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1宿迁徐州淮阴2013届三市一模数学试题纯word带答案


精锐教育 1
参考公式:球的表面积为 S ? 4?R2 ,其中 R 表示球的半径.
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3? ,集合 A ? ?0,1? , B ? ?1, 2,3? ,则 (? U A) ? B ? ▲ .

/>2.已知 i 是虚数单位,实数 a , b 满足 (3 + 4i)(a + bi) ? 10i ,则 3a ? 4b 的值是 ▲ . 3. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人, 并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图, 现要从这 10 000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查,则月收入在 [2 500,3 000) (元)内应抽 出 ▲ 人.
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 (第 3 题图) n←n?1 月收入(元) n<2 输入 n S←0 开始

Y N
输出 S

S←S+n 结束 (第 4 题图)

4.如图是一个算法的流程图,若输入 n 的值是 10 ,则输出 S 的值是 ▲ . 5.若一个长方体的长、宽、高分别为 3 , 2 , 1 ,则它的外接球的表面积是 ▲ .

6.从 0 ,1 , 2 , 3 这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位 数为偶数的概率是 ▲ . 7.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a2 a8 ? 2a3 a6 , S5 ? ?62 ,则 a1 的值是 8.已知双曲线 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,若以 F 为圆心的圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 与此双曲线的渐近 a 2 b2 线相切,则该双曲线的离心率为 ▲ .
▲ .

9. 由命题 ?x ?R ,x2 ? 2 x ? m ≤ 0 ” “ 是假命题, 求得实数 m 的取值范围是 (a , ? ?) , 则实数 a 的值是

? x ≥ 0, 11 ? 10.已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ≥ 2 x ? 1, ( k 为常数) ,若目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ,则实数 k 的 3 ?x ? y ? k ≤0 ?
值是 ▲ .

?3x , x ? [0,1], ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 9 3 当 t ?[0,1] 时, f ( f (t )) ?[0,1] ,则实数 t 的取值范围是 ? ? x , x ? (1,3], ?2 2





12.已知角 ? 的终边经过点 P(1, ?1) ,点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) ? sin(? x + ? )(? ? 0) 图象上的任意两点,

? ? ,则 f ( ) 的值是 ▲ . 3 2 13 . 若 对 满 足 条 件 x + y + 3 ? xy ( x ? 0 , y ? 0) 的 任 意 x , y ,
若 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 时, | x1 ? x2 | 的最小值为 E
第 1 页( 共 13 页)

A M N

F

B

C

(第 14 题图)

( x + y)2 ? a( x + y ) + 1≥ 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是





??? ? ??? ? 14.如图,在等腰三角形 ABC 中,已知 AB ? AC ? 1 , A ? 120? , E , F 分别是边 AB, AC 上的点,且 AE ? mAB ,
???? ? ??? ? ???? 其中 m, n ? ? 0,1? . EF , 的中点分别为 M , , m ? 4n ? 1 , MN 的最小值为 若 则 AF ? n AC , BC N 且
二、解答题: 本大题共 6 小题, 15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分. 15.在 △ABC 中,已知 (sin A ? sin B ? sin C)(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C . ⑴ 求角 A 的值;⑵ 求 3 sin B ? cos C 的最大值. ▲ .

16. 如图, 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 已知平面 AA1C1C ? 平面 ABCD , AB ? BC ? CA ? 3 ,AD ? CD ? 1 . 且 ⑴ 求证: BD ? AA1 ;⑵ 若 E 为棱 BC 的中点,求证: AE ? 平面 DCC1 D1 . A1 D1 B1 C1

D A B
(第 16 题图)

C E

第 2 页( 共 13 页)

17. 如图, 两座建筑物 AB ,CD 的底部都在同一个水平面上, 且均与水平面垂直, 它们的高度分别是 9m 和 15m , 从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角 ?CAD ? 45? . D ⑴ 求 BC 的长度; ⑵ 在线段 BC 上取一点 P (点 P 与点 B , C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物 的张角分别为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? ,问点 P 在何处时, ? ? ? 最小? A

?
B P

?
C
(第 17 题图)

第 3 页( 共 13 页)

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :

6 x2 y 2 ). ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 ,且过点 ( 2, 2 2 a b

⑴ 求椭圆 E 的方程; ⑵ 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A , B 的任 意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k1 ,直线 BP 的斜率为 k 2 ,证明: k1 ? k 2 为定值; y M (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m ,证明:直线 m 过定点,并求出定点的坐标. P

A O m
(第 18 题图)

B x l

第 4 页( 共 13 页)

19.已知函数 f ? x ? ? a x ? x 2 ? x ln a ? a ? 0, a ? 1? . ⑴ 求函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; ⑵ 求函数 f ? x ? 单调增区间; ⑶ 若存在 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ≥ e ? 1 ( e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围.

