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广东省各市2015年高考数学一模试题分类汇编 立体几何 理


广东省各市 2015 年高考一模数学理试题分类汇编 立体几何
一、选择题

2 3 1、(2015 届广州市)已知某锥体的正视图和侧视图如图 2, 其体积为 3 ,则该锥体的俯视图
可以是

2、(2015 届江门市)一个四面体如图 1,若该四面体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯 视图都是直角边长为 1 的等腰直角三角形,则它的体积 V ?

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 6

1 D. 12

3、(2015 届揭阳市)设 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题为真命题的 是 A.若 m // l , m // ? , 则l // ? ; B.若 m ? ? , l ? m, 则l / /? ; D. 若 m ? ? , m / / ? , l ? ? , l / /? , 则? / / ? ;

C.若 ? / / ? , l ? ? , m / / ? , 则l ? m ;

1

4、(2015 届梅州市)若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于

A、30

B、12

C、24

D、4 )

5、(2015 届汕头市)设 ? , ? , ? 为平面, m , n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( A. ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? B. ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ? )

6、(2015 届湛江市)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A. ?

B. 2?

8? C. 3

10? D. 3

7、(2015 届中山市)设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 (A)若 m / /? , n ? ? 且 ? ? ? 学科网 ,则 m ? n (B)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? (C)若 ? ? ? , m / / n 且 n ? ? ,则 m / /? (D)若 m ? ? , n ? ? 且 m / / n ,则 ? / / ? 8、(2015 届佛山市)已知异面直线 a , b 均与平面 ? 相交,下列命题: ①存在直线 m ? ? ,使得 m ? a 或 m ? b ; ②存在直线 m ? ? ,使得 m ? a 且 m ? b ; ③存在直线 m ? ? ,使得 m 与 a 和 b 所成的角相等.

2

其中不正确的命题个数为( A. 0

) B. 1 C. 2 D. 3

选择题参考答案 1、C 2、C 3、C 4、C 5、D 6、A 7、B 8、B 二、填空题 1、(2015 届茂名市)一个几何体的三视图如图所示,正视图为正方形,俯视图为半圆,侧视图为 矩形,则其表面为____

填空题参考答案 1、 4+3? 三、解答题 1、 (2015 届广州市) 如图 4, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中,?DAB ? 60 , 点 E ,F 分别是边 CD ,
?

CB 的中点, AC ? EF ? O ,沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF ,连接 PA,PB,PD ,得到如图 5
的五棱锥 P ? ABFED ,且 PB ? 10 . (1)求证: BD ? 平面 POA ; (2)求二面角 B ? AP ? O 的正切值.
D E A C F B 图4

P

O

D A B 图5 F E O

3

2 、( 2015 届江门市)如图 4 ,直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是菱形,侧面是正方形,

?DAB ? 600 , E 是 棱 CB 的 延长 线上 一点, 经 过点 A 、 C1 、 E 的 平 面交棱 BB1 于 点 F ,

B1 F ? 2BF .
⑴求证:平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ; ⑵求二面角 E ? AC1 ? C 的平面角的余弦值.

D1

A1

B1

C1

D A
图4 3、(2015 届揭阳市) 如图 4,已知 ?BCD 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1,
?

F

C
B
E

AB ? 6 , AB ⊥平面 BCD , E 、 F 分别是 AC 、 AD 的中点.
(1)求证:平面 BEF ⊥平面 ABC ; (2)求四棱锥 B-CDFE 的体积 V; (3)求平面 BEF 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值.

4、(2015 届茂名市)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥DC,DB 平分∠ADC,

4

E 为 PC 的中点,AD=CD=1,DB=2 2 ,PD=2。 (1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:AC⊥PB; (3)求二面角 E-BD-C 的余弦值;

5、 (2015 届梅州市)如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2a,D,E 分别为 AC, AB 的中点,沿 DE 将△ADE 折起,得到如图所示的四棱锥 A '? BCDE ,F 是 A ' B 的中点。 (1)求证:EF∥平面 A ' CD ; (2)当四棱锥 A '? BCDE 的体积取最大值时,求平面 A ' CD 与平面 A ' BE 夹角的余弦值。

6、(2015 届汕头市)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其中正视图为矩形,侧视图为 等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

5

?1? 求证: ?? ? 平面 C1?1? ;
? 2 ? 设 ? 为直线 C1? 与平面 C??1 所成的角,求 sin ? 的值;
?? ? 3? 设 ? 为 ?? 中点,在 ? C 边上求一点 ? ,使 ?? // 平面 C??1 ,求 ?C 的值.

