1≤0, ? ? 3x-y-5≥0,

则 z=2x-y 的最大值为________.

解析 画出可行域如图所示.

由z=2x-y,得y=2x-z,欲求z的最大值,
可将直线y=2x向下平移,

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当经过区域内的点,且满足在y轴上的截距-z最小时, 即得z的最大值,如图,可知当过点A时z最大,
?x+y-7=0, ?x=5, 由? 得? ?x-3y+1=0, ?y=2,

即A(5,2),则zmax=2×5-2=8.
答案 8

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?x+y-2≥0, ? 6.在平面直角坐标系中,不等式组?x-y+2≥0, ? ?x≤2

表示的平面区域的面积为________.
解析 作出可行域为△ABC(如图),

则S△ABC=4.

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?x+y≥0, ? 7.设 z=2x+y, 其中 x, y 满足?x-y≤0, ? ?0≤y≤k,

若 z 的最大值为 6,

则 k 的值为________,z 的最小值为________.
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区

域及直线2x+y=z,

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结合图形分析可知,要使z=2x+y的最大值是6,
直线y=k必过直线2x+y=6与x-y=0的交点,

即必过点(2,2),于是有k=2;

平移直线2x+y=6,当平移到经过该平面区域内的点(-2,2)时,

相应直线在 y轴上的截距达到最小,此时z=2x+y取得最小值, 最小值是z=2×(-2)+2=-2.答案 2 -2

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8. 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的

排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表:
a A B 50% 70% b(万吨) 1 0.5 c(百万元) 3 6

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某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超

过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________(百万元).
解析 设购买铁矿石A、B分别为x万吨,y万吨,

购买铁矿石的费用为z(百万元),
?0.5x+0.7y≥1.9, ? ?x+0.5y≤2, 则? ? x≥0, ? ? y≥0.

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目标函数z=3x+6y,
?0.5x+0.7y=1.9, ?x=1, 由? 得? ?x+0.5y=2, ?y=2.

记P(1,2), 画出可行域可知,当目标函数z=3x+6y过点P(1,2)时, z取到最小值15. 答案 15

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9.若直线x+my+m=0与以P(-1,-1)、Q(2,3)为端点的线段不

相交,求m的取值范围.
解 直线x+my+m=0将坐标平面划分成两块区域,

线段PQ与直线x+my+m=0不相交,则点P、Q在同一区域内, ?-1-m+m>0, ?-1-m+m<0, 于是? 或? ?2+3m+m>0, ?2+3m+m<0, 1 所以,m 的取值范围是 m<- . 2

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10.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩

具共 100 个,生产一个卫兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,
生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生 产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产 一个伞兵可获利润3元. (1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润

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解 依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y, 所以利润ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.

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(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是 多少?
?5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? 解 约束条件为? 100-x-y≥0, ? ? x≥0,y≥0,x、y∈N. ?x+3y≤200, ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x、y∈N.

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目标函数为ω=2x+3y+300, 作出可行域,如图所示,

作初始直线l0:2x+3y=0,平移l0,
当l0经过点A时,ω有最大值,
?x+3y=200, ?x=50, 由? 得? ?x+y=100, ?y=50.

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∴最优解为A(50,50),此时ωmax=550元.
故每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大, 且最大利润为550元.

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?x+y≤a, ? 1.设变量 x、 y 满足约束条件?x+y≥8, ? ?x≥6,

且不等式 x+2y≤14

恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
解析 不等式组表示的平面区域如图中

阴影部分所示,

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显然a≥8,否则可行域无意义. 由图可知x+2y在点(6,a-6)处取得最大值2a-6,

由2a-6≤14得,a≤10.
答案 [8,10]

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2.(2014· 课标全国Ⅰ改编)设 x,y 满足约束条件
?x+y≥a, ? 且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=________. ?x-y≤-1,

解析 当a=-5时,作出不等式 组表示的可行域, 如图(1)(阴影部分).

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?x-y=-1, 由? 得交点 A(-3,-2), ?x+y=-5

则目标函数z=x-5y过A点时取得最大值.
zmax=-3-5×(-2)=7,不满足题意.

当a=3时,作出不等式组表示的可行域,
如图(2)(阴影部分).

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?x-y=-1, 由? 得交点 B(1,2), ?x+y=3

则目标函数z=x+3y过B点时取得最小值. zmin=1+3×2=7,满足题意. 答案 3

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?x-y-1≤0, 3.(2014· 山东改编)已知 x,y 满足约束条件? ?2x-y-3≥0,

当目标函数 z=ax+by(a>0, b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5 时,a2+b2 的最小值为________.
解析 方法一 线性约束条件所表示 的可行域如图所示.

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所以 z=ax+by 在 A(2,1)处取得最小值,故 2a+b=2 5, a2+b2=a2+(2 5-2a)2=( 5a-4)2+4≥4.
方法二 画出满足约束条件的可行域知, 当目标函数过直线 x - y - 1 = 0 与 2x - y - 3 = 0 的交点 (2,1) 时取得最小值,

?x-y-1=0, ?x=2, 由? 解得? ?2x-y-3=0, ?y=1,

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所以有 2a+b=2 5.
又因为a2+b2是原点(0,0)到点(a,b)的距离的平方,

故当 a2+b2为原点到直线 2a+b-2 5=0 的距离时最小,
|-2 5| 所以 a +b 的最小值是 2 2=2, 2 +1
2 2

所以a2+b2的最小值是4. 答案 4

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?x+2y-3≤0, ? 4.已知变量 x,y 满足约束条件?x+3y-3≥0, ? ?y-1≤0,

若目标函数

z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范 围是__________.

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解析

画出x、y满足约束条件的可行域如图所示,

要使目标函数z=ax+y仅在点(3,0)处取得最大值,

则直线y=-ax+z的斜率应小于直线x+2y-3=0的斜率,

1 1 即-a<- ,∴a> . 答案 2 2

?1 ? ? ? ? ,+∞? ?2 ?

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5.若函数 y=log2x 的图象上存在点(x,y),满足约束条件
?x+y-3≤0, ? ?2x-y+2≥0, ? ? y≥m,

则实数 m 的最大值为________. 1

解析 如图,作出函数的可行域,当函数y
=log2x过点(2,1)时,实数m有最大值1.

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6.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥 料的主要原料是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨;生产1车皮乙种 肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨,硝酸盐15吨.现库存磷酸 盐10吨,硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料.如 果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元,生产1车皮乙 种肥料产生的利润为5 000元,那么应该怎么安排生产,可 使产生的利润最大.

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设生产甲种肥料 x 车皮,生产乙种肥料 y 车皮,

则z=10 000x+5 000y,
?4x+y≤10, ? ?18x+15y≤66, ? ?x≥0, ?y≥0, ?

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画出图形可知,目标函数在D(2,2)处有最大值,

且zmax=10 000×2+5 000×2=30 000(元).


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