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北师大版高中数学(必修2)1.1《简单几何体》


第一章:立体几何的初步

本 章 概 述
?

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概述:由于在土木建筑、机械设计、航海测绘、空间 技术研的研究过程中等,都要涉及到对立体图形的研 究,这就使得对立体图形的特征及性质的研究成为必 要。 对于立体几何这一章的学习方式,我们将以具体的立 体图形为背景,特别是以长方体、正方体、圆柱体、 圆锥体、圆台体、球体等几何体为背景,通过直观感 知、画图确认、思维论证、度量计算等方法,了解简 单几何体的基本特征及其直观图、三视图。 学习要求:重点理解并掌握空间中的点、线、面的位 置关系,并能够用数学符号语言对某些位置关系进行 表示和论证,培养和发展大家的空间想象力、推理论 证的能力和运用图形语言进行交流的能力。

§1.简 单







?导入:三维空间是人类生存的现实空

间,生活中蕴涵着丰富的几何体,请大 家欣赏下列各式各样的几何体。

§1.1:简单的旋转体
?

问题1:如图所示:已知线段AB垂直于直线L 于A点,如果把线段AB绕着点A旋转一周, 且在线段AB在旋转的过程中始终与直线L垂 直,那么线段AB在旋转的过程中所形成的图 形会是什么呢?
AA B

L

问题2:如图所示:已知直线AB垂直于直线L于O点,如 果把直线AB绕着点O点旋转一周,且直线AB在旋转的 过程中始终与直线L垂直,那么直线AB在旋转的过程中 所形成的图形会是什么呢?

A

O

B

L

问题3:如图所示:把半圆O绕着其直径AB所 在的直线在空间旋转一周,则半圆O在旋转的 过程中所形成的图形会是什么呢?(球面)

问题3如果把一个半圆面绕着其直径所在的 直线在空间旋转一周,则半圆面在旋转的过 程中所形成的图形会是什么呢?(球体)

七、球的结构特征
1、球的定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,将 半圆旋转一周后所形成的曲面叫作球面。

把球面所围成的几何体叫作球体,简称球。
其中:把半圆的圆心叫做球心。 连结球心与球面上的任意一点的线段叫作球 的半径。
连结球面上的任意两点且过球心的线段叫做球的直 径。

A O

半 径
2、球的表示:用表示球心的字 母表示,如球O

B

球心

请大家想一想怎样用集合的观点去定义球?
把到定点O的距离等于或小定长的点的集合 叫作球体,简称球。 ? 其中:把定点O叫作球心,定长叫作球的半 径 ? 到定点O的距离等于定长的点的集合叫作球 面。
?

问题4: 如图所示:把矩形ABCD绕着其一边 AB所在的直线在空间中旋转一周,则矩形的 其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围 成的几何体会是什么呢?
B C

A

D

四、圆柱的结构特征
1、定义:以矩形的一边所在直线为 O1 旋转轴,把它在空间中旋转一周后,其余 三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱。

矩形
O

(1)旋转轴叫做圆柱的轴。

(2) 垂直于轴的边旋转而成 的圆面叫做圆柱的底面。 (3)由平行于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆柱的侧面。

(4)无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。

2、表示:用表示它的轴的端点的两个字 母表示,如圆柱OO1。 O

O1
侧面 轴 底面

母线

问题5: 如图所示:把直角三角形ABC绕着其一 边AB所在的直线在空间中旋转一周,则直角 三角形ABC的其它两条边在旋转的过程中所 形成的曲面围成的几何体会是什么呢?
B

A

C

五、圆锥的结构特征
S

1、定义:以直角三角形的一条直角 边所在直线为旋转轴,其余两边旋转而成 的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
直角三角形

(1)旋转轴叫做圆锥的轴。

O

A

(2) 垂直于轴的边旋转而成 的圆面叫做圆锥的底面。

(3)不垂直于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面。 (4)无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。