7、(2015 届深圳市)在三棱锥 P ? ABC 中,已知平面 PBC ? 平面 ABC , AB 是底面△ ABC 最 长的边.三棱锥 P ? ABC 的三视图如图 5 所示,其中侧视图和俯视图均为直角三角形. (1)请在图 6 中,用斜二测画法,把三棱锥 P ? ABC 的直观图补充完整(其中点 P 在

xOz 平面内),并指出三棱锥 P ? ABC 的哪些面是直角三角形;
(2)求二面角 B ? PA ? C 的正切值; (3)求点 C 到面 PAB 的距离. z
2 3

P

y

正视图

4 侧视图

O 图6

x

2

2

俯视图

图5

6

8、 (2015 届湛江市)如图,在三棱锥 ? ? ?? C 中,???C 和 ??? C 均是边长为 2 的等边三角形,

?? ? 2 , ? , ? , ? 分别是 ?? , ?? , ? C 的中点.

?1? 若 ? 是 ???C 内部或边界上的动点,且满足 ?? // 平面 ?? C ,
证明:点 ? 在线段 ?? 上;

? 2 ? 求二面角 ? ? ?C ? ? 的余弦值.
(参考定理: 若平面 ? // 平面 ? ,a ?平面 ? ,? ? 直线 l , 且 l // 平 面 ? ,则直线 l ? 平面 ? .)

9、(2015 届中山市)如图所示, PA ⊥平面 ABCD , △ ABC 为等边三角形, PA ? AB , AC ⊥ CD ,
P

M 为 AC 中点.
(I)证明: BM ∥平面 PCD ; (II)若 PD 与平面 PAC 所成角的正切值
B A M C (第 20 题图) D

6 为 2 ,求二面角 C - PD - M 的正切值.

10、(2015 届佛山市)如图 6 ,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,

PM ? ? ? ? 0,1 ? ? ). 底面 ABCD 是 ?ABC ? 60 ? 的菱形, M 为棱 PC 上的动点,且 PC (
(Ⅰ) 求证:△ PBC 为直角三角形;
A M

P

2 5 (Ⅱ) 试确定 ? 的值,使得二面角 P ? AD ? M 的平面角余弦值为 5 B .

D C 图6 7

解答题参考答案 1、(1)证明:∵点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点, ∴ BD ∥ EF . ∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴ BD ? AC . ∴ EF ? AC . ∴ EF ? AO , EF ? PO . …………………………2 分 …………………………1 分

∵ AO ? 平面 POA , PO ? 平面 POA , AO ? PO ? O , ∴ EF ? 平面 POA . ∴ BD ? 平面 POA . (2)解法 1:设 AO ? BD ? H ,连接 BO , ∵ ?DAB ? 60 , ∴△ ABD 为等边三角形.
?

…………………………3 分 …………………………4 分

P G

∴ BD ? 4 , BH ? 2 , HA ? 2 3 , HO ? PO ? 3 . ……5 分 在 R t△ BHO 中, BO ?
2 2

D E H B F O

BH 2 ? HO2 ? 7 ,
2

A

在△ PBO 中, BO ? PO ? 10 ? PB , ∴ PO ? BO .

…………………………6 分

∵ PO ? EF , EF ? BO ? O , EF ? 平面 BFED , BO ? 平面 BFED , ∴ PO ? 平面 BFED . 过 H 作 HG ? AP ,垂足为 G ,连接 BG , …………………………7 分

8

由(1)知 BH ? 平面 POA ,且 AP ? 平面 POA , ∴ BH ? AP . ∵ HG ? BH ? H , HG ? 平面 BHG , BH ? 平面 BHG , ∴ AP ? 平面 BHG . ∵ BG ? 平面 BHG , ∴ AP ? BG . ∴ ?BGH 为二面角 B ? AP ? O 的平面角. 在 Rt△ POA 中, AP ? …………………………9 分 …………………………10 分 …………………………8 分

AO2 ? PO2 ? 30 ,
?

在 Rt△ POA 和 Rt△ HGA 中, ?POA ? ?HGA ? 90 , ?PAO ? ?HAG , ∴Rt△ POA ~Rt△ HGA . …………………………11 分

PO PA ? ∴ HG HA .

