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高中数学必修1-5知识点归纳及公式大全 (1)


必修 1 数学知识点
集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B 子集:对任意 x ? A ,都有 x ? B ,则称 A 是 B 的子集。记作 A ? B 真子集:若 A 是 B 的子集,且在 B 中至少存在一个元素不属于 A,则 A 是 B 的真子集, 记作 A ? B
?

集合相等:若: A ?
*

B, B ? A ,则 A ? B
有理数集:Q 实数集:R

自然数集:N 正整数集: N
奇偶性 1、 2、

整数集:Z

f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称.

f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.

第二章、基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地,如果 x
n

? a ,那么 x 叫做 a

的 n 次方根。其中 n .

? 1, n ? N ? .

2、 当 n 为奇数时,
n m

n

a n ? a ;当 n 为偶数时, n a n ? a

⑴a

? m a n a ? 0, m, n ? N * , m ? 1 ;⑵ a ? n ?

?

?

1 ?n ? 0 ? ; an
r

⑴a

r

a s ? a r ?s ?a ? 0, r, s ? Q? ;⑵ a r y ? a x ?a ? 0, a ? 1?

? ?

s

? a rs ?a ? 0, r , s ? Q? ⑶ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? .

§2.1.2、指数函数及其性质 1、 记住图象:

复合函数的单调性:
2

同增异减

三、二次函数 y = ax +bx + c( a

? 0 )的性质

? b 4ac ? b 2 ? 1、顶点坐标公式: ? ? ? 2a , 4a ? ?, ? ?
2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 (3)两根式

b 4ac ? b 2 对称轴: x ? ? ,最大(小)值: 2a 4a

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) .

§2.2.1、对数与对数运算 1、 a
x

? N ? loga N ? x ;2、 a loga N ? a .3、 loga 1 ? 0 , loga a ? 1 .
? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时:
-1-

4、当 a

⑴ loga

M? n ?MN ? ? loga M ? loga N ;⑵ loga ? ? ? ? loga M ? loga N ;⑶ loga M ? n loga M . ?N?

换底公式: loga

b?

logc b 1 ?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .; loga b ? ?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? . logb a logc a

记住图象: §2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:

y ? loga x?a ? 0, a ? 1?

1、幂的运算法则:

(1)a m ? a n = a m + n ,(2) a ? a ? a
m n

m?n

,(3)( a m ) n = a m n (4)( ab ) n = a n ? b n
n

? 1 1 an ?a? ?n m n (5) ? ? ? n (6)a 0 = 1 ( a≠0)(7) a ? n (8) a m ? a (9) a m ? m a b ?b? an

n

n

必修 2 数学知识点

⑴圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l

⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l

⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l ⑷体积公式:

1 1 V柱体 ? S ? h ; V锥体 ? S ? h ; V台体 ? S 上 ? S 上 ? S 下 ? S 下 h 3 3
-2-

?

?

⑸球的表面积和体积:

S球

4 ? 4?R ,V球 ? ?R 3 . 3
2

⑴ l1 // l 2 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C 2 ? B2 C1

第三章:直线与方程

y ? y1 1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2 x2 ? x1
2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b

⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C2 ? B2 C1

⑷ l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 5、两点间距离公式:

⑶两点式:

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2

6、点到直线距离公式:

⑷一般式: Ax ? By ? C ? 0 3、对于直线:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有:
⑴ l1 // l 2 ? ?

第四章:圆与方程 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 2、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 3、空间中两点间距离公式:

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑷ l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1. 4、对于直线:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

有:

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

必修 4 数学知识点
第一章、三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合: 2、 ? ?

l . r

3、弧长公式: l ?

n?R ? ?R. 180

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?.
§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 §1.2.1、任意角的三角函数

4、扇形面积公式: S ?

n?R 2 1 ? lR . 360 2

1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P?x, y ? ,那么:
-3-

2、 设点 A?x0 , y 0 ? 为角 ? 终边上任意一点,那么:(设 r ?

2 2 x0 ? y0 )

sin ??

y0 x y , cos? ? 0 , tan? ? 0 . r r x0

3、 sin ? , cos? , tan? 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一:

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin
2

? ? cos2 ? ? 1 .
? sin ? cos ?
.

2、 商数关系: tan ?

§1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二:

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
2、诱导公式三:

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 cos ? 2、 sin 3、 sin

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? cos? ,
3、诱导公式四:

?

? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ?

tan?? ? ? ? ? tan? .

?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .
4、诱导公式五:

4、 tan ? 5、 tan ?

? ?

? ?tan ? ? ? ? ? 1tan ?tan? tan ?

. .

? ?? ?

tan? ?tan ? 1?tan? tan ?

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2?

