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椭圆及其标准方程一次磨课后教案 2


一次磨课后教案:椭圆及其标准方程
一、教学内容 新课标人教版选修 2-1 第二章第二节第一课时内容: 2.2.1 椭圆及其标准方程 二、教材分析 教材的地位与作用 ⑴从知识上说,它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练; ⑵从方法上说,它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础. 所以说,无论从教材内容,还是从教学方法上都起着承上启下的作用.本小节安排两课 时: 第一课时:椭圆的定义及标准方程的推导; 第二课时:运用椭圆的定义求曲线的轨迹方程. 三、课程目标 ⑴知识目标: ①掌握椭圆的定义及其标准方程; ②通过对椭圆标准方程的探求,熟悉求曲线方程的一般方法. ⑵能力目标:通过自我探究、操作、数学思想(待定系数法)的运用等,从而提高学生 实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力. ⑶情感目标:在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系,体会形数美的统一,激发学生学 习数学的兴趣,培养学生勇于探索,勇于创新的精神. 四、重点和难点 重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程; 难点:椭圆标准方程的建立和推导. 五、教学过程与方法目标 (一)设置情景,导入新课 1、 (借助多媒体)先演示本章开头语中用一个倾斜平面截圆锥,可以得到截口曲线(椭圆) ; 今天我们就着手研究这个内容. (进而出示本节研究的课题的教学目标)

2、 (借助多媒体)展示图片

【设计意图】让学生明确椭圆与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系,激发学生的求 知欲. (二)尝试画图、形成感知 1、动手画椭圆 (1)请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔,同桌一起合作画椭圆. (2)动画演示椭圆的形成过程.(动画 1) 2、同学们作完图、观察完演示后,思考下面问题: ⑴ .结合实验,你应如何给椭圆下定义?定义含有几个要点? ⑵ .在画出一个椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的? ⑶ .在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? ⑷ .在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系? 3、教师再进一步明确椭圆概念、焦点、焦距概念,强调形成椭圆的条件.

(三)探究椭圆的标准方程 1、复习求动点的轨迹方程的基本步骤 (由学生回答,不正确的教师给予纠正) 2、椭圆标准方程的探求 ⑴建系 让学生自己动手试一试如何恰当地建立坐标系. 教师巡回察看各个同学的建系情况,然后让几个同学说出自己建系的依据,师生共评, 寻找最佳方案. 【学情预设】学生可能会建系如下几种情况: 方案一:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 的中点为原点; 方案二:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1 为原点; 方案三:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F2 原点; 方案四:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 与 x 轴的左交点为原点; 方案五:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 与 x 轴的右交点为原点; 经过比较确定方案一. 以两定点 F1 、 F2 所在的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角 坐标系(如图 1) .设 F1F2 ? 2c ?c ? 0? ,则 F1 ?? c, 0? , F2 ?c, 0? . 已知图形,建立直角坐标系的一般要求是什么?第一、充分利用图形的对称性;第二、 注意图形的特殊性和一般性关系. ⑵设点 设 M ?x,y ? 为椭圆上的任意一点, M 与 F1 、 F2 的距离的 和等于 2 a ( 2a ? 2c ). 由 定 义 得 到 椭 圆 上 点 (图 1)

M

的 集 合 为

P ? ?M MF1 ? MF2 ? 2a?.
⑶列式 将条件式 MF 1 ? MF 2 ? 2a 代数化,得

?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2
⑷ 化简

? 2a

(*)

先让学生各自在练习本上自行化简,教师巡视. 预测学生问题:① 若学生采用两次平方的方法化简,最后应得到

?a

2

? c2 x2 ? a2 y 2 ? a2 a2 ? c2

?

?

?

(* *)

在此过程中,教师一边巡视,一边给予指导和提示,然后选出 1—2 位学生的推导过程 展示出来,并请学生本人作简要陈述. 然后教师提出:有无较为简单的方法化简(*)式呢? 请学生观察式子

?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2

? 2a ,

引导学生联想等差中项的定义:“ m, p , n 成等差数列 ? m ? n ? 2 p ”, 知

?x ? c ?2 ? y 2 , a , ?x ? c ?2 ? y 2 成等差数列,

? ? 可设 ? ? ?

