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2015年走向高考·高考数学理总复习课件(北师大版)指数函数与对数函数


基础达标检测 一、选择题 1 1. (文)在同一坐标系中, 函数 y=2x 与 y=(2)x 的图像之间的关系 是( ) A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 [答案] A 1 [解析] ∵y=(2)x=2-x, ∴它与函数 y=2x 的图像关于 y 轴对称. (理)函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则有( A.a=1 或 a=2 C.a=2 [答案] C [解析]
2 ? ?a -3a+3=1, 由已知,得? ? ?a>0且a≠1,

B.关于 x 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

)

B.a=1 D.a>0 且 a≠1

?a2-3a+2=0 ? 即? ∴a=2. ?a>0且a≠1. ? ?1? 2.(文)设 y1=40.9,y2=80.48,y3=?2?-1.5,则( ? ?

)

A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3 [答案] D

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

[解析] y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5, ∵y=2x 在 R 上是单调递增函数,∴y1>y3>y2. (理)设函数 f(x)=a-|x|(a>0,且 a≠1),f(2)=4,则( )

A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2) [答案] A

B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2)

[解析] ∵f(x)=a-|x|(a>0,且 a≠1),f(2)=4, 1 1 ∴a-2=4,∴a=2,∴f(x)=(2)-|x|=2|x|, ∴f(-2)>f(-1),故选 A. 3.(2013· 浙江高考)已知 x、y 为正实数,则( A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy
lgy C.2lgx· =2lgx+2lgy

)

B.2lg(x+y)=2lgx· 2lgy D.2lg(xy)=2lgx· 2lgy

[答案] D [解析] 2lg(xy)=2(lgx+lgy)=2lgx· 2lgy. 4.已知 f(x)为偶函数且满足关系 f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0 时,f(x)=2x.若 n∈N+,an=f(n),则 a2 015 等于( A.2 013 1 C.2 [答案] C [解析] 设 2+x=t,则∴x=t-2. ∴f(t)=f[2-(t-2)] =f(4-t)=f(t-4). ∴f(x)的周期为 4. 1 ∴a2 015=f(2 015)=f(4×504-1)=f(-1)=2-1=2. 5.给出下列结论: ①当 a<0 时,(a )
2 3 2

)

B.2 D.-2

=a3;

n ② an=|a|(n>1,n∈N+,n 为偶数); ③函数 f(x)=(x-2)
1 2

7 -(3x-7)0 的定义域是{x|x≥2 且 x≠3};

1 ④若 2x=16,3y=27,则 x+y=7. 其中正确的是( A.①② C.③④ [答案] B [解析] ∵a<0 时,(a )
2 3 2

) B.②③ D.②④

>0,a3<0,∴①错;

? ?x-2≥0 7 ②显然正确;解? ,得 x≥2 且 x≠3,∴③正确, ?3x-7≠0 ?

1 ∵2x=16,∴x=4,∵3y=27=3-3,∴y=-3, ∴x+y=4+(-3)=1,∴④错.
?1? ?1? 6. 已知实数 a、 b 满足等式?2?a=?3?b, 下列五个关系式: ①0<b<a; ? ? ? ?

②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能 成立的关系式有 ... ( ) A.1 个 C.3 个 [答案] B
?1? ?1? [解析] 作 y=?3?x,y=?2?x 的图像,如图 ? ? ? ?

B.2 个 D.4 个

?1? ?1? 当 x<0 时,?2?a=?3?b,则有 a<b<0; ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? 当 x>0 时,?2?a=?3?b,则有 0<b<a; ?1? ?1? 当 x=0 时,?2?a=?3?b,则有 a=b=0. ? ? ? ?

故不可能成立的是③④. 二、填空题 7 . 若 x>0 , 则 (2x ________. [答案] -23 [解析]
1 2 1 4

+3

3 2

)(2x

1 4

-3

3 2



) - 4x

1 2

(x - x

1 2

)=

原式=(2x ) -(3 ) -4x

1 4

2

3 2

2

1-

1 2



+4x

1 1 + 2 2

=4x -33-

1 2

4x +4=-23. 8. (文)若函数 f(x)=ax-1(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2], 则 a=________. [答案] 3

[解析] 当 a>1 时,f(x)为增函数,
0 ? ? ?f?0?=0, ?a -1=0, 则? 即? 2 ∴a= 3. ?f?2?=2, ? ? ?a -1=2,

当 0<a<1 时,f(x)为减函数,
0 ? ? ?f?0?=2, ?a -1=2, ∴? ∴? 2 无解.综上,a= 3. ?f?2?=0, ? ? ?a -1=0

(理)(2014· 安庆模拟)若 f(x)=a-x 与 g(x)=ax-a(a>0 且 a≠1)的图像 关于直线 x=1 对称,则 a=________. [答案] 2 [解析] g(x)上的点 P(a,1)关于直线 x=1 的对称点 P′(2-a,1)应 在 f(x)=a-x 上,∴1=aa-2.∴a-2=0, 即 a=2. 9.函数 y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则 k 的取值范 围是________. [答案] (-1,1) [解析] 由于函数 y=|2x-1|在(-∞, 0)内单调递减, 在(0, +∞) 内单调递增,而函数在区间(k-1,k+1)内不单调,所以有 k-1<0<k +1,解得-1<k<1.

