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全国通用2018高考数学大一轮复习第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差习题理


第6节

离散型随机变量的分布列及均值和方差

【选题明细表】 知识点、方法 离散型随机变量概念与分布列 离散型随机变量的均值 离散型随机变量的方差 超几何分布 题号 1,2,3,4,5,7,9 6,14,15,16 8,11,13 10,12

基础对点练(时间:30 分钟) 1.下列变量中离散型随机变量的个数为( C ) ①在 2 016 张已编号(从 1 号到 2 016 号)的奖券中任取一张,被取出的号码 X ②连续不断 射击,首次命中目标需要的射击次数 Y ③在编号为 1~100 的 100 张卡片中,任取两张,其两 张卡片的编号之和 Z ④某加工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径尺寸之差ξ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:X,Y,Z 都是随机变量且可以一一列出,是离散型随机变量;ξ 是随机变量,但其取值位 于某个区间内,不可一一列出,故不是离散型随机变量. 2.从标有 1~10 的 10 台电脑中任取两台,设所得两台电脑上的数字之和为ξ ,那么随机变量 ξ 可能取得的值有( A ) (A)17 个 (B)18 个 (C)19 个 (D)20 个 解析:1~10 任取两个的和可以是 3~19 中的任意一个,共有 17 个. 3.设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)=a·( ) ,i=1,2,3,则 a 的值为( B
i

)

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:根据题意及随机变量分布列的性质得 a· +a·( ) +a·( ) =1,解得 a= . 4.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0) 等于( C ) (A)0 (B) (C) (D)
2 3

解析:即求试验不成功的概率,故选 C. 5.若随机变量 X 的分布列为 X P -2 0.1 -1 0.2 0 0.2 1 0.3 2 0.1 3 0.1

则当 P(X<a)=0.8 时,实数 a 的取值范围是( C ) (A)(-∞,2] (B)[1,2] (C)(1,2] (D)(1,2)

1

解析:由随机变量 X 的分布列知 P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当 P(X<a)= 0.8 时,实数 a 的取值范围是(1,2]. 6.随机变量 X 的分布列为 X P 1 0.2 2 0.5 3 m

则 X 的数学期望是( B ) (A)2 (B)2.1 (C)2.3 (D)随 m 的变化而变化 解析:根据题意,0.2+0.5+m=10,解得 m=0.3,所以 E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1. 7.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= (k=1,2,3,?),则 P(3<X≤6)等于( C )

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:P(3<X≤6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)= + + = . 8.随机变量ξ 的分布列如下: ξ P -1 a . 0 b 1 c

其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ )= ,则 D(ξ )=

解析:由题意得 2b=a+c①,a+b+c=1②,c-a= ③,以上三式联立解得 a= ,b= ,c= ,故 D(ξ )= .

答案: 9.一个小商店每年利润 X(万元)的概率分布列是 X P 0.5 0.1 1 0.2 1.5 0.5 2 0.2

则这个小商店一年利润不低于 1 万元的概率是 . 解析:根据分布列,记这个小商店一年的利润不低于 1 万元为事件 {X≥1},故 P(X≥1)=1-P(X<1)=1-0.1=0.9. 答案:0.9 10.一批产品共 50 件,其中 5 件次品,45 件合格品,从这批产品中任意抽两件,其中出现次品 的概率是 . 解析:设抽到次品的件数为 X,则 X 服从超几何分布,出现次品的概率为 P(X≥ 1)=P(X=1)+P(X=2)= + = .

2

答案: 能力提升练(时间:15 分钟) 11.已知离散型随机变量 X 的概率分布列为 X P 1 0.5 3 m 5 0.2

则其方差 D(X)等于( C ) (A)1 (B)0.6 (C)2.44 (D)2.4 解析:因为 0.5+m+0.2=1,所以 m=0.3,所以 2 2 2 E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,D(X)=(1-2.4) ×0.5+(3-2.4) ×0.3+(5-2.4) ×0.2=2.4 4. 12. 导学号 18702594 一个袋中有 4 个红球,3 个黑球,小明从袋中随机取球,设取到一个红球 得 2 分,取到一个黑球得 1 分,从袋中任取 4 个球,则小明得分大于 6 分的概率是( A ) (A) (B) (C) (D)

解析:记得分为 X,则 X=5,6,7,8.P(X=7)=

= ;P(X=8)=

= .所以

P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)= + = . 13.已知随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.2 1 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.1

则 D(X)= ,D(2X-1)= . 解析:E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8,所以 2 2 2 2 2 D(X)=(0-1.8) ×0.2+(1-1.8) ×0.2+(2-1.8) ×0.3+(3-1.8) ×0.2+(4-1.8) ×0.1=1.56, 由方差的性质得 D(2X-1)=4D(X)=4×1.56=6.24. 故 D(X)=1.56,D(2X-1)=6.24. 答案:1.56 6.24 14. 导学号 18702595 为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚,为了更好 地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了 200 人进行调查,得到如下数据: 处罚金额 x(单位:元) 会闯红灯的人数 y 0 80 5 50 10 40 15 20 20 10

(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚 10 元时与处罚 20 元时,行人会闯红灯的概率的 差是多少? (2)若从这 5 种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验. ①求这两种金额之和不低于 20 元的概率; ②若用 X 表示这两种金额之和,求 X 的分布列和数学期望.