HG ?


PO ? HA 3?2 3 30 ? ? PA 5 . 30
tan ?BGH ?

…………………………12 分

在 Rt△ BHG 中,

BH 2 30 ? ? HG 3 30 5 . ……………………13 分

30 ∴二面角 B ? AP ? O 的正切值为 3 .
解法 2:设 AO ? BD ? H ,连接 BO , ∵ ?DAB ? 60 , ∴△ ABD 为等边三角形.
?

…………………………14 分

∴ BD ? 4 , BH ? 2 , HA ? 2 3 , HO ? PO ? 3 .………………………5 分 在 R t△ BHO 中, BO ?
2 2

BH 2 ? HO2 ? 7 ,
2

在△ PBO 中, BO ? PO ? 10 ? PB ,
9

∴ PO ? BO .

…………………………6 分

∵ PO ? EF , EF ? BO ? O , EF ? 平面 BFED , BO ? 平面 BFED , ∴ PO ? 平面 BFED . …………………………7 分

以 O 为原点, OF 所在直线为 x 轴, AO 所在直线为 y 轴, OP 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 ∴

A 0, ?3 3, 0 ??? ? AP ? 0,3

?

?

? , B ? 2, ? 3, 0? , P ? 0, 0, 3 ? , H ? 0, ? ??? ? 3, 3 ? AB ? ? 2, 2 3, 0 ? , .
? x, y, z ? ,

3, 0

? .…………8 分
z P

设平面 PAB 的法向量为 n ?

? ?3 3 y ? 3 z ? 0, ? ??? ? ??? ? ?2 x ? 2 3 y ? 0. ……9 分 n ? n ? AP AB 由 , ,得 ?
令 y ? 1 ,得 z ? ?3 , x ? ? 3 .

D E H B F x O y

A

?? ∴平面 PAB 的一个法向量为 n ?
由(1)知平面 PAO 的一个法向量为 设二面角 B ? AP ? O 的平面角为 ? ,

3,1, ?3

?.

…………………………10 分 , ……………………11 分

???? BH ? ? ?2,0,0 ?

???? ? n ? BH ???? ? ? ???? ? ? 2 3 ? 39 cos n, BH n BH 13 ? 2 13 .………………………12 分 则 cos ? ?

sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?


130 sin ? 30 tan ? ? ? 13 , cos ? 3 .………………………13 分

30 ∴二面角 B ? AP ? O 的正切值为 3 .
2、⑴设四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a

…………………………14 分

∵ B1 F ? 2BF , ?B1C1 F ∽ ?BEF ,∴

BE ?

a 2 ……1 分

由 ?DAB ? 60 ? ?ABE , ?ABC ? 120 ,得
0 0

AE ?

3a 2 , AC ? 3a ……2 分

10

CE ?


3a 2 ,∴ AE 2 ? CE 2 ? AC 2 , AE ? CE ……3 分

ABCD ? A1 B1C1 D1 是 直 四 棱 柱 , C1C ? ABCD , 又 AE ? A B C D , ∴ C1C ? AE , ∵
CE ? CC1 ? C ,∴ AE ? 平面 BCC1 B1 ……4 分
∵ AE ? 平面 AC1 E ,∴平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ……5 分 ⑵(方法一)过 C 作 CG ? AC1 于 G , CH ? C1 F 于 H ,连接 GH ……6 分 由平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ,平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ? C1 E ,

CH ? 平面 AC1 E ……7 分
∴ CH ? AC1 ,又 CG ? AC1 ,CG ? CH ? C ,∴ AC1 ? 平面 CGH , AC1 ? GH ,?CGH 是 二面角 E ? AC1 ? C 的平面角……9 分

在 Rt?ACC1 中, AC ?

3a ,CC1 ? a , AC1 ? 2a ,

CG ?

3 3 CE ? a a 2 , 2 ,在 Rt?ECC 1 中,

CC1 ? a ,

EC1 ?

3 13 3 3 13 13 a CG ? a CH ? a a CH ? 13 ( 2 、 13 求得任何一个给 2 分, 2 ,

两个全对给 3 分)……12 分

GH ? CG 2 ? CH 2 ?

