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高2015届高二上数学寒假作业及答案(一)


高 2015 届高二上数学寒假作业(一)
一、选择题: 1.下列问题中,最适合用系统抽样抽取样本的是( ) A.从 10 名学生中,随机抽取 2 名参加义务劳动; B.从全校 3000 名学生中,随机抽取 100 名参加义务劳动;C.从某市 30000 名学生中,其中小学生 14000 人,初中生 10000 人,高中 生 6000 人,抽取 300 名了解该市学生的近视情况;D.从某班周二值日小组 6 人中,随机抽取 1 人擦黑板 2.某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 3.三棱锥 A ? BCD 中, ?ABC 和 ?DBC 是全等的正三角形,边长为 2,且 AD ? 1 ,则三棱锥 A ? BCD 的体积为( )

9. 如图,用一边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢, 将表面积为 4? 的鸡蛋(视为球体)放入其中,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( ) A.

2 1 ? 2 2

B.

6 1 ? 2 2

C.

3 2

D.

3 1 ? 2 2

10.平面四边形 ABCD 中,AD=AB= 2 ,CD=CB= 5 ,且 AD ? AB ,现将 ?ABD 沿着对角线 BD 翻折成 ?A/ BD ,则在 ?A/ BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中,直线 A/ C 与平面 BCD 所 成的最大角的正切值为( ) A1 B

1 2

C

3 3

D

3

11 11 11 2 3 B. C. D. 2 6 3 3 D B 4.已知一个 k 进制数 132 与十进制数 30 相等,那么 k 等于( ) A.7 或 4 B.-7 C.4 D.都不对 C 5.给出下列四个命题: ①若直线 l ? 平面 ? , l // 平面 ? ,则 ? ? ? ; ②若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? //? ; ③若一个二面角的两个半平面所在的平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在的平 面,则这两个二面角的平面角相等或互补; ④过空间中任意一点一定可以作一个和两条异面直线都平行的平面。 其中正确命题的个数有( ) A.1 B .2 C.3 D.4 2 y 2 2 6. 已知椭圆 x + =a (a>0)与以 A(2,1),B(4,3)为端点的线段没有公共点,则 a 的取值范围 2 3 2 3 2 82 1 3 2 82 是( ) A.0<a< B.0<a< 或 a> C.0<a< D. <a< 2 2 2 3 2 2 7.给出下列程序,此程序的功能为 ( ) A.求点到直线的距离 B.求两点之间的距离 C.求一个多项式函数的值 D.求输入的值的平方和 8.如图是一个空间几何体的三视图,该几何体的外接球的体积记为 V1 ,俯视图绕长度为 2 的 V 边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为 V2 ,则 1 ? ( ) V2
A. A. 12 2 B. 8 2 C. 6 2 D. 4 2

A

二、填空题: 11.某校开展“爱我成都,爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作 品 A 给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最 低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶 图中的 x)无法看清,若记分员计算无误,则数字 x 应该是________. 12.已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C → → 上一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. 19 13. 下图给出的是计算 1+2+4+?+2 的值的一个程序框图, 则其中判 断框内应填入的是 14 已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,M 为 AC 的中点,P 在线段 DM 上, 则 ( AP ? BP) 的最小值为_____________; 15. 已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AC1 与平面 A1 BD , CB1 D1 交于
2

x2 y2 a b

E , F 两点。给出以下命题,其中真命题有________(写出所有正确命题
的序号) ①点 E , F 为线段 AC 1 的两个三等分点;

???? ? ? 1 ???? ? 2 ???? 1 ??? ② ED1 ? ? DC ? AD ? AA1 ; 3 3 3 ③设 A1 D1 中点为 M , CD 的中点为 N ,则直线 MN 与面 A1 DB 有
一个交点; ④ E 为 ?A1 BD 的内心;⑤设 K 为 ?B1CD1 的外心,则 VK ? BED ? 1 . VA1 ? BFD 3 三、解答题: 16.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

D1 A1 D A E F B1 C B

C1

2 2 正视图 2 2 俯视图 2

2 1 侧视图

第7题

第8题

第9题

1

17.将 4 个新转入的学生分到高二的 4 个指定的班,每班分入的人数不限. (1)求这 4 个班各分到 1 个新生的概率; (2)求至少有 1 个班未分到新生的概率; (3)求其中恰有 1 个班未分到新生的概率.