3

解:(1)由条件可知,处罚 10 元会闯红灯的概率与处罚 20 元会闯红灯的概率的差是 = .

(2)①设“两种金额之和不低于 20 元”的事件为 A,从 5 种金额中随机抽取 2 种,总的抽选方 法共有 =10 种,满足金额之和不低于 20 元的有 6 种,

故所求概率为 P(A)= = . ②根据条件,X 的可能取值为 5,10,15,20,25,30,35,分布列为 X P 5 10 15 20 25 30 35

故 E(X)=5× +10× +15× +20× +25× +30× +35× =20(元). 15.(2016·湖南郴州第四次质检)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习 严重影响学生的身体健康,某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位:小时), 分别从这两个班中随机抽取 6 名同学进行调查,将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为 样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字),如果学生平均 每周自我熬夜学习的总时长超过 21 小时,则称为“过度熬夜”.

(1)请根据样本数据,估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值; (2)从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取 2 名学生的数据,记“过度熬夜”的学生人数为 X,写出 X 的分布列和数学期望 E(X). 解:(1)甲班样本数据的平均值为 (9+11+13+20+24+37)=19,由此估计甲班学生每周平均熬夜

时间为 19 小时;乙班样本数据的平均值为 (11+12+21+25+27+36)=22,由此估计乙班学生每 周平均熬夜时间为 22 小时. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4.P(X=0)= = ,

P(X=1)=

= ,

4

P(X=2)=

= ,

P(X=3)= X 的分布列是 X P 0

= ,P(X=4)=

= .

1

2

3

4

E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = . 16. 导学号 18702596 某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市 甲到城市乙只有两条公路,且运费由厂商承担.若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送 到,则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂 20 万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售 商将多支付给牛奶厂 1 万元;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂 1 万元.为保证牛奶新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运 送牛奶,已知下表内的信息: 统计信息 在不堵车的情况下 到达城市乙所需时 间(天) 在堵车的情况下到达 城市乙所需时间(天) 堵车的 概率 运费 (万 元)

公路 1

2

3

1.6

公路 2

1

4

0.8

(1)记汽车选择公路 1 运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ (单位:万元),求ξ 的分布列和数 学期望 E(ξ ); (2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多? (注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费) 解:(1)若汽车走公路 1, 不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ =20-1.6=18.4(万元); 堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ =20-1.6-1=17.4(万元), 所以汽车走公路 1 时牛奶厂获得的毛收入ξ 的分布列为 ξ P 18.4 17.4

5

E(ξ )=18.4× +17.4× =18.3(万元). (2)设汽车走公路 2 时牛奶厂获得的毛收入为η ,则 不堵车时牛奶厂获得的毛收入η =20-0.8+1=20.2(万元); 堵车时牛奶厂获得的毛收入η =20-0.8-2=17.2(万元). 所以汽车走公路 2 时牛奶厂获得的毛收入η 的分布列为 η P 20.2 17.2

E(η )=20.2× +17.2× =18.7(万元). 因为 E(ξ )<E(η ),所以选择公路 2 运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多. 好题天天练 1. 导学号 18702598 由于电脑故障,使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代 替),其分布列如下: X P 1 0.20 2 0.10 3 0.x5 4 0.10 5 0.1y 6 0.20

则丢失的两个数据 x,y 依次为 . 解析:由于 0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1,得 10x+y=25,又因为 x,y 为 正整数,故两个数据依次为 2,5. 答案:2,5 2. 导学号 18702599 据统计一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为 0.005,保险公司 开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费 100 元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司 赔偿 a 元(a>1 000),为确保保险公司有可能获益,则 a 的取值范围是 . 解题关键:根据数学期望的意义,只要收益的数学期望值大于零即可. 解析:X 表示保险公司在参加保险者身上的收益,其概率分布列为 X P 100 0.995 100-a 0.005 ,若保险公司获益,则期望值大于 0,解得 a<20

E(X)=0.995×100+(100-a)×0.005=100000,所以 a∈(1 000,20 000). 答案:(1 000,20 000)

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