2、圆锥的表示: 用表示它的轴的 端点的两个字母 表示,如所示, 记为:圆锥SO
B

S


侧面 母线
O

A 底面

问题6: 如图所示: 直角梯形ABCD绕着它的垂直 于底边的腰AB所在的直线在空间中旋转一周, 则直角梯形ABCD的其它三条边在旋转的过程 中所形成的曲面围成的几何体会是什么呢? B A C D

六、圆台的结构特征: 圆台的定义1:把直角梯形绕着它的垂直于底边
的腰所在的直线在空间中旋转一周,则直角梯形 的其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围成 的几何体会叫作圆台

圆台的定义2:用一个平行于圆锥底面 的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分, 这样的几何体叫做圆台。

2、圆台的表示: 用表示它的轴的字母表示,如圆台OO′

O'

底面 轴 侧面 母线 底面

O

总结:由于球体、圆柱、圆锥、圆台分别由平 面图形半圆、矩形、直角三角形、直角梯形通 过绕着一条轴旋转而生成的,所以把它们都叫 旋转体。

§1.2:简单的多面体
1.多面体的定义:把由若干个平面多边形围成的空间图
?

形叫做多面体。 自然界有很多的物体都呈多面体的形状,如图所示:

其中:把围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;两个 面的公共边叫作多面体的棱,棱与棱的公共点叫作多面 体的顶点;
?

连结不在同一个面内的两个顶点的线段叫作多面体的对 角线。例如: 多面体按照它的面数的多少,可以分为:四面体、五面 体、六面体、、、、、

?





面 棱 顶点


一、 观察下列几何体并思考: 它们具有哪些性质?

1、定义:有两个面互相平行,其余各面都 是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面,其 余各面叫做棱柱的侧面。

相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面

侧面 侧棱 顶点
底 面

一、 观察下列几何体并思考:棱柱(1), (3)与棱柱(2)的不同之处?

(1)

(2)

(3)

?

两个特殊的棱柱:直棱柱与正棱柱 把侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱; 把底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱;

?

直棱柱的性质:直棱柱的侧面都是矩形;

?

正棱柱的性质:正棱柱的侧面是全等的矩
形;

2、棱柱的分类:棱柱的底面可以是三角形、四 边形、五边形、 …… 我们把棱柱按照底面多边 形边数的多少,可分三棱柱、四棱柱、五棱 柱、……

三棱柱

四棱柱

五棱柱

3、棱柱的表示法(下图)

棱柱用表示两底面多边形的顶点的字母表 示棱柱,如:棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1 。

二、观察下列几何体,有什么相同点?

简单多面体
?若干个平面多边形围成的

几何体叫简单多面体。 ?棱柱,棱锥,棱台都是简 单多面体。

1、棱锥的概念
有一个面是多边形,其余各面是有一个 公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何 体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。 有公共顶点的各个三角形叫做棱锥 的侧面。 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

S

棱锥的顶点 棱锥的侧棱

D
E A B

棱锥的侧面 C 棱锥的底面

?

一个特殊的棱锥:正棱锥
把底面为正多形,侧面是全等的三角形的棱锥叫作

正棱锥
?

正棱锥的性质:正棱锥的侧棱长相等;侧面是全等

的等腰三角形;

S A

B

D C

2、棱锥的分类:按底面多边形的边数,可 以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……
3、棱锥的表示方法:用表示顶点和底面的 字母表示。如四棱锥S-ABCD。

思考题:用一个平行于棱锥底面的平面 去截棱锥,那么所得截面与棱锥底面 之间的几何体会是怎样的一个几何体 呢?

A1

D1

B1

C1

A1

D1 B1

C1

三、棱台的结构特征 1、棱台的概念:用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分 叫做棱台。
A1 D1 B1 C1 上底面 侧面 侧棱 下底面 顶点

棱台的性质:棱台的上下底面平行,侧棱的延长线交于一点

2、棱台的分类:由三棱锥、四棱锥、五棱 锥…截得的棱台,分别叫做三棱台,四棱台, 五棱台…

3、棱台的表示法:棱台用表示上、下底面各 顶点的字母来表示,如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1 B1 C1


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