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2015高考数学二轮复习热点题型-集合与常用逻辑用语


集合与常用逻辑用语

1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的 互异性. [问题 1] 集合 A={a,b,c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度,那么这个三角 形一定不是( A.等腰三角形 C.直角三角形 答案 A 2. 描述法表示集合时, 一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素. 如: {x|y=lg x}—— 函数的定义域;{y|y=lg x}——函数的值域;{(x,y)|y=lg x}——函数图象上的点集. [问题 2] 集合 A={x|x+y=1},B={(x,y)|x-y=1},则 A∩B=________. 答案 ? 3.遇到 A∩B=?时,你是否注意到“极端”情况:A=?或 B=?;同样在应用条件 A∪B=B ?A∩B=A?A?B 时,不要忽略 A=?的情况. [问题 3] 设集合 A={x|x2-5x+6=0},集合 B={x|mx-1=0},若 A∩B=B,则实数 m 组成 的集合是________. 1 1 答案 {0, , } 2 3 4.对于含有 n 个元素的有限集合 M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n-1,2n-1,2n-2. [问题 4] 满足{1,2} M?{1,2,3,4,5}的集合 M 有________个. 答案 7 5.注重数形结合在集合问题中的应用,列举法常借助 Venn 图解题,描述法常借助数轴来运 算,求解时要特别注意端点值. [问题 5] 已知全集 I=R, 集合 A={x|y= 1-x}, 集合 B={x|0≤x≤2}, 则(?IA)∪B 等于( A.[1,+∞) C.[0,+∞) 答案 C 6.“否命题”是对原命题“若 p,则 q”既否定其条件,又否定其结论;而“命题 p 的否定” 即:非 p,只是否定命题 p 的结论. [ 问题 6] 已知实数 a 、 b ,若 |a| + |b| = 0 ,则 a = b. 该命题的否命题和命题的否定分别是 B.(1,+∞) D.(0,+∞) ) ) B.锐角三角形 D.钝角三角形

________________. 答案 否命题:已知实数 a、b,若|a|+|b|≠0,则 a≠b; 命题的否定:已知实数 a、b,若|a|+|b|=0,则 a≠b 7.要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B;而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A. [问题 7] 设集合 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的________条件. 答案 充分不必要 8.要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题),特称命题(存在性命题)的否定是全称命 题. 如对“a, b 都是偶数”的否定应该是“a, b 不都是偶数”, 而不应该是“a, b 都是奇数”. 求 参数范围时,常与补集思想联合应用,即体现了正难则反思想. [问题 8] 若存在 a∈[1,3],使得不等式 ax2+(a-2)x-2>0 成立,则实数 x 的取值范围是

________________. 2 ? 答案 (-∞,-1)∪? ?3,+∞? 解析 不等式即 (x2 + x)a - 2x - 2>0 ,设 f(a) = (x2 + x)a - 2x - 2. 研究 “ 任意 a∈[1,3] ,恒有

f(a)≤0”.
?f?1?≤0, ? 则? ? ?f?3?≤0,

2? 解得 x∈? ?-1,3?. 2 ? 则实数 x 的取值范围是(-∞,-1)∪? ?3,+∞?.

易错点 1 忽视空集致误 例 1 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 A∪B=A.求实数 m 的取 值范围. 错解 ∵x2-3x-10≤0,∴-2≤x≤5, ∴A={x|-2≤x≤5}. 由 A∪B=A 知 B?A,
? ?-2≤m+1 ∴? ,即-3≤m≤3, ?2m-1≤5 ?

∴m 的取值范围是-3≤m≤3. 找准失分点 B?A,B 可以为非空集合,B 也可以是空集.漏掉对 B=?的讨论,是本题的一 个易失分点.

正解 ∵A∪B=A, ∴B?A. ∵A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}. ①若 B=?,则 m+1>2m-1, 即 m<2,故 m<2 时,A∪B=A; ②若 B≠?,如图所示, 则 m+1≤2m-1,即 m≥2.
? ?-2≤m+1, 由 B?A 得? ?2m-1≤5. ?

