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2014福建文科数学高考--常用公式及结论(整理好)


2014 福建高考数学常用公式
一、集合与逻辑用语
1 集合 {a1 , a2 ,
n

, an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2 n ? 1 个;非空子集有 2 n ? 1 个;非空的真子集

有 2 ? 2 个. 2 二次函数的解析式的三种形式: (1) 一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2) 顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;(当已知抛物线的顶点坐标 ( h, k ) 时,设为此式) (3) 零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) ; (当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 ( x1 ,0),( x2 ,0) 时, 设为此式)

二、函数:
1 函数的奇偶性: (注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数: 定义:在前提条件下,若有 f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则 f(x)就是奇函数。 性质: (1) 、奇函数的图象关于原点对称; (2) 、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调性; (3) 、定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0 . 偶函数: 定义:在前提条件下,若有 f (? x) ? f ( x) ,则 f(x)就是偶函数。 性质: (1) 、偶函数的图象关于 y 轴对称; (2) 、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有相反的单调性; 奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2) 、奇函数·奇函数=偶函数; (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 10 常见函数的图像:
y
y
y
y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1
o

a>0

1 a>1

x

y=kx+b

y=ax2+bx+c

2 对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是 x ? 3 对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (3) loga M ? n loga M (n ? R) ;
n

a?b ; 2

(2) log a (4) log am

M ? log a M ? log a N ; N n N n ? log a N (n, m ? R) 。 m

三、数列
1

1 等差数列: 通项公式: (1) an ? a1 ? (n ?1)d ,其中 a1 为首项,d 为公差,n 为项数, an 为末项。 (2)推广: an ? ak ? (n ? k )d (3) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 前 n 项和: (1) S n ? (注:该公式对任意数列都适用)

n(a1 ? an ) ;其中 a1 为首项,n 为项数, an 为末项。 2 n(n ? 1) d (2) Sn ? na1 ? 2
(3) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) (4) Sn ? a1 ? a2 ? (注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)

? an

常用性质: (1) 、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? ap ? aq ; 注:若 am是an , a p 的等差中项,则有 2 am ? an ? a p ? n、m、p 成等差。 (2) 、若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? 为等差数列。 (3) 、 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 也成等差数列。 (4) 、 ap ? q, aq ? p, 则ap?q ? 0 ; (5) 1+2+3+?+n= 2 等比数列: 通项公式: (1) an ? a1q
n ?1

n( n ? 1) 2

?

a1 n ? q (n ? N * ) ,其中 a1 为首项,n 为项数,q 为公比。 q

(2)推广: an ? ak ? q n?k (3) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 前 n 项和: (1) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) (2) Sn ? a1 ? a2 ? (注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)

? an
(q ? 1) (q ? 1)

? na1 ? (3) S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

常用性质: (1) 、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? a p ? aq ;

2

注:若 am是an , a p 的等比中项,则有 am2 ? an ? ap ? n、m、p 成等比。 (2) 、若 ?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则 ?an ? bn ? 为等比数列。

四、三角函数
1、三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .
2、 同角三角函数的基本关系式 : sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2

?

sin ? , cos ?

3 、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 4 、和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ?

sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 tan ? tan ?
b ). a

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? )
(辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ? 5、 二倍角公式及降幂公式

sin 2? ? sin ? cos ? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? tan ? ?

sin 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 ? , cos 2 ? ? , sin ? ? 1 ? cos 2? sin 2? 2 2

1 ? tan 2 ? . 1 ? tan 2 ?

6、 三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x ∈ R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x ∈ R(A, ω , ? 为常数,且 A ≠ 0) 的周期

T?

? 2? ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ? . 2 |? | |? |
三角函数的图像: y

y=sinx


1

y=cosx
π/2 π 3π/2 2π

y
1

-π/2 -2π -3π/2

o
-1

x

-2π -3π/2



-π/2

o
-1

π/2

π

3π/2



x

7、 正弦定理 :

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C

8、余弦定理:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
9、面积定理: (2) S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
3

五、向量
1、 a 与 b 的数量积(或内积): a · b =| a || b | cos ? 。 2、平面向量的坐标运算: (1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a = ( x, y ), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y ) . (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 3、 两向量的夹角公式:

cos ? ?

a ?b ? | a |?|b |

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ).

4、平面两点间的距离公式:

d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

,

(A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

5、 向量的平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则:

a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .(交叉相乘差为零)

a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .(对应相乘和为零)

六、不等式
1、常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

(2) a, b ? R ? ? (3)

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2

2ab a?b a 2 ? b2 (当且仅当 a=b 时取“=”号)。 ? ab ? ? a?b 2 2 2、极值定理:已知 x, y 都是正数,则有
(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 3、实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

1 2 s . 4

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③ 若 ? ? b ? 4ac ? 0 , 它 在 实 数 集 R 内 没 有 实 数 根 ; 在 复 数 集 C 内 有 且 仅 有 两 个 共 轭 复 数 根
①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?
2

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) 2a 2 2 2 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax ? bx ? c 同号,则其解 2 集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两 x?
根之间.即:

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
4

七、解析几何
1、 斜率公式 :

k?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

2、 直线的五种方程: k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). | Ax0 ? By0 ? C | 3、 点到直线的距离 : d ? (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 2 2 2 4、点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
(3)两点式

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 5 、 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 : 直 线 Ax ? By ? C ? 0 与 圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的 位 置 关 系 有 三 种 Aa ? Bb ? C (d ? ): A2 ? B 2 d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
6、椭圆

若d ?

x2 y 2 c b2 ? ? 1( a ? b ? 0) 。 离心率 , e ? ? 1 ? a 2 b2 a a2

7、椭圆的的内外部:
2 2 x0 y0 x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b a b 2 2 2 2 x y0 x y ? ?1. (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 0 a b a 2 b2

x2 y 2 c b2 8、 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? ? 1 ? 2 , a b a a
9、 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a b ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是 b 。 2 10、抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式: p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2
11、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2
5

或 AB ?

(1 ? k 2 )[( x2 ? x1 )2 ? 4 x2 ? x1 ] ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?

(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 ?F( x, y) ? 0

? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 .

八、立体几何与空间向量
1 证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; 2 证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 3 证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行。

九、概率与统计
1、 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). n 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 2、 独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率:P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An).

十、导数
1、 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切 线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 2、 几种常见函数的导数:
n?1 (1) C ? ? 0 (C 为常数).(2) ( x n )? ? nx (n ? Q) .(3) (sin x)? ? cos x .

(4) (cosx)? ? ? sin x .
x x x

(5) (ln x )? ?
x

1 1 ; (log a x)? ? log a e . x x

(6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a . 3、导数的运算法则:

u ' u 'v ? uv ' (v ? 0) . (1) (u ? v) ? u ? v .(2) (uv) ? u v ? uv .(3) ( ) ? v v2 4、判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法: 当函数 f ( x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值;
' ' ' ' ' '

(2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.

十一、复数
5、 复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 6、复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 80 复平面上的两点间的距离公式:

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
6


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