18.命题 p:关于 x 的不等式 x +2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,命题 q:指数函数 f(x)=(3 x -2a) 是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

2

20.从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被测学生身高全部介 于 155 cm 和 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成 八组:第一组[155,160);第二组 [160,165);?;第八 组[190,195],上图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、 第七组、第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (2) 求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方 图; (3) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽 取两名男生,记他们的身高分别为 x、y,求满足|x-y| ≤5 的事件概率.

→ → → → 21.已知两点 M(-1,0)、N(1,0),动点 P(x,y)满足|MN|·|NP|-MN·MP=0, (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; 19.如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PG ? 平面 ABCD ,垂足为 G , G 1 在 AD 上且 AG ? GD , BG ? GC , GB ? GC ? 2 , E 是 BC 的中点,四面体 P ? BCG 的体 3 积为 . (1)求二面角 P ? BC ? D 的正切值; (2)求直线 DP 到平面 PBG 所成角的正弦值; (3)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使异面直线 DF 与 GC 所成的角为 600 ,若存在,确定点 F 的位置,若不存在,说明理由.

1 1 → → ????? ? ???? (2)假设 P1、 P2 是轨迹 C 上的两个不同点, F(1,0), λ∈R, FP1=λFP2, 求证: ? ?1 FP1 FP 2

8 3

22.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD= 2 , ?CDA ? 45? . (I)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (II)设 AB=AP. (i) 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30? , 求线段 AB 的长; (ii)在线段 AD 上是否存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等?说明理由.

2

高 2015 届高二上数学寒假作业(一)答案
1.B. 2.D 3.B. 4.C 5.A. 6.B 7.B. 8.D 9.D. 10.C.

? ?-2<a<2, (1)若 p 真 q 假,则? ?a≥1, ?

∴1≤a<2. ∴a≤-2.

6 15.①⑤ 3 16.解: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 2 2 2 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角 坐标系 D- xyz ,则
11.1 12.3 13.i≥20? 14. 1 ?

(2)若 p 假 q 真,则?

? ?a≤-2或a≥2, ?a<1, ?

综上可知,所求实数 a 的取值范围为{a|1≤a<2 或 a≤-2}. 19.解: (1)由四面体 P ? BCG 的体积为 . 设二面角 P ? BC ? D 的大小为 ? ∴ GE ? BC 同理 PE ? BC

A ?1, 0, 0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0, 0,1? 。 uu u v uuv uuu v AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0)

?

? ?

?

8 ∴ PG ? 4 3 E 为中点, ? GB ? GC ? 2 ∴ ?PEG ? ?

∴ tan ? ? 2 2 (2)由 GB ? GC ? 2 ∴ ?BGC 为等腰三角形,GE 为 ?BGC 的角平分线,作 DK ? BG 交 BG 的延长线于 K,∴ DK ? 面BPG 由平面几何知识可知: DK ? GK ? 设直线 DP 与平面 PBG 所成角为 ? ∴ sin ? ?

设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 即

{

uuu r n ? AB ? 0, uu u r n ? PB ? 0,

3 2

PD ?

41 2

?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

DK 3 82 ? DP 82

因此可取 n= ( 3,1, 3)

(法二:建系) (3)? GB, GC , GP 两两垂直,分别以 GB, GC , GP 为 x, y, z 轴建立坐标系 假设 F 存在且设 F (0, y,4 ? 2 y )(0 ? y ? 2)

设平面 PBC 的法向量为 m,则

{

uu u r m? PB ? 0, uuu r m? BC ? 0, 可取 m=(0,-1, ? 3 )

cos m, n ?