解得-3≤m≤3. 又∵m≥2,∴2≤m≤3. 由①②知,当 m≤3 时,A∪B=A. 易错点 2 对命题的否定不当致误 ax+10 例 2 已知 M 是不等式 ≤0 的解集且 5 M,则 a 的取值范围是________. ax-25 错解 (-∞,-2)∪(5,+∞) 找准失分点 5 M,把 x=5 代入不等式,原不等式不成立, 5a+10 有两种情况:① >0;②5a-25=0,答案中漏掉了第②种情况. 5a-25 5a+10 正解 方法一 ∵5 M,∴ >0 或 5a-25=0, 5a-25 ∴a<-2 或 a>5 或 a=5, 故填 a≥5 或 a<-2. 方法二 若 5∈M, 则 5a+10 ≤0, 5a-25

∴(a+2)(a-5)≤0 且 a≠5, ∴-2≤a<5, ∴5 M 时,a<-2 或 a≥5. 答案 (-∞,-2)∪[5,+∞) 易错点 3 充要条件判断不准 例 3 设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C,使得 A?C,B??UC”是“A∩B=?”的 ________条件. 错解 若 A?C,则?UC??UA,又 B??UC, ∴A∩B=?,故填“充要”.

找准失分点 没有理解充分条件的概念,p?q 只能得到 p 是 q 的充分条件,必要性还要检验 q?p 是否成立. 正解 若 A?C,则?UC??UA, 当 B??UC 时,可得 A∩B=?;若 A∩B=?, 不能推出 B??UC, 故填“充分不必要” 答案 充分不必要

1.(2014· 北京)已知集合 A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则 A∩B 等于( A.{0} C.{0,2} 答案 C 解析 ∵A={x|x2-2x=0}={0,2},B={0,1,2}, ∴A∩B={0,2}. B.{0,1} D.{0,1,2}

)

2.(2014· 北京)设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 解析 {an}为递增数列,则 a1>0 时,q>1;a1<0 时,0<q<1.

)

q>1 时,若 a1<0,则{an}为递减数列.故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要 条件,故选 D. 3.命题“?x∈R,x2-2x+1<0”的否定是( A.?x∈R,x2-2x+1≥0 C.?x∈R,x2-2x+1≥0 答案 C 解析 特称命题的否定为全称命题. 4.已知 p:关于 x 的函数 y=x2-3ax+4 在[1,+∞)上是增函数,q:y=(2a-1)x 为减函数, 若 p 且 q 为真命题,则 a 的取值范围是( 2 A.a≤ 3 1 2 C. <a≤ 2 3 答案 C 1 B.0<a< 2 1 D. <a<1 2 ) )

B.?x∈R,x2-2x+1>0 D.?x∈R,x2-2x+1<0

2? ?1 ? 解析 p?a∈? ?-∞,3?,q?a∈?2,1?, 1 2? ∴a∈? ?2,3?. 5.如果全集 U=R,A={x|x2-2x>0},B={x|y=ln(x-1)},则图中的阴影部分表示的集合是 ( )

A.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,2) 答案 D

B.(-∞,0]∪(1,2) D.(-∞,0)∪(1,2]

解析 由题意得 A=(-∞,0)∪(2,+∞), B=(1,+∞), 图中的阴影部分表示的集合是[A∩(?UB)]∪[(?UA)∩B],而 A∩(?UB)=(-∞,0),(?UA)∩B= (1,2],故阴影部分表示的集合是(-∞,0)∪(1,2]. 6.已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围是( A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 答案 C 解析 ∵B={x|1<x<2},∴?RB={x|x≤1,或 x≥2}, 又∵A={x|x<a},且 A∪(?RB)=R, 利用数轴易知应有 a≥2,故选 C.
? 2 y ? 7. 已知集合 U=R, A=?x|x + 4 =1?, B={y|y=x+1, x∈A}, 则(?UA)∩(?UB)=____________. ? ?
2

)

答案 (-∞,-1)∪(2,+∞) 解析 A={x|-1≤x≤1}=[-1,1],B={y|y=x+1,x∈A}=[0,2],(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)= (-∞,-1)∪(2,+∞). 8.设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q ={1,2,6},则 P+Q 中的元素有________个. 答案 8 9.设 U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点 P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是________. 答案 m>-1,n<5 10.已知条件 p:x2+2x-3>0,条件 q:x>a,且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,则 a 的取值 范围为__________. 答案 [1,+∞)

解析 由 x2+2x-3>0 可得 x>1 或 x<-3, “綈 p 是綈 q 的充分不必要条件”等价于“q 是 p 的充分不必要条件”,故 a≥1.


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