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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 拓展资料:导数学习中几个易错点


导数学习中几个易错点 一、定义的理解与应用 例 1.已知函数 f(x)=2x3+5,求 lim 分析:本题很容易这样做:
?x ? 0

f (2 ? 3?x) ? f (2) 。 ?x

f (2 ? 3?x) ? f (2) = f ?(2) =24, ?x f (2 ? 3?x) ? f (2) f (2 ? 3?x) ? f (2) 或者 lim =3 lim =3 f ?(2) =72。 ?x ? 0 ? x ? 0 ?x 3?x
∵ f ?( x ) =6x2,∴ lim
?x ? 0

这两种做法都是错误的,错误的原因皆在于对导数的定义理解不深。 解:∵ f ?( x ) =6x2, ∴ lim

?x ? 0

f (2 ? 3?x) ? f (2) f [2 ? (?3?x)] ? f (2) =-3 lim =-3 f ?(2) =-72。 ?x ?0 ?x ?3?x

评注:当 ?x 是 x 在 x0 处的增量时,-3 ?x 也是 x 在 x0 处的增量。本题的正确做法是视 -3 ?x 为增量,套用导数定义求得极限。 二、单调递增就是导数大于零 例 2.已知向量 a=( x ,x+1),b= (1-x,t) 若函数 f ( x) =a· b 在区间(-1,1)上是增函数,
王新敞
奎屯 新疆

2

求 t 的取值范围。 错解:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t , f ?( x) ? ?3x ? 2x ? t 。
2 3 2 2

若 f ( x) 在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设 f ?( x) >0。 ∵ f ?( x) 的图象是开口向下的抛物线,

1 ) ? t5 ? 0 ? 时, f ?( x) 在 ∴当且仅当 f ?(1) ? t ? 1 ? 0 , 且 f ?(? (-1, 1) 上满足 f ?( x) >0,
即 f ( x) 在(-1,1)上是增函数。 故 t 的取值范围是 t>5。
3 剖析: 若 f ?( x) >0, 则 f ( x) 在 R 上是增函数 反之不成立。 如 f ? x ? ? x 在 R 上单调递增,
王新敞
奎屯 新疆

但 f ?( x) ≥0 所以 f ?( x) >0 是 f ( x) 为增函数的充分不必要条件。若 f ( x) 为增函数,则
王新敞
奎屯 新疆

f ?( x) ≥0, 反之不成立。 因为 f ?( x) ≥0, 即 f ?( x) >0 或 f ?( x) =0。 当函数在某区间内恒有 f ?( x) =0
时, f ( x) 为常数,函数不具有单调性。所以, f ?( x) ≥0 是 f ( x) 为增函数的必要不充分条件。

-1-

一般地,使 f ?( x) =0 的离散的点不影响函数在该区上的单调性。如 f ( x) =x+sinx. 正解:依定义 f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t , f ?( x) ? ?3x 2 ? 2x ? t 。 若 f ( x) 在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设 f ?( x) ≥0。 ∵ f ?( x) 的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当 f ?(1) ? t ? 1 ? 0 ,且

f ?(?1) ? t ? 5 ? 0 时, f ?( x) 在(-1,1)上满足 f ?( x) >0,即 f ( x) 在(-1,1)上是增函数。
故 t 的取值范围是 t≥5。 三、极值的存在条件 例 3.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,求 a,b。 分析:抓住条件“在 x=1 处有极值 10”所包含的两个信息,列出两个方程,解得 a,b。a, b 有两组值,是否都合题意需检验。 解: f ?( x ) =3x2+2ax+b,根据题意可得 ?

? ? f ? ?1? ? 0 , f 1 ? 10 ? ? ? ?

即?

?2a ? b ? 3 ? 0,
2

?a1 ? 4, ?a2 ? ?3, ?a2 ? ?3 解得 ? 或? 而当? 时, ?b1 ? ?11, ?b2 ? 3. ?b2 ? 3 ?a ? a ? b ? 1 ? 10,
2

f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3 ? 3 ? x ? 1? ,
易得此时, f ?( x ) 在 x=1 两侧附近符号相同,不合题意。

当? 合题意。

?a1 ? 4 时, f ?( x ) =(3x+11) (x-1) ,此时, f ?( x ) 在 x=1 两侧附近符号相异,符 ?b1 ? ?11

所以 ?

?a ? 4 。 ?b ? ?11

评注:极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号。 四、“过某点”和“在某点处“的关系 例 4.过点(--1,0)作抛物线 y=x2+x+1 的切线,则其中一条切线为( A 2x+y+2=0 B 3x--y+3=0 C x+y+1=0 D x--y+1=0
x ??1



错解: y ' =2x+1 所以切线的斜率 K= y '

? ?1 故切线方程为 y ? ?( x ? 1) 即 x+y+1=0

-2-

点评“在某点处”的切线表明此点是切点, 而“过某点”的切线不一定是切点。 这里就忽视了 二者的区别。 正解:设切点坐标是 ? x0 , y0 ? ,则切线斜率为 k=2x0+1 因为切线过点(--1,0)所以

y0 ? 2 x0 ? 1 即 x02 ? 2 x0 ? 0 所以 x0 ? 0或x 0 ? ?2 x0 ? 1

所以切点坐标为(0,1)或(--2,3)故切线方程为 x—y+1=0 或 3x+y—12=0 所以应选 D 五、极值与最值的关系 例 5.求函数 f(x)=sin2x—x 在 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 2 2? ?

错解: f ?( x) = 2 cos 2 x ? 1,令 f ' ? x ? ? 0 ,得 2 cos 2 x ? 1=0。解得 x1 ? ? 当 x ???

?
6

或 x2 ?

? 6

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? , ? ? 时, f ?( x ) <0,所以 f(x)在 ? ? , ? ? 是减函数;当 x ? ? ? , ? 时 ? 2 6? ? 2 6? ? 6 6?

?? ? ? f ?( x ) >0,所以 f(x)是增函数;当 x ? ? , ? 时 f ?( x ) <0,所以 f(x)是减函数。 ?6 2?
所以当 x ?

?
6

时,f(x)取最大值

? 3 ? ? 3 。 ? ;当 x ? ? 时,f(x)取最小值 ? 6 2 6 6 2

点评:极值是比较极值点附近函数值得出的,并不意味着它在函数的某个区间上最大 (小) 。因此,同一函数在某一点的极大(小)值,可以比另一点的极小(大)值小(大) ; 而最值是指闭区间 ? a, b? 上所有函数值的比较,所以极大(小)值不一定是最大(小)值,最 值也不一定是极值。 对闭区间 ? a, b? 上的连续函数, 如果在相应的开区间 ? a, b ? 内可导求 ? a, b? 上最值可简化过程。即直接将极值点与端点的函数值比较,就可判定最大(或最小)的函数 值就是最大(或最小)值。
' 正解: f ?( x) = 2 cos 2 x ? 1,令 f ? x ? ? 0 ,得 2 cos 2 x ? 1=0。解得 x1 ? ?

?
6

或 x2 ?

? 6

所以 f ?

3 ? ?? ? ? , ?? ?6? 2 6

3 ? ? ?? f ?? ? ? ? ? 2 6 ? 6?

又f?

? ?? ? ? ?? ? ? ? ? , f ?? ? ? 2 ?2? ? 2? 2
?

所以函数 f(x) 在 ? ? , ? 上的最大值和最小值分别为 , ? 。 2 2 ? 2 2?

? ? ??

?

-3-


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