? 2 sin ? cos ? ,
. ?1 2 sin 2?

?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
5、诱导公式六:

变形: sin ? cos? 2、 cos 2?

? cos2 ? ? sin 2 ?
? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ,

?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

变形 1: cos

2

2 2 1 ? cos2? 变形 2: sin ? ? 2
3、 tan 2?

? ? 1 ? cos2? ,
.

? 2 tan? 1 ? tan2 ?

. -4-

必修 5 数学知识点

函数

正弦函数

余弦函数

正切函数

图象

定义域

R

R

{x| x≠

? +kπ ,k∈Z} 2
R π 奇函数

值域 周期性 奇偶性

[-1,1] 2π 奇函数

[-1,1] 2π 偶函数 增区间[-π +2kπ , 2kπ ] 减区间[2kπ ,π +2kπ ] ( k∈Z )

单调性

? ? +2kπ , +2kπ ] 2 2 ? 3? 减 区 间 [ +2k π , +2k 2 2
增区间[π]

增区间 (-

? ? +kπ , +kπ ) 2 2

( k∈Z )

对称轴 对称中 心 二、平面向量

x=

? + kπ ( k∈Z ) 2
(

x = kπ ( k∈Z )

无 (k

( kπ ,0 ) ( k∈Z )

? + kπ ,0 )( k∈Z ) 2

? ,0 ) ( k∈Z ) 2

1、向量的模计算公式:(1)向量法:| a | = a ? a ?

a ;
x2 ? y2

2

(2)坐标法:设 a =(x,y),则| a | = 2、单位向量的计算公式: (1)与向量 a =(x,y)同向的单位向量是 ?

?

x

? x2 ? y2 ? x

,

? ?; 2 2 ? x ?y ? y , ? ? ?; 2 2 ? x ?y ? y

(2)与向量 a =(x,y)反向的单位向量是 ? ?

? ? ?

x2 ? y2
-5-

3、平行向量 规定:零向量与任一向量平行。设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),λ 为实数 向量法: a ∥ b ( b ≠ 0 )<=> a =λ b 坐标法: a ∥ b ( b ≠ 0 )<=> x1 y2 – x2 y1 = 0 <=> 4、垂直向量 规定:零向量与任一向量垂直。设 a =(x1,y1), b =(x2,y2) 向量法: a ⊥ b <=> a · b = 0 5.平面两点间的距离公式 坐标法: a ⊥ b <=> x1 x 2 + y1 y 2 = 0

x1 x 2 (y1 ≠0 ,y 2 ≠0) ? y1 y 2

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

(二)、向量的加法 (1)向量法:三角形法则(首尾相接首尾连),平行四边形法则(起点相同连对角) (2)坐标法:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a + b =(x1+ x2 ,y1+ y2) (三)、向量的减法 (1)向量法:三角形法则(首首相接尾尾连,差向量的方向指向被减向量) (2)坐标法:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a - b =(x1 - x2 ,y1- y2) (3)、重要结论:| | a | - | b | | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b | (四)、两个向量的夹角计算公式:(1)向量法:cos ? =

a ?b | a || b | x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x12 ? y12 x 2 ? y2

(2)坐标法:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 cos ? =

(五)、平面向量的数量积计算公式:(1)向量法: a · b = | a | | b | cos ? (2)坐标法:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a · b = x1 x2 + y1 y2 (3) a·b 的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. (六).1、实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a;(2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 2.向量的数量积的运算律:(1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a)·b= ? (a·b)= ? a·b= a·( ? b);(3)(a+b)·c= a ·c +b·c. 3.平面向量基本定理:如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有 且只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2.不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

-6-

必修 5 数学知识点

第一章:解三角形 1、正弦定理:

第三章:不等式 1、

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
2、余弦定理:

当a, b ? 0时,a ? b ? 2 ab

?当且仅当a ? b时取等号?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, b ? a ? c ? 2ac cos B,
2 2 2

2、

当a, b ? R时,a 2 ? b 2 ? 2ab

?当且仅当a ? b时取等号?
2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC.
b2 ? c2 ? a2 , 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? , 2ac a2 ? b2 ? c2 cosC ? . 2ab cos A ?
3、三角形面积公式:

3、变形: ab ? ?

a2 ? b2 ?a?b? , ab ? ? 2 ? 2 ?

S ?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

第二章:数列 1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

,当n ? 1时, ? S1 an ? ? ?S n ? S n ?1 ,当n ? 1时.
2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ⑶求和公式:

S n ? na1 ?

?a ? a n ?n n?n ? 1? d? 1 2 2

3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。 ⑵通项公式: an ? a1q
n ?1

a1 ? a n q a1 1 ? q n ⑶求和公式: S n ? ? 1? q 1? q

?

?

-7-


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