基础达标检测 一、选择题 1.(文)函数 y=log2x 的图像大致是( )

A

B

C

D

[答案] C [解析] 考查对数函数的图像. (理)函数 f(x)=2
|log2x|

的图像大致是(

)

[答案] C [解析]

?x,x≥1, ∵f(x)=2|log2x|=?1 ?x,0<x<1,

∴选 C.

2+x x 2 2.设 f(x)=lg ,则 f(2)+f(x)的定义域为( 2-x A.(-4,0)∪(0,4) C.(-2,-1)∪(1,2) [答案] B [解析] f(x)的定义域为{x|-2<x<2}, x≠0, ? ?-2<x<2, x 2 2 要使 f(2)+f(x )有意义应满足? 2 ? ?-2<x<2, 解得-4<x<-1 或 1<x<4,故 B 正确.

)

B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-4,-2)∪(2,4)

3.(2013· 陕西高考)设 a,b,c 为均不等于 1 的正实数,则下列 等式中恒成立的是( )

A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb

C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac [答案] B [ 解析 ] 本题考查对数的运算法则,运算性质.由换底公式得

lgb lga lgb logab· logca=lga· lgc=lgc=logcb,B 正确. 4.若点(a,b)在 y=lgx 图像上,a≠1,则下列点也在此图像上 的是( ) B.(10a,1-b) D.(a2,2b)

1 A.(a,b) 10 C.( a ,b+1) [答案] D

[解析] 该题考查对数的运算性质,将横坐标看成自变量,看函 数值是不是纵坐标,假设是,则点在图像上,若不是,则点不在图像 上. 由题意知 b=lga, 1 对于 A 选项,lga=-lga=-b≠b, 对 B 选项 lg(10a)=1+lga=1+b≠1-b. 10 对 C 选项 lg a =1-lga=1-b≠b+1, 对 D,lga2=2lga=2b,故(a2,2b)在图像上. 5.已知 f(x)=loga(x+1)(a>0 且 a≠1)若当 x∈(-1,0)时,f(x)<0, 则 f(x)是( ) B.减函数 D.不单调的函数

A.增函数 C.常数函数 [答案] A

[解析] 由于 x∈(-1,0),则 x+1∈(0,1),所以 a>1,因而 f(x) 在(-1,+∞)上是增函数. f?a? f?b? f?c? 6.若函数 f(x)=log2(x+1)且 a>b>c>0,则 a 、 b 、 c 的大小 关系是( ) f?c? f?b? f?a? B. c > b > a f?a? f?c? f?b? D. a > c > b

f?a? f?b? f?c? A. a > b > c f?b? f?a? f?c? C. b > a > c [答案] B

f?a? f?b? f?c? [解析] ∵ a 、 b 、 c 可看作函数图像上的点与原点所确定的 直线的斜率,结合函数 f(x) = log2(x + 1) 的图像及 a>b>c>0 可知 f?c? f?b? f?a? c > b > a .故选 B. 二、填空题 7.(2013· 四川高考)lg 5+lg 20的值是________. [答案] 1 [解析] 本题考查对数的运算. 1 1 lg 5+lg 20=lg5 +lg20 =2lg5+2lg20 1 1 =2(lg5+lg20)=2lg100=1. 8.(文)方程 log2(x2+x)=log2(2x+2)的解是________. [答案] x=2 x +x>0, ? ? 原方程??2x+2>0, ? ?x2+x=2x+2,
2 1 2 1 2

[解析]

解得 x=2.

(理)方程 log2(x-1)=2-log2(x+1)的解为________. [答案] [解析] -1= 5 log2(x-1)=2-log2(x+1)?log2(x-1)=log2 4 ,即 x x+1

4 ,解得 x=± 5(负值舍去),所以 x= 5. x+1

9.函数 y=log3(x2-2x)的单调减区间是________. [答案] (-∞,0) [解析] (等价转化法)令 u=x2-2x,则 y=log3u. ∵y=log3u 是增函数,u=x2-2x>0 的单调减区间是(-∞,0), ∴y=log3(x2-2x)的单调减区间是(-∞,0). 三、解答题 10.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性,并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. [解析] (1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),
? ?x+1>0, 则? 解得-1<x<1. ?1-x>0, ?

