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2013年高考数学(理科)一轮复习课件第72讲:复数的概念及运算


考纲要求 1.理解复数的基本概念.

考纲研读

2.理解复数相等的充要条件. 1.复数的概念和代数形式的乘除 3.了解复数的代数表示法及其 运算是考查的重点(尤其对复数
几何意义. 除法的考查频率更高).

4.会进行复数代数形式的四则 2.以虚数、纯虚数、共轭复数 、复数相等、复数的模等概念为 运算. 载体,求参数的值或取值范围, 5.了解复数代数形式的加、减 也是复数问题实数化的具体体现. 运算的几何意义.

1.复数的有关概念 (1)形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a,b 分别是复数 的实部和虚部.若 b=0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为 虚数;若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数.
?a=c, ? (2)复数相等:a+bi=c+di?? ?b=d ?

(a,b,c,d∈R).

(3)a+bi 的共轭复数为 a-bi(a,b∈R). (4)复数 z=a+bi(a,b∈R)与复平面的点 Z(a,b)一一对应. (5)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a2+b2.

2.复数的运算 复数 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i; z1z2=(ac-bd)+(bc+ad)i; z1 ?ac+bd?+?bc-ad?i 2 2 (c +d ≠0). 2 2 z2= c +d 3.常用结论 1+i ①(1± =± i) 2i;② =i;③in+in+1+in+2+in+3=0(n∈Z). 1-i
2

1.(2011 年福建)i 是虚数单位,1+i3 等于( D ) A.i B.-i C.1+i D.1-i

2.(2011年浙江)若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)· z= ( A)
A.1+3i B.3+3i C.3-i D.3

3.(2010 年广东)若复数 z1=1+i,z2=3-i,则z1·2= ( A ) z A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3

1 4.(2011 年广东惠州调研)在复平面内,复数 z= 对应的点 2+i

位于( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5.(2011 年广东广州测试)若复数(1-i)(a+i)是实数(i 是虚数 单位),则实数 a 的值为( C ) A.-2 B.-1 C.1 D.2

考点1

复数的概念

1+2i 例 1:①(2011 年江西)若 z= i ,则共轭复数 z =( D )
A.-2-i C.2-i B.-2+i D.2+i

1+2i i+2i2 i-2 解析:z= i = i2 = =2-i, z =2+i. -1

②(2011 年广东广州模拟)复数 z=a+bi?a,b∈R?的虚部记作 ? ? lm z =b,则
? ? ? ?

?

?

? 1 ? lm?2+i?=( ? ? ? ?

D )

1 2 1 1 A.3 B.5 C.-3 D.-5 ③(2011 年江苏)设复数 i 满足 i(z+1)=-3+2i(i 是虚数单位),

1 则 z 的实部是________.
-3+2i -3i+2i2 解析: 因为 z+1= i = =2+3i,所以 z=1+3i. i2 故实部为 1.

处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数 的实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.

【互动探究】 1. (2011 年浙江)把复数 z 的共轭复数记作-, 为虚数单位. z i 若 - z=1+i,则(1+z)· =( A ) z A.3-i B.3+i C.1+3i D.3

考点2 复数的模及几何意义

例 2: ①(2011 年陕西)设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|, x∈R},
? ?? ? 1? N=?x??x- i ? ? ? ?? ?



? ? 2,i为虚数单位,x∈R?,则 ? ?

M∩N 为( C ) D.[0,1]

A.(0,1)

B.(0,1]

C.[0,1)

解析:y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|∈[0,1],所以 M=[0,1].因为
? 1? ?x- ?< i? ?

2,所以|x+i|< 2,即 x2+1< 2,又因为 x∈R,所以

-1<x<1,即 N=(-1,1).所以 M∩N=[0,1),故选 C.

②(2011 年辽宁)a 为正实数,i =( B ) A.2 B. 3 C. 2

?a+i? ? 为虚数单位,? ? i ?=2,则 ? ?

a

D.1

?a+i? ? 解析:∵? ? i ?=|1-ai|= ? ?

1+a2=2,即 a2=3,∴a= 3.

i ③(2011 年安徽合肥一模)在复平面内,复数 (i 是虚数单 3-i

位)对应的点在( B ) A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

-1+ 3i i 解析: = ,显然,其对应的点在第二象限. 4 3-i

复数的模的运算,先将复数化简为 z=a+bi(a,b ∈R)的形式,再利用公式|z|= a2+b2;复数与复平面的点是一一 对应的,复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的, 因此复数加减法的几何意义可按平面向量的加减法理解,利用平 行四边形法则或三角形法则解决问题.

【互动探究】
-1+i 2.(2011 年广东汕头测试)在复平面内,复数 i 对应的点 位于( A )

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

考点3

复数的四则运算

例3:①(2011 年广东)设复数z 满足 iz=1,其中 i 为虚数单位, 则 z=( A )

B.i C.-1 D.1 -i 1 解析:z= i = =-i. i×?-i? ?1+i? ?2 011 ②(2011 年湖北)i 为虚数单位,则? =( A ) ?1-i? ? ? A.-i B.-1 C.i D.1
?1+i? 1+i ???1+i???2 ?2 011 解析:因为 = =i,所以? =i2 011=i4×502+3=i3 ?1-i? 1-i 1-i2 ? ?

A.-i

=-i,故选 A.

③(2011 年湖南)若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,

则( D )
A.a=1,b=1 C.a=-1,b=-1 B.a=-1,b=1 D.a=1,b=-1

解析:因为(a+i)i=-1+ai=b+i,根据复数相等的条件可知

a=1,b=-1.
复数的加、减法,形式上与多项式的加、减法类 似.复数的除法运算,先把两个复数相除写成分式形式,然后把

分子、分母都乘以分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后化
简.

【互动探究】

i-2 3.(2011 年北京)复数 =( A ) 1+2i A.i 4 3 C.-5-5i B.-i 4 3 D.-5+5i

易错、易混、易漏 27.对复数虚部的正确理解

2i3 例题:复数 的虚部为( B ) 1-i
A.1 B.—1 C.i D.—i

2i3 ? ? 正解:∵ =-i?1+i?=1-i.虚部为-1.故选 B. ? ? 1-i
【失误与防范】复数z=a+bi(a,b∈R),虚部为b,而不是bi.

1.在复习过程中,应注意理解和掌握复数的基本概念,特别 是虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模等. 2.复数代数形式的四则运算是指复数的加、减、乘、除运算, 符合多项式的四则运算法则,只是在运算中含有虚数单位 i,尤其 是复数的除法运算需要利用共轭复数进行分母实数化.

1.两个复数不全为实数时不能比较大小,只有相等和不相等 的关系. 2.复数 a+bi(a,b∈R)的虚部是 b 而不是 bi. 3.对复数进行分类时要先将它整理成 a+bi(a,b∈R)的形式, 判定一个复数是纯虚数则需满足 a=0 且 b≠0;判定一个复数是实

数,仅根据虚部为零是不够的,还要保证实部有意义才行.


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