?4 2 7 ?? 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 7 2 7
4
4 4

?

2 7 7

17.解:将 4 个新生分到 4 个指定班的所有不同分法数为 4 .
4 A4 3 (1)每班各分到 1 个新生的分法数为 A ,故所求概率为 4 ? . 4 32

??? ? 3 3 , 4 ? 2 y ), GC ? (0, 2, 0), 2 ???? 2 ??? ? | DF ? GC | | 2y ? 3| 1 0 ? ? ???? ??? ? ? ∴ cos 60 ? ???? ??? | DF || GC | | DF || GC | 2
∴ DF ? ( , y ?

????

3 3 ? D( ? , , 0), G(0, 0, 0), C (0, 2, 0) 2 2
又直线 DF 与 GC 所成的角为 600 化简得: y ? 7 y ?
2

23 ?0 2

y?

7? 3 不满足 0 ? y ? 2 ∴这样的点不存在 2

(2)“至少有 1 个班未分到新生”是“这 4 个班各分到 1 个新生”的对立事件,故由(1)可 得所求概率为 1 ?

3 29 . ? 32 32
2

(3)恰有 1 个班未分到新生,则另 3 个班中必有 1 个班分到 2 个新生,其余 2 个班各分到 1 个新 生,不同分法数为 C4 ? 4! (先将 4 个人按 1+1+2+0 分成 4 组,再将分好的每个组配给 1 个班),故 所求概率为

4 ? C32 ? 2 ? 3! 9 ? . 44 16
2 2

18. 解 设 g(x)=x +2ax+4,由于关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,所以 函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点, 2 故 Δ=4a -16<0, ∴-2<a<2. x 函数 f(x)=(3-2a) 是增函数,则有 3-2a>1,即 a<1. 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假.

20.解: (1)由频率分布直方图知,前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5= 0.82, 后三组频率为 1-0.82=0.18,人数为 0.18×50=9(人), 这所学校高三男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18=144(人). (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04,人数为 0.04× 50=2(人), 设第六组人数为 m,则第七组人数为 9-2-m=7-m,又 m+2=2(7-m), 所以 m=4, 即第六组人数为 4 人,第七组人数为 3 人,频率分别为 0.08,0.06. 频率除以组距分别等于 0.016,0.012,见图. (3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为 4 人,设为 a,b,c,d.身高在 [190,195]的人数为 2 人,设为 A,B. 若 x,y∈[180,185)时,有 ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 6 种情况. 若 x,y∈[190,195]时,有 AB 共 1 种情况. 若 x,y 分别在[180,185),[190,195]内时,有 aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB 共 8 种
3

情况. 所以基本事件的总数为 6+8+1=15(种).事件|x-y|≤5 所包含的基本事件个数有 6+1= 7 7(种),故 P(|x-y|≤5)= 15

→ → 21.解 (1)| MN |=2,则MP=(x+1,y), → NP=(x-1,y). → → → → 由| MN |·|NP|- MN ·MP=0, 2 2 则 2 ? x-1? +y -2(x+1)=0, 2 化简整理得 y =4x. → → (2)由FP1=λ·FP2,得 F、P1、P2 三点共线, 设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),斜率存在时,直线 P1P2 的方程为:y=k(x-1) 2 2 2 2 2 代入 y =4x 得:k x -2(k +2)x+k =0. 2 2k +4 则 x1x2=1,x1+x2= 2 .
k

??? ? PB ? (t , 0, ?t ) ,故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30? ,得 又 ??? ? n ? PB | 2t 2 ? 4t | 1 ??? ? |, 即 cos 60? ?| ? , | n | ? | PB | t 2 ? t 2 ? (4 ? t ) 2 ? 2 x 2 2

4 4 t ? 或t ? 4 AB ? . 5 5 解得 (舍去,因为 AD ? 4 ? t ? 0 ) ,所以
(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的 距离都相等, 设 G(0,m,0) (其中 0 ? m ? 4 ? t )