第 5 页( 共 13 页)

20 . 已 知 a ? 0 , b ? 0 , 且 a ? b ? 0 , 令 a1 ? a , b1 ? b , 且 对 任 意 的 正 整 数 k , 当 ak ? bk ≥ 0 时 ,

a k ?1 ?

1 1 3 1 1 3 a k ? bk , bk ?1 ? bk ;当 a k ? bk ? 0 时, bk ?1 ? ? a k ? bk , a k ?1 ? a k . 2 4 4 4 2 4

⑴ 求数列 {an ? bn } 的通项公式;

⑵ 若对任意的正整数 n , an ? bn ? 0 恒成立,问是否存在 a , b 使得 ?bn ? 为等比数列?若存在,求出 a , b 满足的条件;若不存在,说明理由;

3 ⑶ 若对任意的正整数 n , an ? bn ? 0 ,且 b2 n ? b2 n ?1 ,求数列 ?bn ?的通项公式. 4

第 6 页( 共 13 页)

数学Ⅱ

附加题部分

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ....... A.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分)如图, AB 是 ? O 的一条切线,切 点为 B , 直线 ADE ,CFD ,CGE 都是 ? O 的割线, 已知 AC ? AB . 求证:FG ? AC . G F O B.选修:4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) E B
(第 21-A 题图)

C

D

A

?a 若圆 C : x2 + y 2 ? 1 在矩阵 A ? ? ?0

0? (a ? 0 , b ? 0) 对应的变换下变成椭圆 E : b? ?

x2 y 2 + ? 1 ,求矩阵 A 的逆矩阵 A?1 . 4 3

C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) ? ?x ? ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?

2 ? r cos ? , 2 ( ? 为参数, r ? 0 ) .以 O 为极点, x 轴 2 ? r sin ? 2 ? 正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1 . 若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 4 3 ,求 r 的值.

D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知实数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? 2 ,求 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值.

第 7 页( 共 13 页)

y 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. 如图,已 知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的 焦点为 F , 过 F 的直线 l 与抛 物线 C 交 于

A

A( x1 , y1 ) ( y1 ? 0 ), B( x2 , y2 ) 两点, T 为抛物线的准线与 x 轴的交点.

T O F B x

??? ??? ⑴ 若 TA? ? 1 ,求直线 l 的斜率;⑵ 求 ?ATF 的最大值. TB

(第 22 题图)

23.已知数列 {an } 满足 an?1 ?

1 2 1 an ? nan ? 1 (n ?N* ) ,且 a1 ? 3 . 2 2

n ⑴ 计算 a2 , a3 , a4 的值,由此猜想数列 {an } 的通项公式,并给出证明;⑵ 求证:当 n≥ 2 时, an ≥ 4nn .

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参考答案与评分标准

数学Ⅰ部分
一、填空题 1. {2,3} 8. 2. 0 3. 25 4. 54 5. 6? 6.

5 9

7. ?2

3 5 2 7 7 37 9. 1 10. ?3 11. [log3 ,1] 12. ? 13. (??, ] 14. 5 2 7 3 6 二、解答题 15.⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C)(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C , 由正弦定理,得 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,???????????????????2 分
所以 b2 ? c2 ? a2 ? bc ,所以 cos A ? 因为 A? (0, ?) ,所以 A ?