39 GH 13 a cos?CGH ? ? 26 , CG 13 ……13 分
y 轴,平行于 BB1 的直线 EE1 为 z 轴建立空

(方法二)以 E 为原点, EC 、 EA 所在直线为 x 轴、 间直角坐标系……6 分,则

E (0 , 0 , 0) ,

A(0 ,

3 3 a , 0) C1 ( a , 0 , a) 2 2 , ……7 分

? 3 n ? EA ? aq ? 0 ? ? 2 ? ?n ? EC ? 3 ap ? ar ? 0 1 ? 2 1 的 一 个 法 向 量 为 n ? ( p , q , r) , 则 ? 设平面 EAC ……9 分,即

?q ? 0 1 3 ? B ( a , 0 , 0) D ( a , a , 0) 3 p ? 2 r ? 0 n ? ( ? 2 , 0 , 3 ) ? 2 ,不妨取 ……10 分,由⑴知 2 , ……

11

1 3 n1 ? BD ? ( a , a , 0) 2 2 11 分,平面 BCC1 B1 的一个法向量为
cos? ? | n1 ? n | | n1 | ? | n | ? 13 13

……12 分,二面角 E ? AC1 ? C 的平面角的余弦值

……13 分

3、(1)证明:? AB⊥平面 BCD, CD ? 平面 BCD

? A B? C D ,-------------------1 分

又 BC ? CD , AB ? BC ? B , ? CD ? 平面 ABC ,------------------------------2 分 又 E、F 分别是 AC、AD 的中点,∴ EF // CD. ---------------------------------------3 分 ∴EF⊥平面 ABC 又 EF ? 平面 BEF,? 平面 BEF⊥平面 ABC-----------4 分 (2)解法 1:由(1)知 EF / / CD ∴ ?AEF ? ?ACD --------------------------------5 分

?

S?AEF 1 ? , S?ACD 4

VB ? AEF 1 ? V 4 ---------------------6 分 ∴ B ? ACD

3 3 1 1 1 6 ?V ? VB ? ACD ? VA? BCD ? S?BCD ? AB ? ? ?1?1? 6 ? . 4 4 4 4 2 8 -------------------8 分
[解法 2:取 BD 中点 G,连结 FC 和 FG,则 FG//AB,-----5 分 ∵AB⊥平面 BCD,∴FG ⊥平面 BCD,-----------------6 分 由(1)知 EF⊥平面 ABC,

1 1 ? S ?EBC ? EF ? S ?BCD ? FG V ? VF ?EBC ? VF ?BCD 3 3 ∴

1 6 1 1 1 6 6 ? ? ? ? ? ?1?1? ? 3 4 2 3 2 2 8 .-----------------8 分]
(3)解法 1:以点 C 为坐标原点,CB 与 CD 所在的直线分别为 x、y 轴建 立空间直角坐标系如图示,--------------------------------------------------------9 分

0, 0) , B(1 , 0, 0), D(01 , , 0), A(1, 0,6) 则 C (0,

1 6 1 1 6 E ( , 0, ), F ( , , ) 2 2 2 2 2

??? ? ? 1 6 ??? 1 1 6 BE ? (? , 0, ) BF ? (? , , ) 2 2 , 2 2 2 ,---------------10 分 ∴

12

? n 设平面 BEF 的一个法向量为 ? (a, b, c) ,由

? ??? ? ? ?n ? BE ? 0 ? ? ? ??? ? ?n ? BF ? 0



? 1 6 c?0 ?? a ? ? 2 2 ? ?? 1 a ? 1 b ? 6 c ? 0 ? ? a ? 6, b ? 0 n c ? 6 ? 2 2 2 令 得 ,∴ ? (6,0, 6) ,------------------12 分 ??? ? BA ? (0,0, 6) 是平面 BCD 的法向量, ∵
设平面 BEF 与平面 BCD 所成的锐二面角大小为 ? ,



? ??? ? n ? BA 6 7 cos ? ? ? ???? ? ? 7 | n | ? | BA | 6 ? 42

,

7 ∴所求二面角的余弦值为 7 .---------------------------------------------------14 分
[解法 2:过点 B 作 l //CD,则 l ? 平面 BCD

? EF//CD,∴ EF / / l

∴ l ? 平面 BEF ,

∴ l 为平面 BEF 与平面 BCD 的交线,---------------------------------------------10 分 ∵ CD ? 平面 ABC , BE ? 平面 ABC ,∴ BE ? CD ,∴ BE ? l 又 BC ? CD ,∴ BC ? l ∴ ?CBE 为平面 BEF 与平面 BCD 所成的锐二面角的平面角,------------------------12 分 在 Rt ?ABC 中, ∵BE=CE, ?CBE ? ?ACB

cos ?CBE ? cos ?ACB ?


