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【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第二章 平面向量 2.4.1 课时作业


2.4.1

§2.4 平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及其含义

课时目标 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平 面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律.

1.平面向量数量积 (1)定义: 已知两个非零向量 a 与 b, 我们把数量______________叫做 a 与 b 的数量积(或内积), 记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. (2)规定:零向量与任一向量的数量积为____. (3)投影:设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ,则向量 a 在 b 方向的投影是____________,向量 b 在 a 方向上的投影是______________. 2.数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影________________的乘 积. 3.向量数量积的运算律 (1)a· b=________(交换律); (2)(λa)· b=________=________(结合律); (3)(a+b)· c=______________________(分配律).

一、选择题 1.|a|=2,|b|=4,向量 a 与向量 b 的夹角为 120° ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于( ) A.-3 B.-2 C.2 D.-1 2.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λa-b 垂直,则 λ 等于( ) 3 3 3 A. B.- C.± D.1 2 2 2 3.已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|等于( ) A.0 B.2 2 C.4 D.8 → → → 4.在边长为 1 的等边△ABC 中,设BC=a,CA=b,AB=c,则 a· b+b· c+c· a 等于( ) 3 3 A.- B.0 C. D.3 2 2 5.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)· b=0,则 a 与 b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 6.若向量 a 与 b 的夹角为 60° ,|b|=4,(a+2b)· (a-3b)=-72,则向量 a 的模为( ) A.2 B.4 C.6 D.12 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ,且|a|=|b|=4,那么 b· (2a+b)的值为________. 8.给出下列结论: ①若 a≠0,a· b=0,则 b=0;②若 a· b=b· c,则 a=c;③(a· b)c=a(b· c);④a· [b(a· c)-c(a· b)] =0. 其中正确结论的序号是________. 9.设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=________. 10.已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b· (a-b)=0,则|b|的取值范围是________.

三、解答题 11.已知|a|=4,|b|=3,当(1)a∥b;(2)a⊥b; (3)a 与 b 的夹角为 60° 时,分别求 a 与 b 的数量积.

π 12.已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为 ,求|a+b|,|a-b|. 3

能力提升 13.已知|a|=1,|b|=1,a,b 的夹角为 120° ,计算向量 2a-b 在向量 a+b 方向上的投影.

14.设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是 60° ,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角.

1. 两向量 a 与 b 的数量积是一个实数, 不是一个向量, 其值可以为正(当 a≠0, b≠0,0° ≤θ<90° 时),也可以为负(当 a≠0,b≠0,90° <θ≤180° 时),还可以为 0(当 a=0 或 b=0 或 θ=90° 时). 2.数量积对结合律一般不成立,因为(a· b)· c=|a||b|· cos〈a,b〉· c 是一个与 c 共线的向量,而 (a· c)· b=|a|· |c|cos〈a,c〉· b 是一个与 b 共线的向量,两者一般不同. 3.向量 b 在 a 上的射影不是向量而是数量,它的符号取决于 θ 角,注意 a 在 b 方向上的射影 与 b 在 a 方向上的射影是不同的,应结合图形加以区分.