? .?????????????????????????6 分 3 ? 2? 2? ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3 sin B ? cos C ? 3 sin B ? cos( ? B) 3 3 3 ? 1 3 ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) ,????????????????10 分 2 2 6 2? ? ? ?? 因为 0 ? B ? ,所以 ? B + ? ,????????????????????12 分 3 6 6 6 ? ? ? 当 B + ? ,即 B ? 时, 3 sin B ? cos C 的最大值为 1 . ???????????14 分 3 6 2 16.⑴在四边形 ABCD 中,因为 BA ? BC , DA ? DC ,所以 BD ? AC ,??????2 分
又因平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ,且平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ? AC ,

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,????????????????4 分 2bc 2

BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 AA1C1C ,?????????????????4 分
又因为 AA1 ? 平面 AA1C1C ,所以 BD ? AA1 .??????????????????7 分 ⑵在三角形 ABC 中,因为 AB ? AC ,且 E 为 BC 中点,所以 AE ? BC ,?????9 分 又因为在四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CA ? 3 , DA ? DC ? 1 , 所以 ?ACB ? 60? , ?ACD ? 30? ,所以 DC ? BC ,所以 AE ? DC , ??????12 分 因为 DC ? 平面 DCC1 D1 , AE ? 平面 DCC1 D1 ,所以 AE ? 平面 DCC1 D1 .???14 分 17.⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x , 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE ) ?

tan ?CAE + tan ?DAE ?????????2 分 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

9 6 + x x ? 1 ,化简得 x2 ? 15x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) ? 9 6 1? ? x x
答: BC 的长度为 18m .??????????????????????????6 分 ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,

第 9 页( 共 13 页)

9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) tan(? + ? ) ? t 18 ? t ? 2 ? 2 .???????????8 分 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t
设 f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t , f ?(t ) ? 2 ,令 f ?(t ) ? 0 ,因为 0 ? t ? 18 ,得 t ? 15 6 ? 27 , (t ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135

当 t ? (0,15 6 ? 27) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数;当 t ? (15 6,18) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函数, 所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值,?????12 分

? 因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 ,所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) , 2 ? 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最小值. 2
答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值. ??????????????14 分 18.⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又

2 3 + 2 ? 1 ,???????????????2 分 2 a 2b 1 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b 2 ? ? (舍去) ,则 a 2 ? 4 , 2 x2 y 2 所以椭圆 E 的方程为 ? ? 1 .??????????????????????4 分 4 3 y y ⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ? 0 , k2 ? 1 , x1 ? 2 2
因为 A , P , M 三点共线,所以 y0 ? 因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 , 所以, k1k2 ? ,???8 分 ? 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4) x1 ? 2

4 y12 3 3 ? ? 为定值.????10 分 (4 ? x12 ) , 所以 k1k2 ? 2 2( x1 ? 4) 2 4 y 2 ? x1 (ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ? 1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1 2 ? x1 则直线 m 的方程为 y ? y0 ? ( x ? 2) ,???????????????????12 分 y1

y?
=

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 = x? ( x ? 2) ? y0 ? x? ? y1 ( x1 ? 2) y1 y1 y1 y1 x1 ? 2

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 = = x? x? ( x ? 1) , y1 ( x1 ? 2) y1 y1 y1 y1 所以直线 m 过定点 (?1,0) . ????????????????????????16 分
19.⑴因为函数 f ( x) ? a x + x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) , 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a , f ?(0) ? 0 ,???????????????????2 分 又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . ???????4 分 ⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + ( a x ?1)ln a . 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数, ???????????????8 分

第 10 页( 共 13 页)

又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) ,故函数 f ( x) 单调增区间为 (0, +?) .?????10 分 ⑶ 因 为 存 在 x1 , x2 ?[?1,1] , 使 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成 立 , 而 当 x ?[?1,1] 时 ,

f ( 1x ? )

f (2 ≤ ) x

f ? ax) x ( m

f ( m x) n ,所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1即可.?????????12 分 i

又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x
f ?( x)

(??,0)

0
0
极小值

(0, +?)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0.1] 上是增函数, 所以当 x ?[?1,1] 时, f ? x ? 的最小值 f ? x ?min ? f ? 0 ? ? 1 , f ? x ? 的最大值 f ? x ? max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 1 因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? ? 2ln a , a a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ≥ 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数.而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; a
当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) .?????????????????14 分 所以,当 a ? 1 时,由 f (1) ? f (0) ≥ e ? 1,解得 a≥ e ;