BC 1 7 ? ? AC 7 , 7

7 即所求二面角的余弦值为 7 .----------------14 分]
4、

13

5、(1)证明:取 A C 中点 G ,连接 DG, GF .
'

则由中位线定理可得, DE ∥ BC ,

DE ?

1 BC 2 ,…1 分

同理 GF ∥ BC ,

GF ?

1 BC 2 .

14

所以 DE ∥ GF , DE ? GF , 从而四边形 DEFG 是平行四边形, 所以 EF ∥ DG .
' ' 又 EF ? 面 A CD , DG ? 平面 A CD ,

…………3 分

所以 EF ∥平面 A CD .
' ' (2)在平面 A CD 内作 A H ? CD 于点 H .

'

…………5 分

DE ? A ' D DE ? CD

? ? ? A ' D ? CD ? D ? ?

? DE ? 平面 A' CD ? DE ? A' H .

' 又 DE ? CD ? D ,故 A H ? 底面 BCDE ,

' ' 即 A H 就是四棱锥 A ? BCDE 的高.
' 由 A H ? AD 知,点 H 和 D 重合时,

…………7 分

' 四棱锥 A ? BCDE 的体积取最大值.

…………8 分

分别以 DC, DE, DA 所在直线为 x, y , z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A (0,0, a), B(a,2a,0), E(0, a,0) ,
'

'

A?B ? (a,2a,?a), A' E ? (0, a,?a) .
' 设平面 A BE 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

?

………9 分

?

?? ? ' ?m? A B ? ax ? 2ay ? ax ? 0 ?x ? 2 y ? z ? 0 ?? ? ? ?m? A' E ? ay ? az ? 0 y?z ? 由 ,得 ? ,
可取 m ? (?1,1,1) .
' 平面 A CD 的一个法向量 n ? (0,1,0) .
? ?

?

…………11 分
?

…………12 分

cos ? m, n ??


m? n mn
? ?

? ?

?

? 1? 0 ? 1?1 ? 1? 0 3 ?1

?

3 3
, …………13 分

15

3 所以平面 A CD 与平面 A BE 夹角的余弦值为 3 .
'
'

…………14 分

' (连 A A ,可以证明 ?A CB 即为所求二面角的平面角,易求.参照法一给分)

'

6、解:(1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形,∴ BA, BC, BB1 两两垂直。 且 BC ? 4, BA ? 4, BB1 ? 8, AN ? 4 , ……………(3 分)

以 BA,BB1 ,BC 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,如图 则 N(4,4,0),B1(0, 8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)

??? ? ???? ? BN ? NB 1 =(4,4,0)· ∵ (-4,4,0)=-16+16=0
BN ? B1C1 =(4,4,0)· (0,0,4)=0

∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; -----------------(5 分) (2)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量,



?? ? ???? ? ?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ?n2 ? CN ? 0 ?? ? ???? ? ? ?? ? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0

? ???? ? ? x ? y ? z ? 0 ?? ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? x ? y ? 0 sin ? ?|


(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

-----------------(9 分)

(3)∵M(2,0,0).设 P(0,0,a)为 BC 上一点, 则 MP ? (?2,0, a) , ∵MP//平面 CNB1, ∴ MP ? n2 ? MP ? n2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 ,

?
∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1

BP 1 ? PC 3 ----------(14 分)

7、解:(1)三棱锥 P ? ABC 直观图如图 1 所示; 由三视图知 ?ABC 和 ?PCA 是直角三角形. (2)(法一):如图 2,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H , ……………………3 分 z P y
16

A

由三视图知 ?PBC 为等腰三角形,

? BC ? 4 , PH ? 2 3 ,

? PB ? PC ? BC ? 4 ,
取 PC 的中点 E ,过 E 作 EF ? PA 且交 PA 于点 F ,连接 BE , BF , 因为 BE ? PC ,由三视图知 AC ? 面 PBC , 且 BE ? 面 PBC ,所以 AC ? BE , 又由 AC ? PC ? C ,所以 BE z P F y E A O(B) H 图2 C x

? 面 PAC ,

由 PA ? 面 PAC ,所以 BE ? PA ,

BE ? EF ? E ,所以 PA ? 面 BEF ,
由 BF

? 面 BEF ,所以 PA ? BF ,

所以 ?BFE 是二面角 B ? PA ? C 的平面角.………6 分

? ?PEF ~ ?PAC ,

?