?x ? c ?2 ? y 2 ?x ? c ?2 ? y 2

? a ? d, ? a ? d.

再设法消去 d ,即可将(*)式化简为(* *)式. 若学生先想到利用等差中项的概念式化简得(* *)式,则教师提出采用两次平方的方 法请学生一试,也可得(* *)式. ② b 的引入
2 2 由椭圆的定义可知, 2a ? 2c ,? a ? c ? 0 ,

y M b a 0 c F 2 x

让点 M 运动到 y 轴正半轴上(如图 2) ,由学生观察图 形自 行获得 a , c 的 几何意义, 进而自然 引进 b ,此时
F1

b 2 ? a 2 ? c 2 ,于是得 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ,
两边同时除以 a b ,得椭圆的标准方程为:
2 2

图2

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a 2 b2
③ 教师对标准方程的说明 ⅰ .椭圆的标准方程既简洁整齐,又对称和谐; ⅱ .上述方程表示焦点在 x 轴上,中心在坐标原点的椭圆,其中 c ? a ? b ;
2 2 2

ⅲ .以上的推导过程,没有证明“以满足方程 在椭圆上”,有兴趣的同学可在课后自行证明;

x2 y2 ? ? 1 的实数对 ( x, y ) 为坐标的点都 a2 b2

ⅳ . 如 果 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 , 并 且 焦 点 为 F1 (0,?c), F2 (0, c) , 则 椭 圆 方 程 为

y2 x2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 中的 ,这也是椭圆的标准方程,它可以看成将方程 ? ? a ? b ? 0 a2 b2 a2 b2
x , y 对换而得到的;
ⅴ .对于给定的椭圆的标准方程,要判断焦点在哪个轴上,只需比较与 x 与 y 2 项分母 的大小即可.若 x 项分母大,则焦点在 x 轴上;若 y 2 项分母大,则焦点在 y 轴上. ⅵ .对椭圆的两种标准方程,都有 ?a ? b ? 0?,焦点都在长轴上,且 a、b、c 始终满足
2 2

c2 ? a2 ? b2
(四) 、实例演练 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0 ? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ? 标准方程. 分析:有两种解题思路: 思路 1:利用椭圆定义(椭圆上的点 ? ? , ? 到两个焦 点 ?0, ? 2? 、 ?0, 2? 的距离之和为常数 2 a ,求出 a 值,再结合已知条件和 a 、 b 、 c 间的关 系求出 b 的值,进而写出标准方程; 思路 2:先根据已知条件设出焦点在 y 轴上的椭圆方程的标准方程
2

?5 3? , ? ? ,求它的 ?2 2?

? 3 5? ? 2 2?

y2 x2 ? 3 5? ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? ,再将椭圆上点的坐标 ? ? , ? 代入此方程,并结合 a 、 b 、 c 间 2 a b ? 2 2? y2 x2 ? ?1. 的关系求出 a 、 b 的值,从而得到椭圆的标准方程为 10 6
2 2

(五) 、回顾小结,归纳提炼 1、先让学生思考,然后填表.

定 义 图 形 标准方程 a、b、c 的关系 焦 点 焦点位置的判断 2、求曲线方程的一般方法步骤: 建系设点-列等式-代坐标-化简方程 3、求椭圆方程常用方法:待定系数法 (六)达标检测 1、判断下列各椭圆的焦点位置,并说出焦点坐标、焦距. (1)

x2 y 2 ? ?1 3 4

(2)

3x2 ? 4 y2 ? 1

2、已知 F1、F2 是椭圆
2

则四边形 F1MF2N 的周长为 3、若方程 是 .

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 M、N 两点, 25 9
2

x y ? ?1 25 ? m 16 ? m

.

表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围

(七) 、板书设计 课 1、椭圆的定义 题 例 1(要点)

标准方程的推导

2、有关概念 练习 3、椭圆标准方程 (1)焦点在 x 轴上 (2)焦点在 y 轴上

(八)布置作业 练习:第 42 页 1、2、3、4; 作业:第 49 页 习题 2.2 中 2、3


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