1 当 0 ? a ? 1 时,由 f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,解得 0 ? a ≤ . e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? (0, ] ? [e, +?) .??????????????16 分 e 1 1 3 1 1 3 1 20.⑴当 an ? bn ≥ 0 时, an ?1 ? an ? bn 且 bn ?1 ? bn ,所以 an ?1 ? bn ?1 ? an ? bn ? bn ? (an ? bn ) ,?2 分 2 4 4 2 4 4 2 1 1 3 3 1 1 1 又当 an ? bn ? 0 时, bn ?1 ? ? an ? bn 且 an ?1 ? an , an ?1 ? bn ?1 ? an ? an ? bn ? (an ? bn ) ,???4 分 4 2 4 4 4 2 2
1 ?1? 因此,数列 ?a n ? bn ?是以 a ? b 为首项, 为公比的等比数列,所以, a n ? bn ? ( a ? b) ? ? 2 ?2?
⑵因为 an ? bn ? 0 ,所以 a n ?1
n ?1

.??5 分

3 ?3? ? a n ,所以 an ? a ? ? 4 ?4?
n ?1

n ?1



?1? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

?1? ? an ? (a ? b) ? ? ?2?

?3? ? a? ? ?4?

n ?1

,???????????????8 分

假设存在 a , b ,使得 ?bn ?能构成等比数列,则 b1 ? b , b2 ? 故(

2b ? a 2 4b ? 5a ) ?( )b ,化简得 a ? b ? 0 ,与题中 a ? b ? 0 矛盾, 4 16 故不存在 a , b 使得 ?bn ? 为等比数列. ????????????????????10 分
⑶因为 an + bn ? 0 且 b2 n ?

2b ? a 4b ? 5a , b3 ? , 4 16

3 1 1 b2 n ?1 ,所以 b2 n ? ? a 2 n ?1 ? b2 n ?1 4 4 2
第 11 页( 共 13 页)

所以

3 1 1 1 3 1 3 1 b2 n ?1 ? ? a2n?1 ? b2 n?1 ? ? a2 n?1 ? b2 n?1 ? b2 n?1 所以 (b2n?1 ? b2 n?1 ) ? ? (a2 n?1 ? b2 n?1 ) ,??12 分 4 2 4 4 4 4 4 4
2n?2

?1? 由⑴知, a2 n ?1 ? b2 n ?1 ? (a ? b) ? ? ?2?

,所以 b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? ?

a?b?1? ? ? 3 ?2?

2n?2

b2 n ?1 ? b1 ? (b3 ? b1 ) ? ?(b2 n ?1 ? b2 n?3 )
?b? a?b? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ?
2 4 6 2n?4

? ? 1 ? n ?1 ? n ?1 ?1 ? ? ? a?b? ?4? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? ? ? ? ?b? ?13 分 ? ?b? ?1 ? ? ? ? , 3 ? 1? 1 ? 9 ? ? ?4? ? ? ? ? ? 4 ? ? ?
n ?1 ? ? ? ?b ? 4(a ? b) ?1 ? ? 1 ? 2 ? , n为奇数时, ? ? ?4? ? 9 ? ? ? ? ? 所以, bn ? ? ??16 分 n ? 3 (a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? b? ? , n为偶数时. 4 3 ? ?4? ? ? ? ? ?

n 3 3 ( a ? b) ? ? 1 ? ? b2 n ? b2 n ?1 ? b ? ?1 ? ? ? ? ,??14 分 4 4 3 ? ?4? ? ? ?

数学Ⅱ部分
21.A.选修 4-1:几何证明选讲 因为 AB 为切线, AE 为割线,所以 AB2 ? AD ? AE ,又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC 2 .????4 分 AD AC ? 所以, ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ ADC ∽ △ACE ,所以 ?ADC ? ?ACE , AC AE 又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE ,所以 GF ? AC .??????????????10 分 B.选修 4-2:矩阵与变换设点 P( x, y) 为圆 C: x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,经过矩阵 A 变换后对应点为 P?( x?, y?) ,

? x? ? ax, ? a 0 ? ? x ? ? ax ? ? x? ? 则? ???????????????????2 分 ? ? y ? ? ?by ? ? ? y ?? ,所以 ? y ? ? by . ?0 b? ? ? ? ? ? ? ?
因为点 P?( x?, y?) 在椭圆 E :

x2 y 2 a 2 x2 b2 y 2 + ? 1 上,所以 + ? 1 ,?????????4 分 4 3 4 3

? a2 ? ? 1, ? a 2 ? 4, ? ?4 2 2 又圆方程为 x ? y ? 1 ,所以 ? 2 ,即 ? 2 ,因为 a ? 0 , b ? 0 ,所以 a ? 2 , b ? 3 . ?b ? 3, ? ? b ? 1, ?3 ? ?1 ?2 所以 A?1 ? ? ? ?0 ? ? 0 ? ? .????????10 分 3? 3 ? ?