PE EF ? PA AC ,

? PE ? 2, AC ? 4, PA ? 4 2 ,? EF ? 2 , ……………………………………8 分

? 在直角 ?CFE 中,有

tan ?BFE ?

BE ? 6 EF .
………………………………………9 分

所以,二面角 B ? PA ? C 的正切值为 6 .

(法二):如图 3,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H ,由三视图知 ?PBC 为等腰三角形,

BC ? 4 , PH ? 2 3 ,
由图 3 所示的坐标系,及三视图中的数据得:

z P y

B(0, 0, 0) , C (4, 0, 0) , P(2,0, 2 3) , A(4, 4, 0) , ??? ? ??? ? ??? ? BA ? (4, 4,0) BP ? (2,0, 2 3) CA ? (0, 4,0) , 则 , ,

A O(B) H 图3
17

??? ? CP ? (?2,0, 2 3) ,

C

x

设平面 PAB 、平面 PAC 的法向量分别为 m 、 n .

? ?4 x1 ? 4 y1 ? 0 ? ??? ? ??? ? m ? ( x , y , z ) ?2 x ? 2 3 z1 ? 0 , m ? BP ? 0 m ? BA ? 0 1 1 1 设 ,由 , ,得 ? 1


z1 ? 1, 得 x1 ? ? 3 , y1 ? 3 ,即 m ? (? 3, 3,1) .

…………………6 分

设 令

??? ? ??? ? n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 n ? CA ? 0 , n ? PA ? 0 ,得

? ? 4 y2 ? 0 ? ? ??2 x2 ? 2 3 z2 ? 0



z2 ? 1 , 得 x2 ? 3 , y2 ? 0 ,即 n ? ( 3,0,1) .

………………………7 分

? cos ? m, n ??

m?n ?2 7 ? ?? m n 2 7 7 , tan ? m, n ?? ? 6 .…………………8 分

而二面角 B ? PA ? C 的大小为锐角,所以二面角 B ? PA ? C 的正切值为 6 .…9 分 (法一):记 C 到面 PAB 的距离为 h ,由(1)、(2)知 PA ? AB ? 4 2, PB ? 4 ,

? S?PAB

1 4 7 VC ? PAB ? S?PAB ? h ? h ?4 7, 3 3 ,

………………………………12 分

1 16 3 VP ? ABC ? S?ABC ? PH ? 3 3 , 三棱锥 P ? ABC 的体积
V ? VC ? PAB ,可得: 由 P? ABC

……………………13 分

h?

4 21 7 .

………………………………………14 分

(法二):由(2)知,平面 PAB 的法向量 m ? (? 3, 3,1) , CA ? (0, 4,0) 记 C 到面 PAB 的距离为 h ,

??? ?

??? ? 4 3 m ? CA 4 21 ? ?h ? m 7 ? 7 .

………………………………………………14 分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,三视图及几何体的直观图,二面角,三棱锥的体 积,空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决 数学问题的能力. 8、

18

19

9、解:(Ⅰ)证明:因为 M 为等边△ABC 的 AC 边的中点,所以 BM⊥AC. 依题意 CD⊥AC,且 A、B、C、D 四点共面,所以 BM∥CD. …………3 分 又因为 BM?平面 PCD,CD?平面 PCD,所以 BM∥平面 PCD. …………5 分

20

(Ⅱ)因为 CD⊥AC,CD⊥PA, 所以 CD⊥平面 PAC,故 PD 与平面 PAC 所成的角即为∠CPD. ……………7 分 不妨设 PA=AB=1,则 PC= 2 .

P F

A

D E M

由于

tan ?CPD ?