2.4.1

§2.4 平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及其含义 答案

知识梳理 1.(1)|a||b|cos θ (2)0 (3)|a|cos θ |b|cos θ 2.|b|cos θ 3.(1)b· a (2)λ(a· b) a· (λb) (3)a· c+b· c 作业设计 1.D [a 在 b 方向上的投影是 |a|cos θ=2×cos 120° =-1.] 2.A [∵(3a+2b)· (λa-b)=3λa2+(2λ-3)a· b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0. 3 ∴λ= .] 2 3.B [|2a-b|2=(2a-b)2=4|a|2-4a· b+|b|2=4×1-4×0+4=8,∴|2a-b|=2 2.] 1 1 1 → → → → → → 4.A [a· b=BC· CA=-CB· CA=-|CB||CA|cos 60° =- .同理 b· c=- ,c· a=- , 2 2 2 3 ∴a· b+b· c+c· a=- .] 2 5.C [由(2a+b)· b=0,得 2a· b+b2=0, 设 a 与 b 的夹角为 θ, ∴2|a||b|cos θ+|b|2=0. |b|2 |b|2 1 ∴cos θ=- =- 2=- ,∴θ=120° .] 2|a||b| 2|b| 2 6.C [∵a· b=|a|· |b|· cos 60° =2|a|, 2 ∴(a+2b)· (a-3b)=|a| -6|b|2-a· b=|a|2-2|a|-96=-72. ∴|a|=6.] 7.0 解析 b· (2a+b)=2a· b+|b|2 =2×4×4×cos 120° +42=0. 8.④ 解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时,a· b=0,故①不正确; 当 a=0,b⊥c 时,a· b=b· c=0,但不能得出 a=c,故②不正确;向量(a· b)c 与 c 共线,a(b· c) 与 a 共线,故③不正确; ④正确,a· [b(a· c)-c(a· b)] =(a· b)(a· c)-(a· c)(a· b)=0. 9.120° 解析 ∵a+b=c,∴|c|2=|a+b|2=a2+2a· b+b2. 又|a|=|b|=|c|,∴2a· b=-b2, 即 2|a||b|cos〈a,b〉=-|b|2. 1 ∴cos〈a,b〉=- , 2 ∴〈a,b〉=120° . 10.[0,1] 解析 b· (a-b)=a· b-|b|2=|a||b|cos θ-|b|2=0, ∴|b|=|a|cos θ=cos θ (θ 为 a 与 b 的夹角),θ∈[0,π], ∴0≤|b|≤1. 11.解 (1)当 a∥b 时,若 a 与 b 同向, 则 a 与 b 的夹角 θ=0° , ∴a· b=|a||b|cos θ=4×3×cos 0° =12. 若 a 与 b 反向,则 a 与 b 的夹角为 θ=180° , ∴a· b=|a||b|cos 180° =4×3×(-1)=-12. (2)当 a⊥b 时,向量 a 与 b 的夹角为 90° , ∴a· b=|a||b|cos 90° =4×3×0=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 60° 时,

1 ∴a· b=|a||b|cos 60° =4×3× =6. 2 1 25 12.解 a· b=|a||b|cos θ=5×5× = . 2 2 |a+b|= ?a+b?2= |a|2+2a· b+|b|2= |a-b|= ?a-b?2= |a|2-2a· b+|b|2= 25 25+2× +25=5 3. 2 25 25-2× +25=5. 2

1 13.解 (2a-b)· (a+b)=2a2+2a· b-a· b-b2=2a2+a· b-b2=2×12+1×1×cos 120° -12= . 2 |a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2= 1+2×1×1×cos 120° +1=1. ?2a-b?· ?a+b? ?2a-b?· ?a+b? 1 ∴|2a-b|cos〈2a-b,a+b〉=|2a-b|· = = . 2 |2a-b|· |a+b| |a+b| 1 ∴向量 2a-b 在向量 a+b 方向上的投影为 . 2 14.解 ∵|n|=|m|=1 且 m 与 n 夹角是 60° , 1 1 ∴m· n=|m||n|cos 60° =1×1× = . 2 2 1 |a|=|2m+n|= ?2m+n?2= 4×1+1+4m· n= 4×1+1+4× = 7, 2 1 4×1+9×1-12× = 7, 2 1 7 a· b=(2m+n)· (2n-3m)=m· n-6m2+2n2= -6×1+2×1=- . 2 2 7 - 2 1 a· b 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= = =- . |a||b| 2 7× 7 2π 2π 又 θ∈[0,π],∴θ= ,故 a 与 b 的夹角为 . 3 3 |b|=|2n-3m|= ?2n-3m?2= 4×1+9×1-12m· n=


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