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1.1.1变化率问题(教学课件)


人教版选修2-2第一章导数及其应用第1节变化率与导数

垂杨柳中学数学组

张艳娜

通过阅读引言我们知道: 1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发 展史上的一个具有划时代意义的伟大创造,被誉为 数学史上的里程碑.

.微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨.他们都是著名的 科学家,我们应该认识一

下. ? 牛顿(Isacc Newton,1642 - 1727)是英国数学 家、天文学家和物理学家 ? 是世界上出类拔萃的科学家。

莱布尼茨(1646--1716)德国数学 家、哲学家, 和牛顿同为微积分的创始人.
3.本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之 一变化率问题. 打个比喻如果微积分是万丈高楼,那么变化 率问题就是地基. 我们以姚明身高变化为例来说明这个问题。

身高 2.26 2.12

姚明身高变化曲线图(部分)
● ● ●

1.61


● ● ●

0.8















4

7

10 13 16

19

22

年龄

问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是

若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V) ?
当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了

4 3 V(r ) ? ? r . 3

3

3V 随着气球 . 4? 体 积 逐 渐

变大 , 它的 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm), 平均膨胀 r ( 1 ) ? r ( 0 ) 气球的平均膨胀率为 ? 0.62(dm/L ), 率 逐 渐 变 1? 0 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 小.
r (2) ? r (1) 气球的平均膨胀率为 ? 0.16(dm/L). 2 ?1

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm),

思考
?

当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水
? 在高台跳水运动中 ,

运动员相对于水面 的高度 h (单位:m) 与起跳后的时间

t

( 单位 :s) 存在 函数 关系:

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度

h

(单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) ? h(0) ? 4.05(m/s); 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v ? 0.5 ? 0 在1≤ t ≤2这段时间里,

h(2) ? h(1) v? ? ?8.2(m/s); 2 ?1

65 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么 问题吗? 平均速度不 h 能反映他在
这段时间里 运动状态, 需要用瞬时 速度描述运 动状态。

探 究

65 h( ) ? h(0) v ? 49 65 ?0 49 ?0

O

65 65 t? 49 98

t

平均变化率的定义:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 ? x1

称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.

令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? y ? x2 ? x1 ?x

理解

?y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负,但 ?x 的△x值不能为0, △ y 的值可以为0

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

2、若函数f (x)为常函数时, △ y =0

3、变式:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

思考
?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 观察函数f(x)的图象平均变化率 x2 ? x1

?

表示什么?

f (x2)

y

y=f (x)

B A
x2-x1

直线AB的斜率

f (x2)-f (x1)

f (x1)

o

x1

x2

x

例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 [ –3 , –1]上的平均变化率 ; (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
? ? y ? x ? 4 2 ? 2

(2)解: (1)解: △y=f (-1)- f (-3)=4 △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2 △x=-1- (-3)=2 2 ?y 2?x ? x ? (?x) ?y 4 ? ? ? ? ?2 ?x ?x ?x 2

? 2 x ? ?x

练习
?

1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2) 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=(D )

A.3
C . 3-(Δx)2

B . 3Δx-(Δx)2
D . 3-Δx

?

2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx

小结:
?

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1.函数的平均变化率 ?x x2 ? x1
2.求函数的平均变化率的步骤:

?

(1)求函数的增量:Δf=Δy=f(x2)-f(x1);

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) (2)计算平均变化率: ? ?x x2 ? x1

谢谢!
祝同学们新学期 取得更大的进步!


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