CD 6 ? PC 2 ,
B

C (第 18 题图)

所以 CD= 3 .……………9 分

(方法一) 在等腰 Rt△PAC 中,过点 M 作 ME⊥PC 于点 E,再在 Rt△PCD 中作 EF⊥PD 于点 F.因为 ME⊥ PC,ME⊥CD,所以 ME⊥平面 PCD,可得 ME⊥PD. 又 EF⊥PD,所以∠EFM 即为二面角 C-PD-M 的平面角. ……………12 分

3 2 ? 3 3 30 2 ? ? 学科网 4 20 5 4 易知 PE=3EC,ME= ,EF= ,

2 ME 15 ? 4 ? EF 3 30 9 20 所以 tan∠EFM= ,
15 即二面角 C-PD-M 的正切值是 9 .
……………15 分 (方法二) 以 A 点为坐标原点,AC 为 x 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz. 则 P(0,0,1),

z P

y A M B x (第 18 题图) C D

1 ,0,0 M( 2 ),C(1,0,0),D (1, 3,0) . ???? ? 1 ??? ? ??? ? PM ? ( ,0, ?1) 2 则 PC ? (1,0, ?1) , PD ? (1, 3, ?1) , .
?? ? ?? ? 若 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 和 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 分 别 是 平 面 PCD 和 平 面 PMD 的 法 向 量 , 则 ?? ? ??? ? ? ? x1 ? z1 ? 0 ?n1 ? PC ? 0 ? ?? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0 ,可取 n1 ? (1,0,1) . ?n1 ? PD ? 0

21

?? ? ???? ? ?1 ? ?n2 ? PM ? 0 ? x2 ? z2 ? 0 ? ?2 ? ??? ? ?? ? ? ?? 3 n2 ? (2, ? ,1) ?n2 ? PD ? 0 ?x ? 3y ? z ? 0 ? 2 2 2 ? 3 由 ,可取 . ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 3 27 ? ?? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ? 32 | n1 || n2 | 16 2? 3 所以 ,

………12 分

27 15 32 故二面角 C-PD-M 的余弦值是 ,其正切值是 9 .

……………15 分

10、【解析】(Ⅰ)取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC ? OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , 所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 AD ? PC , 因为 BC // AD ,所以 BC ? PC ,即 ?PCB ? 90? ,从而△ PBC 为直角三角形.………………5 分
z

说明:利用 PC ? 平面 AMD 证明正确,同样满分! (Ⅱ)[向量法]由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,
A M

P

O C x

D

y

PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD .………………6 分 B
以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,则

? ………………7 分 ???? ? ??? ? PM ? ? PC ? ? ? 3, 0, ? 3 ? ? 3?, 0, 3 ? 由 可得点 M 的坐标为 ???? ? ???? ? AM ? ? 3? ,1, 3 ? 3? ? DM ? ? 3? , ?1, 3 ? 3? ? 所以 , ,
3, 0, ? 3

? ??? ? PC ? ?

P 0 , 0 , 3 A ? 0, ?1,0? D ? 0,1,0? C
, ,

?,

?

3, 0, 0

?,
3?

? ,………………9 分
3 ? 3? z ? 0 3?

? 3? x ? y ? ???? ? ? ? n ? AM ? 0 ? ? ???? ? ? ? 3? x ? y ? n ? x , y , z n ? DM ? 0 ? ? ? 设平面 MAD 的法向量为 ,则 ? ,即 ?

? ?

? 3? ? z ? 0

22

? ?1 ? z ?x ? ? ? ?y ? 0 n ? ? ? ?1,0, ? ? 解得 ? ,令 z ? ? ,得 ,………………11 分 ???? OC ? 3, 0, 0 显然平面 PAD 的一个法向量为 ,………………12 分 ???? 3 ? ? ? 1? n ? OC ???? 2 5 cos n, OC ? ? ???? ? 1 2 ?? 5 n OC ? 2 ? ? ? ? 1? ? 3 3 或 ? ? ?1 (舍去), 依题意 ,解得

?

?

??
所以,当

1 2 5 3 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 5 .………………14 分

[传统法]由(Ⅰ)可知 AD ? 平面 POC ,所以 AD ? OM , AD ? OP , 所以 ?POM 为二面角 P ? AD ? M 的平面角,

cos ?POM ?


2 5 5 ,………………8 分 sin ?POM ?

P

在△ POM 中,

? 5 ?OPM ? 4, 5 , PO ? 3 ,
B

M A O C D

?? ? sin ?PMO ? sin ? ?POM ? ? 4? ? 所以
? sin ?POM cos

?
4

? cos ?POM sin

?
4

?

3 10 10 ,………10 分

PM 3 ? PM PO 5 3 10 6 ? PM ? 10 , 解得 3 , ……………… 12 由正弦定理可得 sin ?POM sin ?PMO , 即 5
分 又 PC ?

PO ? OC ? 6 ,所以
2 2

??

PM 1 ? PC 3 ,

??
所以,当

1 2 5 3 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 5 .………………14 分

23


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