?2 所以 A ? ? ?0

0 ? ? ,????????6 分 3?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程

? ?x ? ? ? 因为圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
2 2

2 ? r cos ? , 2 ( ? 为参数, r ? 0 ) ,消去参数得, 2 ? r sin ? 2

? ? 2? ? 2? 2 2? 2 ,? ?x? ? ?? y? ? ? r ? r ? 0 ? ,所以圆心 C ? ? ? ,半径为 r ,????3 分 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ?
第 12 页( 共 13 页)

? 因为直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1 ,化为普通方程为 x ? y ? 2 ,?????6 分 4
?
圆心 C 到直线 x ? y ? 2 的距离为 d ?

2 2 ? ? 2 2 2 2

? 2 ,???????????8 分

又因为圆 C 上点到直线 l 的最大距离为 3,所以 d ? r ? 3 ,即 r ? 3 ? 2 ? 1.?????10 分 D.选修 4-5:不等式选讲

1 ? 1 ? 由柯西不等式, ( x ? y ? z )2 ≤ ?( 2 x) 2 ? ( 3 y ) 2 ? z 2 ? ? ?( ) 2 ? ( ) 2 ? 12 ? ,????5 分 ? ? ? 2 3 ?
因为 x + y + z ? 2 , 所以 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ≥

2x 3y z 24 6 4 1 2 , 当且仅当 即 ? ? , x ? , y ? , z ? 时等号成立, 1 1 1 11 11 11 11 2 3

所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 取得最小值为

24 .?????????????????????10 分 11

22.⑴因为抛物线 y 2 ? 4 x 焦点为 F ?1,0 ? , T (?1,0) .

??? ??? ??? ??? 当 l ? x 轴时, A(1,2) , B(1, ?2) ,此时 TA? ? 0 ,与 TA? ? 1 矛盾,???????2 分 TB TB
所以设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 k 2 x 2 ? (2k 2 + 4) x + k 2 ? 0 , (*) 则 x1 + x2 ?

2k 2 + 4 , x1 x2 ? 1 ,① k2

2 所以 y12 y2 ? 16 x1 x2 ? 16 ,所以 y1 y2 ? ?4 ,②?????4 分

??? ??? 因为 TA? ? 1 ,所以 ( x1 + 1)( x2 + 1) + y1 y2 ? 1 ,将①②代入并整理得, k 2 ? 4 ,所以 k ? ?2 .?????6 分 TB

y1 y 1 ≤1 , ? 21 ? y1 1 x1 ? 1 y1 ? ?1 4 y1 4 ? ? 所以 ?ATF ≤ ,所以 ?ATF 的最大值为 .???????????????????10 分 4 4
⑵因为 y1 ? 0 ,所以 tan ?ATF ? 23.⑴ a2 ? 4 , a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* ) .?????????2 分 ①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,结论成立; ②假设当 n ? k (k ≥1) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 , 则当 n ? k + 1 时, ak ?1 ?

1 2 1 1 1 ak ? kak ? 1= (k + 2)2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 , 2 2 2 2

即当 n ? k + 1 时,结论也成立,由①②可知,数列 {an } 的通项公式为 an ? n + 2(n ? N* ) .??????5 分

2 ⑵原不等式等价于 (1 + )n ≥ 4 .证明:显然,当 n ? 2 时,等号成立; n 2 n 2 2 2 2 2 2 n 2 当 n ? 2 时, (1 ? ) ? C0 ? C1 ? Cn ( )2 ? ? ? Cn ( )n ≥ C0 ? C1 ? C2 ( )2 ? C3 ( )3 n n n n n n n n n n n n n 2 2 n 2 2 > C0 ? C1 ? Cn ( )2 ? 5 ? ? 4 ,综上所述,当 n≥ 2 时, an ≥ 4nn .?????????????10 分 n n n n n

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