??? ? ???? ??? ? GC ? (1,3 ? t ? m , 0), GD ? (0, 4 ? t ? m , 0), GP ? (0, ?m, t ) , 则 ???? ???? 2 2 2 由 | GC |?| GD | 得 (4 ? t ? m) ? m ? t , (2)
由(1) 、 (2)消去 t,化简得 m ? 3m ? 4 ? 0 (3) 由于方程(3)没有实数根,所以在线段 AD 上不存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,C,D 的距离都相等。 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等。 解法二: (I)同解法一。 (II) (i)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A—xyz(如图) 在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于 E,
2

∴ =



1

x1+1 x2+1



1

x1+x2+2 =1. x1x2+? x1+x2? +1 当 P1P2 垂直 x 轴时,结论照样成立.
22.解法一: ( I ) 因 为 PA ? 平 面 ABCD , AC ? 平 面 ABCD , 所 以

则 CE ? AD 。

在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于点 E,则 CE ? AD. 在 Rt ?CDE 中,DE= CD ? cos 45? ? 1 , 由 AB+AD=4,得 AD=4-t,所以

PA ? AB ,又 AB ? AD, PA ? AD ? A, 所以 AB ? 平面 PAD。 又 AB ? 平面 PAB, 所以平面 PAB ?
在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于点 E,则 CE ? AD. 在

CE ? CD ? sin 45? ? 1, 设 AB=AP=t,则 B(t,0,0) ,P(0,0,t)

平面 PAD。 (II) 以 A 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 A—xyz (如图)

Rt ?CDE 中 , CE ? CD ? sin 45? ? 1,

DE=

CD ? cos 45? ? 1



E(0,3 ? t ,0), C (1,3 ? t ,0), D(0, 4 ? t,0) , ??? ? ??? ? CD ? (?1,1, 0), PD ? (0, 4 ? t , ?t ). ??? ? ??? ? n ? ( x , y , z ) n ? CD n ? PD 设平面 PCD 的法向量为 ,由 , ,

设 AB=AP=t,则 B(t,0,0) ,P(0,0,t) 由 AB+AD=4 , 得 AD=4-t ,





? ? x ? y ? 0, ? (4 ? t ) y ? tx ? 0. 得?

E(0,3 ? t ,0), C (1,3 ? t ,0), D(0, 4 ? t,0) , ??? ? ??? ? CD ? (?1,1, 0), PD ? (0, 4 ? t , ?t ). (i)设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? ? x ? y ? 0, ??? ? ??? ? ? (4 ? t ) y ? tx ? 0. 由 n ? CD , n ? PD ,得 ? 取 x ? t ,得平面 PCD 的一个法向量 n ? {t , t , 4 ? t} ,
4

??? ? P B ?t (, 0 , t )? , n ? { t , t , 4 ? t } x ? t 取 , 得平面 PCD 的一个法向量 , 又 故由直线 PB 与平面 PCD ??? ? 2 n ? PB | 2t ? 4t | 1 ??? ? |, 即 cos 60? ?| ? , | n | ? | PB | t 2 ? t 2 ? (4 ? t ) 2 ? 2 x 2 2 所成的角为 30? ,得 4 4 t ? 或t ? 4 AB ? . 5 5 解得 (舍去,因为 AD ? 4 ? t ? 0 ) ,所以
(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等,

? GD ? CD ? sin 45? ? 1, 设 AB ? ? , 则AD=4-?,

由 GC=CD,得 ?GCD ? ?GDC ? 45? ,从而 ?CGD ? 90? ,即 CG ? AD,
2 2 2 2 AG ? AD ? GD ? 3 ? ? ,在 Rt ?ABG 中, GB ? AB ? AG ? ? ? (3 ? ? )

3 9 ? 2(? ? ) 2 ? ? 1, 2 2 这与 GB=GD 矛盾。
所以在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 B,C,D 的距离都相 等, 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离 都相等。

5


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