故所求定义域为{x|-1<x<1}. (2)f(x)为奇函数. 证明如下:由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)] =-f(x). 故 f(x)为奇函数.

(3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}上是增函数, x+1 所以 f(x)>0? >1. 1-x 解得 0<x<1. 所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|0<x<1}. 能力强化训练 一、选择题 1.(2013· 辽宁高考)已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg2) 1 +f(lg2)=( A.-1 C.1 [答案] D [解析] 本题主要考查函数的性质与换底公式. ∵f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1 =-ln( 1+9x2+3x)+1, f(-x)=ln( 1+9x2+3x)+1,∴f(x)+f(-x)=2, 1 1 又 lg2=-lg2,∴f(lg2)+f(lg2)=2,故选 D. 2.(文)函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和 为 a,则 a 的值为( 1 A.4 C.2 [答案] B [解析] ∵y=ax 与 y=loga(x+1)具有相同的单调性. ∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调, ) 1 B.2 D.4 ) B.0 D.2

∴f(0)+f(1)=a,即 a0+loga1+a1+loga2=a, 1 化简得 1+loga2=0,解得 a=2.


(理)已知 x=lnπ,y=log52,z=e A.x<y<z C.z<y<x [答案] D

1 2

,则(

)

B.z<x<y D.y<z<x

[解析] 本小题主要考查了对数、指数的性质的运用.
- 2 1 1 ∵y=log52=log 5,z=e = 且 e<2<log25 e 2 1

∴y<z<1,又 lnπ>1,∴y<z<x,故选 D. 二、填空题
? ?log3x,x>0, 1 3.(改编题)已知函数 f(x)=? x 则满足 f(a)<3的 a 的 ?3 ,x<0, ?

取值范围是________. 3 [答案] (-∞,-1)∪(0, 3) [解析]

?a>0, ? 1 log 3a< , ? 3

?a<0, 或? a 1 ?3 <3,

3 解得 0<a< 3或 a<-1.
x+1 ? ?3 ,x≤0 4.已知函数 f(x)=? ,则使函数 f(x)的图像位于直线 ?log2x,x>0 ?

y=1 上方的 x 的取值范围是________. [答案] {x|-1<x≤0 或 x>2} [解析] 当 x≤0 时,由 3x+1>1,得 x+1>0,即 x>-1.

∴-1<x≤0. 当 x>0 时,由 log2x>1,得 x>2. ∴x 的取值范围是{x|-1<x≤0 或 x>2}. 三、解答题 5. 已知函数 f(x)=loga(2-ax), 是否存在实数 a, 使函数 f(x)在[0,1] 上是 x 的减少的,若存在,求 a 的取值范围. [分析] 参数 a 既出现在底数上,又出现在真数上,应全面审视 对 a 的取值范围的制约. [解析] ∵a>0,且 a≠1, ∴u=2-ax 是 x 的减函数. 又 f(x)=loga(2-ax)在[0,1]是减少的, ∴函数 y=logau 是 u 的增函数,且对 x∈[0,1]时, u=2-ax 恒为正数.
?a>1 其充要条件是? ?2-a>0

即 1<a<2.

∴a 的取值范围是(1,2). 6.(文)已知定义域为 R 的函数 f(x)为奇函数,且满足 f(x+2)= -f(x),当 x∈[0,1]时,f(x)=2x-1. (1)求 f(x)在[-1,0)上的解析式; (2)求 f(log1 24)的值.
2

[解析] (1)令 x∈[-1,0),则-x∈(0,1], ∴f(-x)=2-x-1.又∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=f(-x)=2-x-1,
?1? ∴f(x)=-?2?x+1. ? ?

(2)∵log1 24=-log224∈(-5,-4),
2

∴log1 24+4∈(-1,0),
2

∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(log1 24)=f(log1 24+4)
2 2

?1?log 24+4 =-?2? 1 +1 ? ?
2

1 1 =-24×16+1=-2. (理)若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值; (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1),且 log2f(x)<f(1). [解析] (1)∵f(x)=x2-x+b, ∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b, 由已知(log2a)2-log2a+b=b, ∴log2a(log2a-1)=0. ∵a≠1,∴log2a=1,∴a=2.又 log2f(a)=2,∴f(a)=4. ∴a2-a+b=4,∴b=4-a2+a=2. 故 f(x)=x2-x+2. 1 7 从而 f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x-2)2+4. 1 7 ∴当 log2x=2,即 x= 2时,f(log2x)有最小值4.
2 ? ??log2x? -log2x+2>2, (2)由题意? 2 ?log2?x -x+2?<2 ?

? ?x>2或0<x<1, ?? ?0<x<1. ?-1<x<2 ?

∴x 的取值范围为(0,1)


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